信息技术应用成果教学设计

1、3.1.1椭圆及其标准方程1. 教学目标:（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。（3）通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2. 教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。3. 教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。4. 教学任务分析：（1）学生已有的主要知识结构学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。（2）建立新的知识结构与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方

2、程。5. 教学基本流程：|回忆圆的定义，与已有的知识联系VI11通过作图，提出问题，引入椭圆的定义V根据条件，确定椭圆的标准方程< _ Vr'小结与布置作业6. 媒体选用：多媒体课件，几何画板7. 教学过程：问题设计意图师生活动备注1、回顾圆的定义，让学生 用准备好的工具画圆。学生动手画圆，结合 图形，重现思维轨迹， 为椭圆的学习作好铺 垫。1.由学生动手实验，并说出圆的定义；画圆时，绳子一端固疋 在纸板上，一端栓在笔 上学生再次体会笔尖到 定点的距离不变的情 景。2.将圆心分开变为两个，提出新的问题，激发1.师生一起画图，得到一个压扁的让学生领略到数学的绳子两端固定在这两个定学

3、生的好奇心，引发“圆”一椭圆；美，认识到数学与生活点上，用笔勾住绳子，将学习兴趣。2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、息息相关。会画出什么样的曲线呢？天体的运动轨迹等。3.在运动中，椭圆上的点1.弄清曲线上的点所1.引导学生分析实验，发现两个确这里应给予学生充分思所满足的几何条件是什满足的几何条件是建定的量一定点及绳长，变动的量一考和讨论的机会，引导么？立曲线方程的关键之笔尖（即椭圆上的点）。他们说出自己的发现，4.应该如何描述动点M所。2.再次演示画椭圆的过程，引导学并逐步修正得到椭圆的满足的几何条件？2.让学生体会类比思生发现规律：椭圆上的点到两个定定义。想，整理实验，归纳点的距离之和总是等于

4、绳长。抽象成数学问题。5.将两位学生所画的椭圆使学生认识到椭圆的1 教师：改变原有的两定点的距离投影到大屏幕，并提出问形状受到两定点画椭圆并观察图形，大家有什么发题：在绳长相同的情况下，F1，F2的距离的影现？为什么画出的椭圆有圆有响。学生：F1, F2的距离愈近椭圆愈圆，扁呢？F1，F2的距离愈远椭圆愈扁。6.如果只改变绳长，而不使学生进一步认识到教师：如果疋点的位置相冋，只改改变Fl, F2的距离，又会出椭圆的形状也受到绳变绳长，椭圆又有什么变化？现什么结果呢长的影响。学生：绳愈短椭圆愈扁，绳愈长椭圆愈圆。教师：设 | F1F2|=2C,| MF1 |+| MF2 |=2a,如何通过 a,

5、c刻划椭圆的扁圆程度。cc学生：当a越小时，椭圆愈圆，当a越大时，椭圆越扁。7.椭圆与两疋点位置及疋加深对概念的理解师生共同探讨，并演示课件，展示线段长有关，是否给定了2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不同情形线段长和两定点位置就一的轨迹。定能作出椭圆呢？学生：当2a>2c时，轨迹是椭圆；当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以Fl, F2为端点的线段；当2a<2c时，无轨迹；当c=0时，轨迹为圆写出动点M所满足的几何条件的点的集合：PM| MFl|+| MF2|=2a >。明确椭圆的定义：平面内与两个定点Fi，F2的距离之和等于常数 2a(2a大于| FiF2

6、|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。8.事实上椭圆在建筑、电 子乃至航空航天等领域有 着广泛的应用，因此，有 必要进一步探求它的性 质，研究它的方程。求曲 线方程的步骤是什么？怎 样建立适当的坐标系，求 椭圆的方程呢？温旧知新，让学生认 识到适当的坐标系有 利于化简，也会使所 得的方程比较简单。学生回答求曲线方程的步骤，教师 引导学生讨论如何建立坐标系。通 过分析曲线的特征一对称性，得出 以线段Fl F2的中点为原点，以FiF2 的垂直平分线为 y轴建立直角坐标 系。事实上，椭圆的美主要 体现在均匀对称上，应 充分引导学生讨论、发 现这一点。元成了 建

7、系，设 M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点°(-c,O),(c,O).又设点M与Fi，F2的距离的和等于常数2a (2a>| 证丨)。由定义可知，椭圆就是集合P=' M| MFi|+| MF2 |=2a >。7, F2的坐标分别是a.| MFi |= J(x+c)2 +y2 ,|mf2=讥X C)2 +y2 J(x +c)2 十 y2 +J(x c)2 十 y2 =2能否将上面所得等式两边 同时平方？应该如何处理 两个根号的位置更有利于 化简？在学生已懂得一个根 式化简的情况下，针 对具体的问题，寻求 解决问题的想法。请3

8、4名学生板演方程化简， 教师在教室中走动，观察学生的化简情况。组织学生评价板演情况，使学生明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给学生。教师：设 | FiF2|=2c,| MFl |+| MF2|=2a ,观察图形能否找出a,c , 2 2vac所表示的线段及其关系呢？结合图形，赋予a,c ,/ 2 2Va C以具体的几何意义。（展示图形）学生：可以看出a,c是以RF2为底边的等腰三角形的 腰及底边的一半。教师：不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2

9、=a2b2,两边同时除2 2xy+ = 1 、亠、以a2b2得ab，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a 与b的关系如何？学生：a>b>0.通过类比，让学生写出 焦点在y轴上椭圆的标 准方程，并根据方程分 辨椭圆的焦点在x轴或y 轴上。教师用总结性的语言引导学生对椭圆方程再认识：椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。2 2 2椭圆的三个参数 a.b.c满足a =b +c。2 2椭圆标准方程中x ,y的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。i教材中例1.2补充练习：已知椭圆的方x2 y2程为1625则（1）a= b= c（2）焦点在轴上，其焦点坐标为，焦距为。（3）若CD为过左焦点F1 的弦，贝U ?CF1F2的周长为，？F2CD的周长为。椭圆标准方程的应 用。2位学生板演例1,补充练习由学生 口答。教师：如果将椭圆方程改为2 22516 =1,上述问题（1）（ 2）（3）有何变化？学生：（回答略）小结：（1）知识方面：总结了椭圆的定义；探讨了椭圆的扁圆；研究了在a、c的四种不同关系下的曲线轨迹；求出了椭圆的标准方程；了解焦点与方程形