2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析

1、2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A=x|(x+1)(x-2)0，集合B=x|1x3，则AB=( )A.x|-1x3B.x|-1x1C.x|1x2D.x|2x3解析：A=x|-1x2，AB=x|1x2.答案：C2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0，+)上是单调递减的函数为( )A.B.y=-x3C.D.解析：对于A，y=(x0)是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y=-x3，是定义域R上的奇函数，且在区间(0，+)上是单调减函数，满足条件；对于C，定义域是(0，+)，是非奇非偶的函

2、数，不满足条件；对于D，是定义域(-，0)(0，+)上的奇函数，但在区间(0，+)上不是单调减函数，也不满足题意.答案：B3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.3B.11C.38D.123解析：模拟程序的运行，可得a=1，满足条件a10，执行循环体，a=3，满足条件a10，执行循环体，a=11，不满足条件a10，退出循环，输出a的值为11.答案：B4.设x，y满足约束条件则下列不等式恒成立的是( )A.x1B.y1C.x-y+20D.x-3y-60解析：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：则A(0，2)，易知x1，y1不成立，直线z=x-y+2经过A时取得最小值为0，直线z=

3、x-3y-6经过A时取得最小值为：-12，由图象可知x-3y-60不成立，恒成立的是x-y+20.答案：C5.已知平面向量满足，与的夹角为120°，若，则实数m的值为( )A.1B.C.2D.3解析：，与的夹角为120°，解得m=3.答案：D6.“ab1”是“loga3logb3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由loga3logb3得，若ab1，则log3alog3b0，则成立，即充分性成立，若log3a0，log3b0时，满足条件，但此时0a1，b1，则ab1不成立，即“ab1”是“loga3logb3”的充分不必要

4、条件.答案：A7.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，正方体的体积是1×1×1=1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，三棱柱的体积是几何体的体积是答案：A8.如图，已知线段AB上有一动点D(D异于A、B)，线段CDAB，且满足CD2=AD·BD(是大于0且不等于1的常数)，则点C的运动轨迹为( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平

5、面直角坐标系，设AB中点为O，设C(x，y)，AB=2a，则D(x，0)，A(-a，0)，B(a，0)，线段CDAB，且满足CD2=AD·BD(是大于0且不等于1的常数)，y2=(x+a)(x-a)=x2-a2，x2+y2=a2.点C的运动轨迹为椭圆的一部分.答案：B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.复数 .解析：答案：10.双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 .解析：双曲线中，焦距是，渐近线方程是答案：；11.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 .解析：圆心与点(1，0)关于直线y=x对称，可得圆心为(0，1)，再根据半径等于1，可

6、得所求的圆的方程为x2+(y-1)2=1，答案：x2+(y-1)2=1.12.在ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于 .解析：ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：解得sinB=1，B=90°，C=30°，ABC的面积=答案：2.13.在等差数列an中a3=0，如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么 .解析：在等差数列an中，由a3=0，得ak=a3+(k-3)d=(k-3)d，a6=a3+3d=3d，ak+6=a3+(k+3)d=(k+3)d，ak是a6与ak+6的等比中项，ak2=a6·ak+6，

7、即(k-3)2d2=3d·(k+3)d，d0，k2=9k，得k=9.答案：914.已知函数f(x)= 当m=0时，函数f(x)的零点个数为 ；如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为 .解析：令-x2-2x=0可得x=-2或x=0，令x-4=0得x=4.当m=0时，f(x)有3个零点.若m-2，则f(x)在(-，m上无零点，在(m，+)上有1个零点x=4，不符合题意；若-2m0，则f(x)在(-，m上有1个零点x=-2，在(m，+)上有1个零点x=4，符合题意；若0m4，则f(x)在(-，m上有2个零点x=-2，x=0，在(m，+)上有1个零点x=4，不符合题意；若m4，

8、则f(x)在(-，m上有2个零点x=-2，x=0，在(m，+)上无零点，符合题意；-2m0或m4.答案：3，-2，0)4，+).三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数()求函数f(x)的最小正周期；()求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值.解析：()利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f(x)的最小正周期；()通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可.答案：()所以周期为T=.()因为x，所以所以当时，即x=时，f(x)max=1.当时，即x=时，f(x)min=-2.16.等差数列an中

9、，a2=4，其前n项和Sn满足Sn=n2+n(R).()求实数的值，并求数列an的通项公式；()若数列+bn是首项为、公比为2的等比数列，求数列bn的前n项的和Tn.解析：(I)利用a2=S2-S1=4+2-1-=4，求出=1，再利用数列中an与Sn关系an=Sn，n=1，Sn-Sn-1，n2，求通项公式.(II)求出数列1Sn+bn的通项公式，再得出数列bn的通项公式，最后根据通项公式形式选择相应方法求和.答案：(I)因为a2=S2-S1=4+2-1-=4，解得=1，Sn=n2+n，当n2时，则an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，当n=1时，也满足，所以an=2n

10、.(II)由已知数列+bn是首项为1、公比为2的等比数列，其通项公式为，且首项，故17.抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x(元)如下(四舍五入取整数)：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：()写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；()记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，试分别比较v1与v2、s12与s22的

11、大小；(只需写出结论)()从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率.解析：()由题意求出m=4，n=2，从而能求出这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组.()记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，由此能比较v1与v2、s12与s22的大小.()A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192，任取两个数据，利用列举法能求出这2个数据差的绝对值大于100的概率.答案：()由题意求出m=4，n=2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组.()记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金

12、额的平均数与方差分别为v2、s22，则v1v2，s12s22.()A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果，这2个数据差的绝对值大于100的概率P(A)=18.如图，在三棱锥D-ABC中，已知BCD是正三角形，AB平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC.(1)求三棱锥D-ABC的体积；(2)求证：AC平面DEF；(3)若M为DB中点，N在棱AC上，且

13、CN=CA，求证：MN平面DEF.解析：(1)直接利用体积公式，求三棱锥D-ABC的体积；(2)要证AC平面DEF，先证ACDE，再证ACEF，即可.(3)M为BD的中点，连CM，设CMDE=O，连OF，只要MNOF即可.答案：(1)BCD是正三角形，AB平面BCD，AB=BC=a，三棱锥D-ABC的体积(2)取AC的中点H，AB=BC，BHAC.AF=3FC，F为CH的中点.E为BC的中点，EFBH.则EFAC.BCD是正三角形，DEBC.AB平面BCD，ABDE.ABBC=B，DE平面ABC.DEAC.DEEF=E，AC平面DEF.(3)连CM，设CMDE=O，连OF.由条件知，O为BCD

14、的重心，CO=CM.当CN=CA时，CF=CN，MNOF.MN平面DEF，OF平面DEF，MN平面DEF.19. 已知椭圆E：(ab0)的离心率e=，焦距为.()求椭圆E的方程；()若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆E于点P.证明：为定值(O为坐标原点).解析：()根据题意，分析可得椭圆中c的值，结合椭圆的离心率公式可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；()根据题意，设lCM：x=my-2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用m表示P的坐标结合直线的方程分析可得M的坐标，进而可以用m表示，分析可得答案.答案：()根据题

15、意，椭圆E的焦距为，则2c=，所以c=，因为所以a=c=2，因为a2=b2+c2，所以b2=2，所以椭圆方程为.()因为直线CM不在x轴上，故可设lCM：x=my-2.由得(m2+2)y2-4my=0，即P().在直线x=my-2中令x=2，则，即M(2，).为定值4.20.设函数f(x)=lnx+，mR.()当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；()讨论函数g(x)=f(x)-零点的个数；()若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围.解析：()m=e时，f(x)=lnx+，利用f(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值；()由函数g(x)=f(x)-，令g(x)=0，

16、求出m；设(x)=m，求出(x)的值域，讨论m的取值，对应g(x)的零点情况；()由ba0，1恒成立，等价于f(b)-bf(a)-a恒成立；即h(x)=f(x)-x在(0，+)上单调递减；h(x)0，求出m的取值范围.答案：()当m=e时，f(x)=lnx+，f(x)=；当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上是减函数；当x(e，+)时，f(x)0，f(x)在(e，+)上是增函数；x=e时，f(x)取得极小值为f(e)=lne+=2；()函数g(x)=f(x)-(x0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x0)；设(x)=-x3+x(x0)，(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)；当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上是增函数，当x(1，+)时，(x)0，(x)在(1，+)上是减函数；x=1是(x)的极值点，且是极大值点，x=1是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)=；又(0)=0，结合y=(x)的图象，如图；可知：当m时，函数g(x)无零点；当m=时，