伪双曲型积分_微分方程的H_1_Galerkin混合元法误差估计(精)_第1页
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文档简介

1、Jfl T 计U钦学学flB 32 ft* Iff伪双曲型积分微分方程的WGalerkin混合元法误差估计*刘洋李宏何新B占楞(内竄占大学數竿科学帑兒.舒和僧神01002!)ERROR ESTIMATES OF H3-GALERKIN MIXEDFINITE ELEMENT METHODS FORPSEUDO-HYPERBOLIC PARTIALINTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONLiu Yang Li Hoog He Siriuien(School of XAtbcmatical Sricncw. Inner Mwi?oliA Uniwrwit) ) Hohhoc 01

2、0021)Abstract HGalerkin mixed finite rkrnrnt methodsmdisrwawl forA CIMSof second orderpBcudohypcrtjolic partial intrgnxiiffrrcntiai rquatioo Two finite clnnmt wthcxU nrluutlywcd, and tlie exisu-nrr and iiaiqtx-nrNs of aolutinnx an oootimiowc pniblrnw anddweretr 4JD arr prowl rmprdiwly. Optimal er ro

3、r eitiinatei are derivedforproblesw in oneapace danraston. An extenskxi ofHl-CtkiAtnlxed Lftite etetMM nthod 3 probkms with two&Ad thrM variables祐&iao discimfd and al the wunc tinx, mor climates rr Kiwn and isa( (howl that thr WL- Galerlun mixed finite element approxiinatiocut not require th

4、eLBBcoosistency conditijon. Finally, the feasibility of numsncal raeebods are verified bythenumerical exainpk*.Ky wore!* pitewio-hypertxJic partial inu-uru-dsffrrwUud equalina, /fl-Gakrkin juixed fiAiieeleweai oxUKxte, exle&ce and uniqueKQS, error efitimaies. lflSSSMT金琛If KWH皿)i內配占白鯨中材!金如B (WW7V

5、WIW).內最古大得年字-墓金壊日(Nixwo2)mrt古交sea2OTM14Q.2 刘笊:(tig曲取册分方!I的M G*rrtdD;K合工法汁 1廉AMS(2000) subjeci dasal Bea lions 65N30. &5M60中詔法分奂号0242.21* 51考忘如下一英具科“pGrt”违捷边界on的凸妬界风域n上的分I分 *“( ()/()(xJ) 0 Zts(x.t) 0.(xl) 30 w J.( ( () wo*(斟0) “( ) LWn C 1.(4 = 1,2.3)J= (0.71.对于危詢T,07,lfi0ao a(r.e) ) i re, 0 $ Mr

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7、r.找畋 并希岀?IB的弄在计笳果但艮鼻UI9为止.的数值育: 研丸込卫夕见.iiftriw用种的耗*元方准.Wi-Grkiii探合有隈元方桧棗研究 比处方左c连绩的気*疋空何取X HQ AU八GM如 加修研兒了建密冋和口SB问E住文中.为了障低 0 光榕性铠用J-応4),但是储的方法庸足L3相 *件.WT*rWica空同的玉展(如标冷淞合元方快需用RaviarvEm空阿 作通近空闻).HitPsi呵于1W8年(HT川C4r& t -(r.qutr+t)*!十 /山h(斗f)w n X J,(3)舛中n (0.1).J (o,r). SttfGp(n)空宵畀的.瘩虔两种方誌.ffifc

8、.令olWW(方&化芳卸avri+ buf +(5)如果我们令,叫盯以縄方HGMmJCpi鮮真嫌,we - A卩)-/*伐卩)4/(巧,其中= (6 -诃丘凤= “,)/!Ftiftffl WGalerJonfi合龙方IfclM烁统(7) K(0,t)=(!,4)/a.对产(9)式是通过分部枳分井崔童Dirichlet边 界条件曲(0)(】)0而得XI连護问H (8)-(9)的垦徉住唱 啲辽阴區岳MK (3)有一个吿典W W(仗)(aims *局工/ &艮 = 9M% _ ;),) +(角佥衣 _; +(A(t,)(,一O,M 4 (民仏() -,tr). VwMl.(ll)在

9、(10)中馭u m .解用Caudiy.Jkwrti不霁武和Younjj不等式町昭招|G(% -)4 0 (十讪卩鶴+ 6 険-硯卩M(叽-;)(训也gb Y(12)WJI对于上式列Ml关于时沏从眼分.Grwwall引理 找们伶到虹;I卩+(|也;)俐|也幺只程(10)屮Uu(“-)奥1U于上3?勞播9跆蕩I血-u:|3+ jT |( j -:,胸11也 c |(4矿)-汕+(11(如-叩(川匕)+ 饰一b(15)财上式刚关丁时的从0积分.ttttM(13)和(14).0(|(丹3川匕(M)IM - g+ 忆一心()11也 (11( -我必卩(W)快用GroawaD引理幷注童(13)W U.即

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11、.上丈M篇关FHffl从Q到f釈分.注畫列(0) 0.惡用不番式(2). WI池“If + IIU出Wcf j|g( )|U +C( (|孤何|匕利用Cmoirall引理及Fog坏苇比(|血| q|uM|.岭血).可得1血1卩(1 j +(18)中取=4 僮用不Young不尊丈.我帕得列扌l|og|U|g|S G(ll%+lltudiu/IltMMlW)斗阪.(20)上式阿缁关于时何从0 从IW同3(17)-( 18)护BTB 为冷出CMfcf占比 符先定义w潇Sabotev Vbkcrra役序.*亦 W 備足:釘0(% -W叫Jd =Q 1 % (i2)定文q的Wjmm同足.人 5 -和,)

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13、見乂欽IMQKM4W- *tf jO,lIK + 11讽严叫|业_(24)II册5 6恤砒Ch1畑对;= 0,1 WlFoe (25)II训w CAi441Jf(|u|r*ti-F rJ| 也(,川妙(26)(27)下ST给出谋左估卄,令由式(3H叭(17卜和(22H23)可(切)d鉄叫)=3,%)+ (C如H 14(29)(%釘“)厶(匕0)4由于2(X,G)-石(z. j)i(aja) 利用Cwdiy-Schwani不4式R Young.不邹尢 可 8|。心氏6/ 1&1卩+11卯十1罔卩)IM3 / (IH|闷卩+呵卩十隔座(罚上式濟堺关于时间从o列 阳h井注意列(0) - o及

14、积分不毎式(2),可得lkrllac(炫1也4C( (|以卩4阳卩也由Gronwxll引理用朝分不挣式,可得cf (|p +代(32)住(29)式中令粋=6間时在空沏上进行分都枳分幷注恵边值条衅.削有訥kl翳认|广+川2十)4)事(阶+知)血0十(AOh + Q) ).0 + A( (P4 .0a( (QA,0+(Ar.4) (%4) + (A j.g)一(9iA+弘&)4 y(SMCT.CM* 佩禺/丄归匕皿-(臥十盹)+ 入(” *&0 SilM 肩用Cauehy-Sdwwt2不3?K. Young不杯 A各个果数的有界性.可耶llohlP+eoKIlJ C(|HP + l

15、lAll1*|谄卩+lk.lf,+ IklF +帧卩 +1心屮 + /Ohir MK.IIW冉在()式中取 f = “由Cauehy-Schuvtz式及丫叫 不等式.用IkwlP 5 c( ( I血cb 4 IkJ卩4 IS卩4 II4II2).M ()两辿关F时两从Off分,剧时注直(0) = 0. X(眈),(34) W (2). IIKII1+印(順盹 ciyT( (IMF十iip.ii3+1|册4帧川+iif创 财上光戎用Groowdl引理及釈分不第氏(2).可得Ikll1*/関1沁 o/( (MF4问卩 + 脳I卩 *因比将上it代入(32).井铠用骰分不茅或,町毋8-MnW伪取曲U

16、M分 I VI(31)* ikir) )u+/(也(35XHA 对 所以由不聲式H, |d CKxll. ttffIkllX cf (IX卩啊卩4II如卩 +llulPXb -( (7) )庄用小3crhin濯令村限元才游昴统(的尊殆大为 欢詞:|0胡 I现務川便絹(叫“) 9*v G昭+ (jf(几帆(必厶 ) -(/. %)W龙理2.45壤同斷(的)(+0)的HR存庄曜一曲.逊明 呈氐他 9)=他叫)是同通(39X40)的Witftfl只須1网问題(39)- (40)的&( (U-.V-)(39X0) )的另一牛解.由何題(出卜(4S可得(3(9 - 9* ) )4(%-几.) 4

17、 (A(八O松)Xf(A2 0)12)血wf) = 0. Vw6 W1.(*2)在41) )中v-u-u%我91曲7;1149-裆1 左( (40)中瑕p = 9-0儿类UT有限元的存花唯TL皇理2.5的榷号可再iisp-ii? is易r G(加-bii:十is-诉)&.慢用Groowall引理护崔童(43) W (44).即得心-ZIP - 0和|w -叨卩0.从有 卩=甲宀;注童v u(Ott) 4 / u,dxF (0)4;hr “ u0. t) t).即徇U=U- 半薦敢ffalcrkin H合打隈元幡为,求 仏2订:(O.T|-以x血 愎再(maa 10 刘佯邪0居白帆分力方

18、也约Gafcrk山覆合施_IM*(蓟如町),*2 -Qq) ) w虎( (*( ()(45)(g、)“5)4今(佃冋),1)4(丿(血处)(!m)=-(AwuhVtflue(46)其中(A(0)A(0)鳍世龙理含0问俺卜(询的泡合有*兀解存在唯一iiK須证审相更的卉状方程型有零即可因此令/ =0,0(0)NO.建(45)中取Uh 利用P&ncaM不邹式,即再& (40)中駁叽=皿并注農(2h)tiAj 9“以,9山)4 2(6羊上”)4(叩砧),(心9“,97)W G(|紈|;+ II阳|皿)|祐)*話/ |心)|也珂叽|卩)对上式两甥关子时问从0列f叔分.绘整理可部利悶Gro

19、nwaU刖理IK得|伽|: 0.代入(47) | 0, 18比材和 g 定理何 旺T面酚出IR龙佑汁.首先定文的段求弘肩足定文卩的广xmw. *创矶创IW足人(9氐呱) 仙(4泳)十d(9 0u)whi+A /(员(方-以)+几9-必)$血)1皿0叫%($】) IT tt4rfr44?4Of了啊02fill绷 +3M|HI +啊1治打仆刃HIIWHO5. uw州iv in命.酬iY2MM4II卄III*IID“2*1VQ 5 All”忡IIWV更)怡U =巾)够=(0) )对浪阳=(o)W叫P2 垛9 C車恤 m JA心+ (*”(dlotro-f丄團口皿( (K) )WTIWMIJ+*IIM

20、II十FI州+*wiib 2 iiwi十 m 阿1十q糾i(珂屮|呵|.屮2列叫F 岡h屮灯 饷I* intriroil岁不甬厲 y -。衣 的g w删轩( % u工;i4i|xw gy) )ria g-t WV?J3Y切Y+(*“)仲)/*PC伽于忖岁 初一+ 0 ( (A = /仍分方科创/fGafabon H令元床说皑佑计 1潮英中IIIHI*盘II必(0)ib_a *|9|“(加|)*(11眷卩 a(肿i)+ ll害llu(”i) 12W闵为Q和給室HrWMWtt计EMU. / (56)式中就讽=c. WJ由Cmchy Schwarta不邹式质Youn*不等式另Q在(S7)式中 +心(

21、跖. J)-/“.gRb + |(a4,)-扌(5&fd(/)&+ 入(九&)c(底II;+ 1161卩* 严4 1闯卩4 II兀|卩4+吝| &他十詢胪对上式砒|关干时何从Ofh釈分.ttB 9h(0)矗及祝分不缔式.可霸 訥M 4 lh讪卩+訓前+/|51阳$ ci nr耐+f difie+II&II3+诃+HAH2+怙|恤+jf吉何卩如 54(0)117 (dim和灿41府 +IIA + IMPM !专/ll&eS )11沁.( (60再由Cronwan引理及釈分不*六(3).聊碍1让1卩 +IKII? +瓯卩 C| lke(O)|P +

22、f ( |诚.)1卩 + 叭(训* 4 帕(钏卩川LCl)由Poiocarf不聲式IKII CIMli S Clk.ll ft (M)式,可冃IWI Iklh t( (ei (62) W (52) (53) 以艮二角不LI阳II池)丸WftJK中的P覆艮M1KlpooT由Sd4空同的嵌人定理,町冯Ikllxr ClklLc c卅耐 ,t) Ml x J.(=,0) )啾心 (臥= (tK*. J=(O.Tl. *fi/ P( ft*的. 记La(ft) - (”(fl)代( (d 2或3)宦义内WWftft,(q.)- IBIl = (f Hull叽W = H( (div;) )- (w La

23、( (n) )i v w L3( (fl) )-炖悴伪取曲 0 枳分衲方袖 川3“5臭含天浊鼻豊佔卄为了用到Halerkin合有限元形式令q -aVut+ 6Vu4- J e(r.t)VW(x)l.町 柠1!(方崔化为却F釣澎StaVu)( (b = q.(冏F面協出川(血血混合有限Jttfim式.*gq汀a TH购x W便碍( 14-(aVui.Vv) 4- (6D ,6) 4( (/ c(x,i.s)VM( (z.Fv) (q. Vtr)tVu観?ScQlMlp *)4 (V - q, V w) 4(/ A.Vuds.wJ + GfeVw) -(/.V w). Vw W其中a= l/a,Z

24、Jt = b/血內=c(xtMj)/o 仪分JWAJ和W的有限絃子空阿.对f lpooft卉如F的ift近性|io) ).% (Ik - Vfcll 皿皿-mil】S ChQ恻屮昭n胪二IE -利皿M ) 4-1fe(z. L)Vun(r. a)ds, Vv) =v H$、(68)S 心 4 皿“叫)+(G J (AtVu.w) + (AHti杠)机/AtVuA(r,Xb, wk) + (ftVtutwM) -(/.VWAKVW4G W4,(69)其中(昭(O)q(O)始定.危文SobclevZemi投影离足(aV(ut-tai). VtJ4-(6V(u - UA) ).VikH /(-亀)(

25、叽= O心 %(67)2QM* 3 fl 学BUt学学If15令城w a/IIW +IWI1+IICF)取酝为q令P q心 E K-讥见文畝34114 6小业|肛心),Ihfl川l%lh SC2叫岡Iw MlUf l“i十(1何训齢恤ll“】M) IMI +IIAIIA|blH(TO)町以骂到谋養方毘为(a%, Pg) + 卩讥Em) +( (A g) +(勺忱)瑰以,(oef. w/u) 4 (a(c,、)+(V . V一仗回叫)一(吩“)(Ac(W* b$hf)十(AWk %), )4( jf务(4讥) M| 卜-川卜Jh W CAmm(M4IMk-wj +IMIPCM*4) ) 11凹|

26、“ (护“*1WU1Ihbllll-u ll CL小H( (n10“M4) )|闷|已4叩.Hflllsyts)ll%ll( (rg) )+ llqlk w) ) iail“( (L ) ) llq-Ub(如则胪恤|约卯|州屮严恤肮叫尸! IKltlltdc*1) + 1柯11)+1恂11少“小)辽明 冈为pffl fP fSitftff.故只 W. tt (73)書咿JRw s,tit2(aVq,Vc) (aVc,V)- (dfVc.V).利用Cwchy-Sclnwu A Young不*4,al(74) L6 口洋:伪分 分方MUafM第11对上式两斜关F时阿从0列f枳分.并注总列讥(0)二

27、0及釈分不第丈.町衛1/-CT/ 1阴阳4匕彳|城|昭|册血( (76)由GrnowaU引理丘釈分不爭式,1liv|a G(f (I训|3加血+仃血也叭) 壬(|列牛|軒)U (77)症( (74)攻巾兮同时便空同上进行分IB枳分并崔边值条件.则有() + (氐.WVE)-4來)-(哂乂)+(At(V, +中 X) + 血仲債 + %)4(/氐 E+ 区XU) + (A(Vr, +讥)-.V ()()-仙应)(叭0*伽) (7. V * (ftVQ).O - (%. V CftO)经过整理.ftfflCwchy.Schwartz不等式Younc不等式和枳分不等式( (2),可稈 扌1戚4器叭F

28、灿珀r+1血卩 +IIW卩 +llftll3十IlTtlf + IIVs.ll3十J:呼何|蚀)+ gllllH(4lvJ) +寿f I底()11?1(刨0)* (恥)tt ()式中取劭“利用CaiKfay-Sdiwinr不零乂和Young不军氏.隔IlVlfsctjCI例l*IK)(WJ)联立it (TT). (79) W (80).絵过側单的化fl 町0新晶lb如伸Kilim兰“刿咕询“训*4 応+11别卩十闖卩+(1呵卩閤卩)(61)对上氏关F时何从OjfcO.应凰釈分不捋式(2)并注:t (0) 0.可硏底+(底|衣.皿)e/( (ll別Urm +呵卩+IIAIP +M + IKII1

29、+ (IWI3+將卩阿购 cL( (ll“lh*m +冊十IIA沪MIil3Mr *c阳|沁.(82)筑W0佩V(A0)-(VAV o.(78)+UfetVsi.Ode -2010 3 M*卄H赅孕学整应甲GFODWBII弓I理及枳分不尊式(2),即得+允声s CjTdlplln) * IK + 141怖也(83)恃(83)式代入(77)九址过筒单临化仏 R 伸IIWF .又因为C GH所以由PoincaN不節式冃.阴|g C|g| 故有IKlP S c(|闻花“ +IMP阪+II加l% 由女(71)(72)柯(83卜(眺)利用三角不爭欢可再住理中HTIW个结总在(74)式中令wA= &

30、;.同时在空间上进行分部积分并注边0(義件和虚阿阿上应 用與导法则,則育抽吐1卩+沁I卩*命卩一(纽必G) (a$; +(0“(壬* 十)&)十(伤 ViiJ.G)Hjf务(列+*也&) +(A(W斗W P Q ( (3.&) - (At.(t)*+(几g&) 5,U (AQ)(3WG),&)(弘(A6)-jT(n.v(以)凹 +(AVG) - (a (酬)个(佻 &)-( (0心&) -4(仇 Rs*) + 奶,D (Att) )4-(3itC)-(n.v. (A.0) +(AVQ).C()(n. v仙応)(伤日)-討 V(ftO)*(

31、氐忆宀/爲V (W)kb 4佈0 dO)- (f佩(弘曰也)(AVs,&)十佩 0 為勺”(伽 0 (賦)瓠 L 阳)财上式应用Cmichy-Sch-wnrtx和YxmE SO)创:E佃cf)韵陆klF + lZ&l卩打令1吋iwia眠IF Alla-bII鈕 +Until1十1臥+IIX+IIWI卩d ./血弘&山土(可(磁)+(叨昨-(W叶+/Ur(r.u)d*) = /(i.0(0.0 = XI. 0 = 0.( 0)- Bind y 0) - in()(rtt)(0.1)x(0Jl.t 10,11. 心J. 1$ 刘痒那:何口宙!fl 毂分 分力的现合天法谀舷忡

32、“ I期对关尸上式齊靖对时同从0到f枳仇 同时注件.利用Cauchy-SdiwArta及Ycang不10比(90) .34)和枳分不幫式(2),可稈11略)+ IIMHlMq(|9ll十llrtll2+ IIV 51卩十Iimi + Ihd卩 +1陥1打1冋1十11%04( (|Wd )lf + |Wdll3M-dr + f代陽釧划皿(n-V (M)佝N (/)(佩。(血曰止-侃 sGM)+(AV.()c(|州+1応+lV-PtP +冋II + |,+ II加|恤f(佃(川*际(础卩十f川加松血)心+呵卩*帕*1测右”0)c (I胡卩十恤II” +1闷1詬呦)十ilHI,+ Until3+|血

33、卩卜II如略獄仙也 临如冋心+啊1亦卩+bl%”.(88)对上式应用Gronwall引SL可得慣ll?i(gn)S可f(IHIT闷卩+llAlSwzi) +恂卩十II咄卩+1闷卩*IIXl%z)炒 卅川*令恤十()联合(72) W (89),应用三爾不等氏得逐用的第三个埔论成立.为验匹本文祈良出的/P Calerkm谡合右隈无方仏幅式的可行也 左(工上)W jOJ)x |0,1|上占血TAB的持侧方程io* 3 7!ai甘中e-irV)ain(w).那HUIE.方程的JC为 心)=(壮)因it申何顷为/)-wcorxMe-1- 1).取瓯和分别为分片放性第度式空WL用MMtlibigftrtn

34、近似 z %(芮中 时间方旬初ttO用故拉问垢差分祸式蔑札 其他枭用二齢中心墓分XAft).用出丁u-UA Wg-flx的以以艮川(aterkin混合宵限元:無式的收僉阶.耳体见发1(由于计WAKENS.这昼空阊分匍只采取到640).1谖揑及敷侃度11 - WhlliinWftIlf 阳1ik-flull的阶(2OJ0)0.00280.0024(3)7.STO10CM1.M707.1915 ZU17387(80.40)1 WWHXH1.W7B2.OT24dj的(8JR结t&ft令人相AMf的.从效值上込明了试方懺泾可存的.何时貞幻松出了解与04rkin汕合 有隈元解的比较图岳1 fCl

35、ff 2分別蛛出了(80. 40)剧分.* -05 W I - 1时HAH= e*enrr), = (xyt) = -xco(-xx)(e_ 1) Wi&fti解yga的BJ比较.它 量的盪明了Hdertin羯合有隈元方法的可新性 F文駅1ShowaUcr R E acxi Tiw T W. Pmdoparabobc partial dillrrentUl equatiom. SIAM HathAnal,1970. 1:l-2Kii J R And CuoO C M. Smalkacxl wait Inc-time behavior of a darcy Auw Enudkl witli adyumkc prwureaMwaUom Mauoo SIAM J Appl Maib., 2000, flG(5): 102.1511.

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