矩阵论—H-L定理

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院数学科学学院 陈建华陈建华矩矩 阵阵 论论机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.4 HamiltonCaylay 定理定理一、一、H-C定理定理二、最小多项式二、最小多项式 三、简单应用三、简单应用设设 为为A的特征多项式的特征多项式, , 则则,( )n nAPfEA 11221( )()( 1)nnnnnf AAaaaAA EO 证证: : 设是设是 的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则( )BEA 一、一、 哈密尔顿哈密尔顿凯莱凯莱（HamiltonCaylay）定理定理( )()( )BEAEA EfE都是都是的多项式，且其次数不超过的多项式，

2、且其次数不超过n1. 又的元素是的各个代数余子式，它们又的元素是的各个代数余子式，它们( )B EA 因此，可写成因此，可写成( )B 零矩阵零矩阵120121( )nnnnBBBBB其中，都是其中，都是 的数字矩阵的数字矩阵. .011,nB BB nn 再设再设111( )nnnnfaaa 则，则，111( )nnnnfEEaEaEa E 而而1201021( )()()()nnnBEABBB ABB A121()nnnBBABA 比较比较、两式，得两式，得01012121211nnnnnBEBB Aa EBB Aa EBBAaEBAa E 以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、

3、第二式、1,nnAAA E 、第第n式、第式、第n1 1式，得式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnB AAB AB Aa AB AB Aa ABABAaABAa E 把把的的n1 1个式子加起来，即得个式子加起来，即得121120nnnnnAa Aa AaAa E ( ).f AO注：注：设为有限维线性空间设为有限维线性空间V V的线性变换，是的线性变换，是( )f ( )0.f 的特征多项式，则的特征多项式，则零变换零变换 注意：教材是用若当标准形证明。例例1. 设求设求10201 1 ,0 10A8542234.AAAAE3( )21fEA解：解：A的特征多项

4、式的特征多项式用去除得用去除得( )f 8542234( ),g532( )( )(245914)gf2(243710)( )0,f A 85422234243710AAAAEAAE3 482609561061 34 由哈密尔顿由哈密尔顿凯莱定理，凯莱定理， ,( ) |n nAPfEA 是是A 的特征多项式，则的特征多项式，则 ( )0.f A 因此，对任定一个矩阵因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个，总可以找到一个n nAP 多项式多项式 使使 ( ) ,f xP x ( )0.f A 多项式多项式 为为A的的( )f x引入引入接着讨论，以矩阵接着讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低

5、的为根的多项式的中次数最低的那个与那个与A的对角化之间的关系的对角化之间的关系. .此时，也称此时，也称二、最小多项式二、最小多项式1. 1. 最小多项式的定义最小多项式的定义定义定义： 设设 在数域在数域P上的以上的以A为根的多项为根的多项,n nAP 为为A 的最小多项式，记做的最小多项式，记做 . .式中，次数最低的首项系数为式中，次数最低的首项系数为 1 1 的那个多项式，称的那个多项式，称例子：例子：132110020 ,010001002AB( )Am2.2.最小多项式的基本性质最小多项式的基本性质矩阵矩阵A 的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的. .证：设证：设 都是都是A的

6、最小多项式的最小多项式. .12( ),( )gxgx由带余除法，由带余除法， 可表成可表成1( )gx12( )( )( )( )gxq x gxr x其中其中 或或 ( )0r x 2( ( )( ).r xgx 于是有于是有12( )( )( )( )0gAq A gAr A 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， ( )0,r x 即，即， 21( )( ).gx gx同理可得，同理可得， 12( )( ).gx gx12( )( ),0gxcgxc( )0r A又又 都是首都是首1多项式多项式, 12( ),( )gxgx1c故故 12( )( ).gxgx 设设 是矩阵是矩阵A的

7、最小多项式，则的最小多项式，则( )g x( )f x 零化零化A ( )( ).g xf x证：充分性显然，只证必要性证：充分性显然，只证必要性由带余除法，由带余除法， 可表成可表成 ( )f x( )( ) ( )( ),f xq x g xr x其中其中 或或 ( )0r x ( ( )( ( ).r xg x 于是有于是有 ( )( ) ( )( )0f Aq A g Ar A( )0r A由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， ( )0.r x ( )( ).g xf x由此可知：由此可知：若若 是是A的最小多项式，则的最小多项式，则 整整 除除 任何一任何一 ( )g x( )g

8、 x个以个以A为根的多项式，从而整除为根的多项式，从而整除A的特征多项式的特征多项式. 即即性质性质3.3.矩阵矩阵A的最小多项式是的最小多项式是A的特征多项式的的特征多项式的一个一个因子因子. .例例2 2、数量矩阵、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式的最小多项式是一次多项式;xk 特别地，单位矩阵的最小多项式是；特别地，单位矩阵的最小多项式是； 1x 零矩阵的最小多项式是零矩阵的最小多项式是. x反之，若矩阵反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵一定是数量矩阵.例例3 3、求、求 的最小多项式的最小多项式. .1 1 00 1 00 0

9、1A 解：解：A的特征多项式为的特征多项式为3110( ) |010(1)001xf xxEAxxx 又又 0,AE22()2AEAAE1 2 02 2 01 0 00 1 00 2 00 1 000 0 10 0 20 0 1 A的最小多项式为的最小多项式为 2(1) .x 性质性质4.4. 相似矩阵具有相同的最小多项式相似矩阵具有相同的最小多项式. .证：设矩阵证：设矩阵A与与B相似，相似， 分别为它们的分别为它们的( ),( )ABgxgx最小多项式最小多项式.由由A相似于相似于B，存在可逆矩阵，存在可逆矩阵T , 使使 1.BTAT 从而从而 11( )()( )0AAAgBgTATT

10、gA T( )Agx也以也以B为根，为根，同理可得同理可得 ( )( ).ABgx gx( )( ).BAgx gx从而从而 又又 都是首都是首1多项式，多项式， ( ),( )ABgxgx( )( ).ABgxgx反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似. .如：如：1 1 0 01 1 0 00 1 0 00 1 0 0,0 0 1 00 0 2 00 0 0 20 0 0 2AB的最小多项式皆为的最小多项式皆为 但但A与与B不相似不相似. 2(1) (2),xx注注：3| (1) (2),EAxx 22| (1) (2)EBxx | |.EAEB即

11、即所以，所以，A A与与B B不相似不相似. .设设A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵1200AAA 并设并设 的最小多项式分别为的最小多项式分别为 . . 12( ),( )gxgx12,A A则则A的最小多项式为的最小多项式为 的最小公倍式的最小公倍式. .12( ),( )gxgx证证：记：记12( )( ),( )g xgxgx 首先，首先， 12()0( )00()g Ag Ag A即即A为为 的根的根. ( )g x所以所以 被被A的最小多项式整除的最小多项式整除.( )g x则则 12()0( )00()h Ah Ah A从而从而 12()0,()0.h Ah A( )0,h A

12、 其次，如果其次，如果12( ) ( ),( ) ( ).gx h xgx h x从而从而 ( ) ( ).g x h x故故 为为A的最小多项式的最小多项式.( )g x若若A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵12sAAA且且 的最小多项式为的最小多项式为iA( ),1,2,.,ig xis 则则A的最小多项式是为的最小多项式是为12( ),( ),.,( ).sgxgxgx推广推广：特别地特别地，若两两互素，即，若两两互素，即12( ),( ),.,( )sgxgxgx 12( ),( ),.,( )1sgxgxgx 则则A的最小多项式是为的最小多项式是为12( )( ).( ).sgx gxgx 1. 级若当块级若当块k111aaJa 的最小多项式为的最小多项式为 () .kxa 证：证：J的特征多项式为的特征多项式为 ()kxa ()0.kJaE三、简单应用三、简单应用而而 0 10 100,10JaE 20