(新高考)2020高考数学小题考法专训(四)空间几何体与空间位置关系

1、小题考法专训（四）空间几何体与空间位置关系A级保分小题落实练、选择题1.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABC虚该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为（A. 2 10B. 2 54)C. 3D. 2解析：选A如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从 A到C的最短路径为线段 ACAC= -22+ 62 = 2郃.故选 A.G C2.已知a,b, c表本不同的直线，a , 3表本不同的平面，下列命题:若a/ b,b/若aX b,b1若a± b,b±若a/ b,b/a ,b?3 , a n 3 = c，则 a

2、/ c.其中错误命题的序号是（）B.A.C.D.解析：选A 对于，由a/ b, b/ a ,可得a/ a或a? a ,故错误；对于，由 ba , c± a得b/ c,又a,b,所以a±c.故正确；对于，由 a±b, b± a ,可得a/ a或a? a ,故错误；对于，由 b/ a , b? 3 , a n 3 =力导b/ c,又a/ b,所以a/ c,正确.综上所述，错误命题的序号是，选 A.3 .设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4,球心到切面圆心的距离为3,则该西瓜的体积为（）A. 100兀400C.工-兀3500D. y兀3解析：选D因为

3、切面圆的半径r=4,球心到切面的距离d = 3,所以球的半径 R= "2+d2、42 + 3? = 5,故球的体积V=鼻兀4=鼻兀333 500-、一，X5 =工-兀，即该西瓜的体积为35004 . （2019 广州综合测试）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABC时矩形，E, F分别为PA PD的中点，在此几何体中，给出下面结论:直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF/平面PBC平面BCE ，平面PAD其中正确的结论个数为（）A. 4B. 3C. 2解析：选C将平面展开图还原成直观图如图所示.D. 1. E, F分别为PA PD的中点，.一EF/ AD又四边形

4、 ABCD矩形,.AD/ BCEF/ BC，B, C, F, E 四点共面.，直线 BE 与直线 CF共面，不是异面直线，故错误;EC平面PAD AF?平面PAD点E不在直线 AF上，B?平面PAD直线BE与直线AF为异面直线，故正确；EF/ BC, BC?平面PBC EF?平面PBC EF/平面PBC故正确；彳田设平面 BCEL平 面PAD即平面BCFE_面PAD又平面BCF的平面PAD= EF彳PML EF垂足为 M 可得PMh平面BCE但由题中条件无法证得PML平面BCE故假设不成立，故错误.故选 C.5 .已知球 O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（）D.3兀解析：选A

5、将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为 2表.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球 O的直径2R= 2 2,则球C)O兀f-3R兀4 - 3g6 .如图所示,用一边长为 42的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4 兀. .工-的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 （球体）离蛋巢3底面的最短距离为TD.9解析：选D因为蛋巢的底面是边长为 1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆 的直径为1,又因为鸡蛋的体积为 等，所以球的半径为1 ,所以球心到截面的距离为

6、岑，所 以截面到球体最低点的距离为1-半，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.7 .若l , m为两条不同的直线，a为平面，且l，a ,则"m/ a "是"ml l ”的()A.充分不必要条件8 .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 依题意，由 m/ a知存在直线 m? a , m/ m,由l，a , m? a得l，m, 又m/ m,因此有l Lm, "m/ a "是"ml l ”的充分条件.反过来，由ml l不能彳#到m/ a , 此时直线m可能位于平面”内，因此“ m/ “ ”不是"

7、 m±l ”的必要条件.综上所述，“ m a ”是" m± l ”的充分不必要条件，选 A.8 .在正方体 ABCDABCD中，动点E在BB上，动点F在线段 A1C%上，O为底面ABCD勺中心，若BE= x, AF= y,则四面体 OAEF的体积 乩>千血»lI I()A.与x, y都有关9 .与x, y都无关C.与x有关，与y无关D.与x无关，与y有关解析：选B 如图，因为 V>AEF= VE- OAF,所以，考查 AOF勺面积和点E到平面AOF勺距离的值, 因为BB/平面ACGA,所以点E到平面AOF勺距离为定值，又 AO/ AG, 所以

8、OM定值，点F到直线AO勺距离也为定值， 即AOF勺面积是定值，所以四面体 QAEF的体积与x, y都无关，故选B.10 （2019 成都一诊）在各棱长均相等的直三棱柱 ABCAiBiCi中，已知 M是棱BB的中点,N是棱AC的中点，则异面直线 AM与BN所成角的正切值为（）A.C.3_63B. 12D.T解析：选C取AA的中点P,连接PNPB则由直三棱柱的性质可知 AM/ PB则/ PBN为异面直线 AM与BN所成的角（或其补角）.= 淄，所以PN+BN= P邑 所以/ PNB= 90设三棱柱的棱长为 2,则PN=小，PB= g BN ,在 RtPBN中，tan Z PBN= PN=

9、63;=口,故BN 33选C.10. (2019 福州模拟)在三B隹 P-ABC 中，PA= PB= PC=斓，AB= AC= 1, BC= ® 则该三棱锥外接的体积是（）B,3解析：选A由POL平面ABC所以PA= PB= PO 也 得点P在平面 ABCrt的射影 O为底面 ABC勺外心,Ad ACbCPOLOA 在 ABC中，AB= AC= 1, BOV3, cosZ BAO。八D 八 2AB, AC1 ,2,所以 sin / BAC=害.由正弦定理得 OA= iBCQ产 1,即 OA= OB= OC= 1.在 Rt POA 22Sin 乙 BAC中，P0 /AOA= 1,所以O

10、A= OB= O仔OP= 1,所以三棱锥 P-ABC勺外接球的球心为 Q4兀其半径为1,故三棱锥P-ABC勺外接球的体积为 k，选A.311.已知三棱锥 P-ABC纨&AP AB AC两两垂直，且长度都为小,以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于A. 3兀解析：选B如图所示，Rt PAC RtPAB为等腰直角三角形,且 AP= AB= AC= 3.以顶点P为球心，以2为半径作一个球与 RtPAC勺PC AC分别交于M N两点,得 cos/APN号,所以/ apn=-6,所以/ npm,所以/=菽2=,同理高得，力向X1g1又GW以顶点P,以

11、2为半径的圆周长的6,所以GM=2 兀 X2 2 Tt所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于兀 兀 兀 2兀 9 Tt 3 Tt+ + +=662362故选B.12. （2018 全国卷I ）已知正方体的棱长为 1 ,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A"B.2,33D.山pJ>! ff c乎故选A.解析：选A 如图所示，在正方体 ABCDABCD中，平面 ABD与棱AA, AB, AD所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与AAAB, AD平行，故正方体 ABCDA1BGD的每条棱所在直线与平面 ABD1所成的角都相等.如图

12、所示，取棱AB, BB, BC, CD, DD, DA的中点E, F, G, H, M N,则正六边形EFGHMN在平面与平面 ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形efghm巾6X2X呼x*xsin 60二、填空题13. （2019 北京高考）已知l , m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断: l _L a .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:解析：已知l , m是平面a外的两条不同直线,由l，m与m/ a ,不能推出l，a ,因为l可以与a平行，也可以相交不垂直;由l，m与l X a能推出m/ a ；由m/ a与l ± a可以推出

13、l ± m故正确的命题是？或？.答案：若 m/ a 且 l，a ,则 l，m 或若 l，m, l，a ,则 m/ a ）14.（2019 重庆七校联考）如图，在正方体 ABCDA1BGD中，点P在线段BC上运动.有下列判断：平面PBD，平面ACID;AP/平面ACD;异面直线AP与AD所成角的取值范围是jo, 3 !三棱锥D-APC勺体积不变.其中正确的是 .(把所有正确判断的序号都填上 )解析：在正方体中，易知 BDL平面ACD, BiD?平面PBD,所以平面 PBDL平面ACD,所 以正确；连接 AB, AC图略，容易证明平面 ABC/平面 ACD，又AP?平面ABC,所以AP

14、/平面ACD，所以正确；因为 BG/AD,所以异面直线 AP与AD所成的角就是直线 AiP与一兀 兀1BC所成的角，在 AiBC中，易知所求角的范围是 |刀，L所以错误；VD-APC= VCADP, j32因为点C到平面ADP的距离不变，且 ADP的面积不变，所以三棱锥 D-APC勺体积不变，所 以正确.答案：15.如图，正方体 ABCDAiBCD的边长为2,过BD的截面的面积 为S,则S的最小值为.解析：由题知，过 BD的截面可能是矩形，可能是平行四边形，(1)当截面为矩形，即截面为 ABCD, A BCD, BBDD时，由正方体的对称性可知 SAB©= SABCD= SBBDD=

15、 4 2.(2)当截面为平行四边形时，如图所示，过点E作EML BD于M 如图(a)所示，SBEEF= BD EM 又因为BD= 2乖，所以SBEDF= EM-23,过点M作MN DD交BD于N,连接 AN当AN1 BD时，AN最小，此时，EM的值最小，且EM=啦，故四边形BEDF的面积最小值为 SBEEF=/*2*=246,又因为所以过BD的截面面积S的最小值为2816. （2019 全国卷 I ）已知/ ACB= 90° , P为平面 ABC7卜一点，PC= 2,点 P到/ ACBW边AC BC的距离均为小,那么P到平面ABC勺距离为所以C8 /ACB勺平分线,即/ AC仔45在

16、 Rt PEO43, PC= 2, PE=淄，所以 CE= 1,所以OE= 1,所以POqPl-OE= 小闵-12 =也B级一一拔高小题提能练D.四面体ACDF勺体积为定值解析：如图，过点 P作POL平面ABB O则PO为P到平面ABC乎，点C到平面AEF的距离为点C到平面ABD的距离d1为定值,的距离.再过 O作 OEL AC于 E, OFL BCT F,连接 PC PE PF,则 PEL AGPF± BC又 PE= PF= 8 所以 OE= OF1.多选题如图，正方体 ABCDABCD的棱长为3,线段BD上有两个动点E, F且EF= 1,则当E, F移动时，下列结论正确的是 （）

17、A. AE/平面 CBDB.四面体ACEF勺体积不为定值C.三黏t ABEF的体积为定值22解析：选ACD对于A,如图1, AB/ DC,易证AB/平面C1BD同理AD/平面CBD且ABAAD= A,所以平面 ABD/平面CBD又AE?平面ABD,所以 AE/平面 CBD A正确；对于 B,如图2, Saaef11=2EF , h1 = 2 x 1 x所以Yacef= Vc-aef= 3XXdi = Li为定值,所以B错误;图313对于C,如图3,及bef= 2><1X3=2,点A到平面BEF的距离为点 A到平面BBDD的距离d2为定值，所以 Vvbef= ；x3xd2 = 1d2

18、为定值，C正确；对于 D,如图4,四面体 ACDF勺体积 3 221 19 ,、一 一A-CDF= VF- ACC X 2* 3X3X3= 2为定值，D正确.故选ACD.图42.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目.图1图2图3项目：折叠状态下（如图1）,检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图2）,检查O阵ON= O' M =O N'项目：打开过程中（如图2）,检查OGOO' K' =O L'；项目：打开后（如图3）,检查/ 1 = / 2= / 3= / 4 = 90° ;项目：打开后（如图3）,检查AB= CD= A B'

19、; =C' D'.在检查项目的组合中，可以判断“桌子才T开之后桌面与地面平行”的是（）A.B.C.D.解析：选B A选项，项目和项目可推出项目，若/ MONZ M O N',则MN较 低，M N'较高，所以不平行，错误； B选项，因为/ 1 = 7 2=7 3=7 4 = 90° ,所以平面 ABCD平面 A B C D',因为 AB=A' B',所以AA平行于地面，由知，OO' /AA /平面 MNNM ,所以桌面平行于地面，故正确； C选项，由得， OM= ON OA，AA , O' A' AAA ,

20、 AB= A B',所以AA B BB，但OA与O' A是否相等不确定，所以不确定OO'与BB是否平行，又 OO' / MN所以不确定 BB与MW否平行，故错误;D选项，O限 OL O K' = O L',所以 AA' / BB，但不确定 OMf ON O' M , O N'的关系，所以无法判断 MNW地面的关系，故错误.综上，选 B.3.已知正方体 ABCDABiCD的棱长为1,除面ABC0卜，该正方体其余各面的中心分别为点E, F, G H, M(如图)，则四棱锥 M-EFGH勺体积解析：连接AD,CD, BA, BC, AC 因为 E, H分别为 AD, CD的中点，所以EH/ AC_1 一EH= 2AC因为F, G分别为B1A, BC的中点,-1-,-，一，所以FG/ AC FG= 2AC所以EH/ FG EH= FG所以四边形 EHG四平行四边形，又 EG= HF, EH= HG所E ，、-i一，1,以四边形EHG网正方形，又点Mil平面EHGF勺距离