论数学思想之数学模型思想

1、论数学思想之数学模型思想论数学思想之数学模型思想1 问题的提出数学的发展史包含着数学思想和方法的积淀, 当然数学本质的飞跃要算数学思想方法的重大突破. 所以 苏 弗里德曼认为：“数学逻辑结构的一个特殊、重要的要素就是数学思想，整个数学学科就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来. ”数学思想是发展数学能力的拱心石，正如日本数学教育家米山国藏所说：“我们所学的数学知识，如果没有机会应用，时间一长，就会被忘掉，然而铭记在头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期在生活和工作中发挥重要的作用，受益终生. ”因此，开发学校数学课程，必须加强数学思想与方法的渗透，强化数学思想方法，特别是数学模型思

2、想方法的培养和训练，全面提高学生的数学思维能力.2 数学思想概述当今数学教育中，“数学思想”是个核心概念，然而，什么是数学思想？学术界却没有统一的答案. 但是从多角度去解释数学思想，应该会更好.张奠宙先生认为：数学思想尚不成为一种专有名词，人们常用它来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成就. 当然，同一数学成就，当用它去解决别的问题时，称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为数学思想. 比如：M.克莱因的巨著古今数学思想，说的都是古今数学方法.但是从数学史角度看，人们在本巨著中，更加注重的是那些数学大师们的思想贡献，文化价值，因而称此巨著为古今数学思想.丁石

3、孙先生认为，数学思想就是人们对于数学的看法. 但是，从数学教育的角度来看，数学思想就是对数学内容、方法的本质认识，也是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识. 因此，数学思想贯穿于解决数学问题过程中的思维方法的普遍策略和规律. 所以学生是能否有意识、主动运用数学思想解答数学问题，是衡量其数学能力和数学综合素质高低的重要标志.3 数学思想之数学模型思想建立模型思想是数学中常用的数学思想方法之一.“数学模型方法”就是把研究的对象或问题转化为本质同一的另一对象或问题，并加以解决的思想方法. 它既是处理数学理论问题的思想，也是解决各种实际问题的方法.在论述模型思想时要涉及“模型”与

4、“原型”两个基本概念 . “模型”是相对“原型”而言的 . 原型是指在现实世界中的客观事物，也通常指被研究的对象或问题. 而“模型”则是对客观事物本质属性的模拟，从而转化成相对定型的、模拟化、结构化的对象或问题.所谓数学模型是指使用数学符号、式子、数学关系描述特定问题或具体实际事物关系的数学结构. 数学模型是对原型作出的一种简化而本质的描摹.在教学中，数学模型转化为原型，我们应尽量选取学生所熟悉的生活实例来还原现实情景背后的数学，最终使学生感受到这些数学概念不是人为硬性规定的，而是与实际生活密切联系的. 所以从普遍意义上说，实际问题比模型化的纯数学问题更符合问题的实质，同时更能揭示数学知识的本

5、质，更易被学生接受.反过来，把原型转化为数学模型. 通过用数学知识来解决熟知的、贴近生活的实例，使学生体会到应用数学知识解决实际问题的愉悦感，从而体现数学的实际应用价值. 这实际上也增强学生对数学知识的应用意识，使学生感受到数学不再是高深的理论、枯燥乏味的东西 . 至于原型转化为数学模型的一个最典型的例子，要数欧拉把哥尼斯堡“七桥问题”转化为欧拉回路一笔画问题.因此，数学模型与原型间的相互转化，应该是教与学的根本思路. 但是，所建立的模型必须真实反映原型的结构、关系等数学本质特征和变化规律.当然，我们所学过的数学概念、公式、定理、法则、原理等，以及各类问题及其解答规律，都以不同程度地保留在我们

6、的记忆之中，我们也称之为数学模型. 波利亚巨著怎样解题中说到: “你以前见过它吗？你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？你是否知道与此有关的问题等？这样在我们正要解答某数学问题时，把待解答的问题与已掌握的数学模型进行比较，解法也就自然有了. ”这也表明波利亚在强调模型思想的重要性 .所以普通高中数学课程标准实验明确提出，数学课程要求把数学探究、数学建模思想等，以不同的形式渗透在各模块或专题内容之中. 因此，为了数学教育能够适应现代社会对人才的需求，需将数学“双基”发展成“四基”，即基本知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验. 所以形成数学思想，能用数学模型的思维来解决问题，历来都是中学数学

7、课程教学目标之一.4 数学模型思想应用举例为更好强调数学建模思想在数学教与学中的重要价值，现列举几个数学教学实例：实例 1 上面所提的哥尼斯堡“七桥问题”，数学家欧拉显示出大数学家的智慧，把原型问题简化，去掉不必要因素，比如桥的长度，从而把被河流隔开的四块区域缩成4 个点，七座桥就被看成连接4 个顶点的七条边. 这就得到一个数学模型，即为4 个顶点、7 条边的图，原问题即被抽象成：能否找到一条起点与终点重合，并且经过每条边一次且仅一次的一条回路. 从而这就极大方便了此问题解决. 这就是 1736 年欧拉所贡献的图论中最基本的欧拉回路问题，体现出了数学模型思想在数学创新中的巨大作用.实例 2 近

8、几年高考题目更加突显出其应用性和问题设计的新颖性和创造性，方兴未艾的新课改在时时刻刻提醒着我们“思路决定出路”.2021 年广东高考数学试题（理科 ）第 13题：某数学老师身高176cmi他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cmi 170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，则该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.这个普通的生活问题其实就是一道一元线性回归分析问题，我们的解答思路是将 这生活原型转化为数学模型进行解答.面对上面这一实际问题，我的思路是：在一组具有相关关系的变量数据（ X与Y）间, 我们通过相关图可观察出所有数据点都分布在某条直线的附近，这样的直线可以画出许

9、多 条，而我们希望其中的一条最好反映出X与Y之间的关系，即我们所要找出的那条直线“最贴近”已知的数据点 . 这直线就是回归模型直线，因为模型中有残差，并且残差无法 消除，所以就不能用二点确定一条直线的方法来得到直线方程. 但是要保证尽量多的实测点都聚集在所要的回归直线l 上，这就需要数据点到直线l 的距离的平方和最小. 所以，只要有了这样思想，所要的最好的拟合直线l 就不难找到吧.实例 3 经假设、简化、抽象、计算等手段, 对变速运动与曲边梯形面积（原型）的研究，创立了微积分这个数学模型, 并用此模型, 解决了诸如变速运动的速度、曲线的切线和弧长、曲边平面圆形的面积以及不规则几何体的体积等一系

10、列的现实问题. 可以说，微积分这个数学模型, 开创了研究变量数学的新纪元, 微积分的发明本身也是数学建模思想成功的一个光辉典范.当然，中小学的列方程解应用题；构成函数模型来研究实际问题；线性规划中由实际问题列出约束条件得线性方程组，由此再讨论由问题得到的目标函数的最值，从而达到原问题所要的最优化设计；等等这些均是现实原型转化为数学模型的思想的具体表现.实例 4 聚会总人数超过或等于6 人，证明：其中至少有3 人互相认识，或者互相不认识 . （ 1947 年匈牙利数学竞赛题）有数学思想的人与没有数学思想的人之间有截然不同之处，前者能把一个说起来模模糊糊的问题变成一个非常清楚、确切的问题. 现就把

11、原问题（原型）抽象化：6 个人用 6 个点表示，每两个人之间的关系用连接点的不同颜色的线表示，不妨设红线h 表示认识，蓝线 l 表示不认识. 这样就得到了由这6 个顶点，且每两个顶点之间用h 或者 l 连接的共15条线构成的图. 从而原问题自然就变成：证明这个图中至少存在一个三边同色的三角形. 通过这个图就把原问题变成每个人都能听清楚的确切的数学问题.实例 5 德摩根定理是集合论中一个非常重要的定理，在随机事件的概率计算中，有着十分重要的作用，但学生对定理的理解、记忆都不是很轻松，若构造直流电路图辅助说明，把数学模型转换为原型，既直观又浅显，方便学生记忆理解.用A表示用电器A正常工作，用B表示

12、用电器B正常工作.对于（1） , AAB表示串 联电路通电，表示串联电路断电，等价于 A断电或B断电，即.对于（2） , AUB表示并电路通电，表示并联电路断电，等价于A断电且B断电，即总之，数学思想是解决数学问题的心智，它总是指向问题的变换，最终达到掌握问题对象的数学特征、关系结构等目的. 因此数学创新、解题的思维过程其实是数学问题转变的过程，也是数学原型与数学模型之间的相互转变过程. 1曹培英. 从学科核心素养与学科育人价值看数学思想J. 课程教材教法,2021. 2卢建玲. 高中学生认知特点与数学校本课程的实践向度J. 桂林师范高等专科学校学报 ,2021. 3孔凡哲，等. 基本思想在数学教科书中的呈现形式的研究全国数学教育研究会C. 国际学术年会论文集，2021. 4张峰. 建模思想在数学解题中的运用J. 课程教育研究，2021. 5岳玉静，等. 谈数学建模思想在高职高等数学教学中的渗透J. 上海