第二章复变函数的积分

1、第二章 复变函数的积分柯西定理柯西公式上次课复习yuxvyvxu柯西-黎曼方程（条件），C-R条件，是复变函数可导的必要条件函数f(z)可导的充分必要条件：f(z)的偏导数 存在且连续，并满足C-R条件。yvxvyuxu,解析函数若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。解析与可导的关系在一点在区域解析函数的实部与虚部的关系2、1 复变函数的积分设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点z0（即起点A）, z1 , z2, zn（即终点B），把l分成n个小段，在每个小段zk-

2、1,zk上任取一点k，作和， nkkkkzzf11)(lZ0(A)Zn(B)Zk-1Z当n且每小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，且其值与各个k的选取无关，则这个和为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作ldzzf)(lllkkknkkkknldyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzfyxivyxuzfiyxzzzfdzzf),(),(),(),()(),(),()(),(),()(,)(lim)(11即复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，分别是路积分的实部和虚部。复变函数积分的性质：2n1)()()()(, . 4)()( . 3)()()

3、()( . 2)()( . 1n212121llllllllllldzzfdzzfdzzfdzzflllldzzfdzzfdzzfdzzfdzzfzfdzzfadzzaf则若1、常数因子可以移到积分号外；2、和积分等于积分和；3、反转路径，积分反号；4、全路径上的积分等于各段积分之和，且与路径有关。分值不仅与起终点有关果不同。复变函数的积由于积分路径不同，结同，起点、终点相同，可见，虽然被积函数相即解：计算积分例21021210),(,),(,Re)(.Re,Re :11010210102101012121xdxdyiIiiyxdyixdxIyxvxyxuxzzfzdzIzdzIll0l1l1

4、l2l21+21)21 (2)21 (,2,2, t,21242,2)(0),(,),(,Im)(20 ,Im 22010220210202010idtitIdtidztitztytxiyixydyidxxIxyydyiydxidydxyIyzvyyxuyzzfilzdzIll设参数另：参数积分法：解：的直线。和为连接：例0yx2+2、2 柯西Cauchy定理（一）单连通区域情形单通区域：在其中做任何简单的闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。单连区域柯西定理：如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的任一分段光滑闭合曲线l，有ldzzf0)(ll

5、SllldzzfyuxvyvxudxdyyPxQQdyPdxyvxvyuxuzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf0)(- R-C)(B,B)(),(),(),(),()(:，条件：另有根据格林公式，上连续。在解析，因而在由于证明推广：如果函数f(z)在单通区域B上解析，在闭单通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有ldzzf0)(（二）复通区域情形为了将奇点排除在区域之外，需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去，即形成复通区域。一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。对于区域（单或复通区域）的境

6、界线，通常这样规定（内外）正方向，区域在观察者的左边。复通区域柯西定理：如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则l为区域外境界线， li为内境界线，积分均沿正方向进行。lnilidzzfdzzf0)()(向积分相等。沿内外境界线逆时针方即：的积分值抵消，于是其中沿同一割线两边缘按单通区域柯西定理，在这上是解析的。段为境界线的单通区域了以，原来的复通区域变成做割线连接内外境界线证明lnilllBAlABlidzzfdzzfzfBAllA1)()(00)(B:11ll1BA 总结：1、闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零；2、闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零；3、闭复通

7、区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数，只有起、终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”），路积分值不变。1ReRe121Re,ReC1211211CRaa )2( 01 a, (1):a1a0121:20diiIdidzazdzazidzaziIazlIlazllldzaziIiiiiCll上在复通区域内解析。则，为半径作小圆为圆心，以包围（单通区域柯西定理）所围区域内解析，在不包围解包围不包围例CaR2、3 不定积分根据柯西定理，若函数f(z)在单通区域B上解析，则沿B上任一路径l的积分 的值只跟起点和终点有关

8、，而与路径无关。因此，当起点和终点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作F(z)在B上是解析的，且F(z)=f(z)，即F(z)是f(z)的一个原函数。路积分的值等于原函数的改变量。ldzzf)(zzdfzF0)()()()()(1221zFzFidiIneniiRIndeiRideReRdeRdzzIzIllIlzfldzzIninniniinnlCiinnninl2-10) 1(1-1)Re()(ReCCR0,n; 00,n)2(0)() 1 ().n()(:2020)1(120)1(120时，当时，当上，在。为半径作圆周为圆心，。以则存在一个奇点如所围区域仍是解析的，被积函数在，

9、如包含若根据柯西定理，所围区域上是解析的，在，则不包含若解：为整数例ll i.2)ln(),-ln(z)(-1)()(-11)()(,)()(11的改变量为一周，逆时针绕多值函数。的原函数为时，当的改变量为零；一周，为单值函数，绕时，当意义：zznzFzFnnzzF2、4 柯西Cauchy公式单通域柯西公式：若f(z)在闭单通区域B上解析， l为B的境界线，为B内一点，则dzzzfifl)(21)(闭区域上解析=开区域内解析， l为其中一围线。意义： 是l内任一点，解析函数的值由边界上的值唯一确定。比如，无源电场的电位。dfzfdeiefzfidzzfzfideidzezdzzfzfidzzf

10、zfizfzflzfzfzdzzfzfizdzzfifzdzfizdziffiiliilllll2020C)()(21)()(21)()(21,zC)()(21)()(21)()(C,C)()()2(.0)()(21)(21)()(2121)()() 1 (有：于是有：上的对于根据柯西定理，单值解析。所围复通区域上及这样在为半径做小圆为圆心，取任意小的奇点，因此，以为因为即可比较，只需证明与已知证明：dzzzfifdzzfzfiddfzfdfzffzfzzfll)(21)(, 0)()(2121| | )()(|21)()(21| )()(|, 0)()3(202020因而有：时，当连续，一定

11、可以找到因为估计现在需要对上式右端做回顾证明过程，利用大围线积分等于小围线积分，当围线很小时，积分趋于0，所以大围线的积分也只能为0.柯西公式把解析函数在任一内点的值f()用沿境界线l的回路积分来表示。因为解析函数在各点的值可以通过C-R方程相互联系。从物理上说，解析函数紧密联系于平面标量场，而平面场的边界条件决定着区域内部的场。dzfizfl)(21)(柯西公式也常写做：若f(z)在l上所围区域上存在奇点，则考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上f(z)解析，则柯西公式仍成立，只要将l理解为所有的境界线，且均取正向。柯西导数公式：由于z为区域内点，积分变数在境界线上，-z0,积分号下的导数f()/(-z)在区域上处处可导。因此，可以在积分号下对z求导，得：dzzfinzfdzzfizflnnl1)(2)()(2!)()()(2! 1)