专题07排列组合、二项式定理与概率-2016年高考+联考模拟理数试题分项版解析解析版

1、第一局部2021高测试题排列组合、二项式定理1.12021高考新课标2理数】如图,小明从街道的 E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()(A) 24(B) 18(C) 12(D) 9试题分析：由题意,小明从街道的E处出发到F处最短有C?条路,再从F处到G处最短共有条路,见打、明到老年公寓可以选捧的最短路径条数为G-G=is条,应选民考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易无视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的.分步乘法计数原理在使用时易无视每步中某一种方法只是完成这件事的一局

2、部,而未完成这件事,步步之间是相关联的.2 .【2021年高考四川理数】设i为虚数单位,那么(x i)6的展开式中含x4的项为(A) 15x4(B) 15x4(C) - 20i x4(D) 20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式(x i)6展开的通项T.1 C；x6rir,令6 r 4,得r 2 ,那么展开式中含 x4的项为_ 2 4 24C6x i15x ,应选 A.考点：二项展开式,复数的运算.【名师点睛】此题考查二项式定理及复数的运算,复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的根本概念及四那么运算即可.二项式(x i)6的展开式可以改为(

3、i x)6,那么其通项为C；i6 rxr,即含x4的项为c4i6 4x415x4.3 .【2021年高考四川理数】用数字 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(A) 24(B) 48(C) 60(D) 72【答案】Dt解析】试题分析：由题意,要蛆成没有重复的五位奇救,那么个位数应该为1、九5中之一,其他位置共有随便排 共,种可能,所以其中奇数的个数为3f二72,应选D.考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏,分步时要注意 整个事件的完成步骤.在此题中,个位是特殊位置,第一步应先安排这个位置,第二步再安排其他

4、四个位 置.4.12021高考新课标3理数】定义“标准 01数列 an如下：an共有2m项,其中m项为0, m项为1,且对任意k 2m , a1,a2,L ,ak中0的个数不少于1的个数.假设m 4 ,那么不同的“标准01数列共有( )(A) 18 个(B) 16 个(C) 14 个(D) 12 个【答案】C【解析】试题分析：由题意,得必有 a10, % 1,那么具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用.【方法点拨】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果

5、 不太大时,往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来,常常会到达出奇制胜的效果.5 .【2021年高考北京理数】在(1 2x)6的展开式中,X2的系数为 .(用数字作答) 【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式Tr 1 C；( 2)rxr可知,x2的系数为0(2( 2)2 60,故填：60 .考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项,是指展开式中的某一项,如第 n项、常数项、有理项、字母指数 为某些特殊值的项.求解时,先准确写出通项 Tr 1 C：an rbr ,再把系数与字母别离出来 (注意符号),根据 题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不

6、等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质,同时应注意结合 n的范围分析.6 .【2021高考新课标1卷】(2x JX)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)【答案】10t解析】试分析工+逐户的展开式通项为备(2K广,(石y =0一外令5 -彳=3得尸=4,所以X3的系数是 = 10.考点：二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项Tr 1,再确定r的值,从而确定指定项系数.7.12021高考天津理数】(x21)8的展开式中x2的系数为 .(用数字作答) x【答案】56【解析】试题分析：展开式通项为 Tr 1 C；(x2)8r( 1)r ( 1)C；x1

7、6 3r,令16 3r 7, r 3 ,所以x7的 x(1)3C；56 .故答案为 56.考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n和r的隐含条件,即n, r均为非负整数,且n天)；第二步是 根据所求的指数,再求所求解的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其 为整数,再根据数的整除性来求解.8.12021高考山东理数】假设ax2+5的展开式中X5的系数是80,贝U实数a=【答案】-2【解析】,所以由10 5r 52110

8、试题分析：由于 Tr 1 C；(ax2)5 r()rC5a5 rxxC；a5 280 a 2.考点：二项式定理【名师点睛】此题是二项式定理问题中的常见题型,二项展开式的通项公式,往往是测试的重点.此题难度不大,易于得分.能较好的考查考生的根本运算水平等.9.12021高考江苏卷】(本小题总分值10分)(1)求 7C3 WC4 的值；(2)设 m, n N*, nm,求证：(m+1) Cm + (m+2) Cm+1 + (m+3) Cm+2 +- +n Cm_1 + (n+1) Cm = (m+1) C：+；2 .【答案】(1) 0 (2)详见解析【解析】试题分析：(1)根据组合数公式化简求值(

9、2)设置(1)目的指向应用组合数性质解决问题,而组合数性质不仅有课本上的 Ckm Cm1 Cm：,而且可由(1)归纳出的(k 1)Ckm (m DCkMk m,m 1,L,n)；单纯从命题角度看,可视为关于n的等式,可结合数学归纳法求证；从求和角度看,左边式子可看做展开式(m 1)(1 x)m (m 2)(1 x)m 1n(1 x)n 1 (n 1)(1 x)n中含xm项的系数,再利用错位相减求和得含xm项的系数,从而到达化简求证的目的试题解析：解：1 7C； 4c4 77 6 5 4 c 0.4 3 2 12当n m时,结论显然成立,当八m (k 1) k! , (k 1)C(mm!(k m

10、)!1)(k 1)!(m 1)!(k 1) (m 1)!(m 1)C；,k m 1,m 2,L , n.又由于 C； C:12 C22,所以(k 1)Ckm (m 1)(Ckm22 C；12),km 1,m+2,L,n.因此(m 1)Cm (m 2)C：1 (m 3)C： 2 L (n 1)C:(m 1)累(m 2)Cd (m 3)C： 2 L (n 1)C1(m1)Cm 2(m 1)(Cm 2Cm2)(Cm 2Cm2)L (Cm 2Cm2)(ml)Cm 2(m l)(Cm 3Cm 2)(Cm 4Cm 3)L (Cn 2Cn 1 )(m 1)Cnm22考点：组合数及其性质【名师点睛】此题从性质

11、上考查组合数性质,从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题,从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型.组合数性质不仅有课本上介绍的Cm Ckm1 Ckn1 Cm=Ckm更有kCk nC,现在又有k 1Ckm m 1.；,* m,m 1,L ,n,这些性质不需记忆,但需会推导,更需会应用.概率和统计1.12021高考新课标1卷】某公司的班车在 7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,那么他等车时间不超过 10分钟的概率是一 1123A 3B 2C 3D 4【答案】B【解析】试题分析：如下图,画出时间轴：7:307:407

12、:508:008:108:208:30*A CD B小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率P史0 1.应选B. 402考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定测度,常见的测度由：长度、 面积、体积等.2.12021高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 C, B点表示四月的平均最低气温约为5 C .下面表达不正确的选项是一月七月平冷-.均MUA各月的平

13、均最低气温都在 0 c以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温根本相同D 平均气温高于20 C的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：由图可知yC均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在.七以上,&正确,由图可在七月的 平均温差大于工5.0,而一月的平均温差小于75口.,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确9 由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5 y ,根本相同,C正确$由图可笑呼均最高气温高于20t 的月份有3个或2个,所以不正确,应选D .考点：1、平均数；2、统计图.【易错警示】解答此题时易错可能有两种：1对图形中的线条熟悉不明确,不知所措,只

14、觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法；2估计平均温差时易出现错误,错选B.3.12021高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间单位：小时 ,制成了如下图的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5, 30,样本数据分组为17.5, 20, 20, 22.5, 22.5,25, 25,27.5 , 27.5 , 30.根据直方图,这 200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A) 56(B) 60(C) 120(D) 140频率【答案】D【解析】试题分析：由频率分布直方图知,自习时间不少于 22.5小时为后三组,有200 (0.16 0.08 0.04)

15、2.5 140 (人),选 D.考点：频率分布直方图【名师点睛】此题主要考查频率分布直方图,是一道根底题目.从历年高考题目看,图表题已是屡见不鲜,作为一道应用题,考查考生的视图、用图水平,以及应用数学解决实际问题的水平4.12021高考新课标2理数】从区间 0,1随机抽取2 n个数x1, x2,xn, y1 , y2,yn,构成n的数对共有m个,那么用随机模拟的方个数对 x1,y1 , x2,y2,xn ,yn ,其中两数的平方和小于1法得到的圆周率的近似值为, 八、4n(A m(B)空 m(C)4m n(D)网 n试题分析：利用几何概型,圆形的面积和正方形的面积比为SaSE方形R24R24m

16、 .选C. n考点：几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.5.【2021年高考北京理数】袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否那么就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,那么A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】Ct解析】试题分析：假设N盒中放

17、入的是红球,那么须保证抽到的两个均是红球孑假设乙盒中放入的是黑球,那么须保证抽 到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒假设丙盒中放入的是红球,那么须保证抽到的两个球是一红一黑二 旦黑球放入甲盒J假设丙盒中放入的是黑球, 那么须保证抽到的两个球都是黑球宁A:由于抽到的两个球是红球 和黑球的次数是奇物还是偶数无法确定,故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系,而抽到两个红球的 次数与抽到两个黑球的次数应是相等的,应选C.考点：概率统计分析.【名师点睛】此题将小球与概率知识结合,创新味十足,是水平立意的好题.如果所求事件对应的根本领件有多种可能,那么一般我们通过逐一列举计数,再求概率,此题即是如此.列举

18、的关键是要有序有规律,从而保证不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.6.12021高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具先后抛掷2次,那么出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】5.6【解析】点数小于10的根本领件共有30种,所以所求概率为 30 536 6考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,属于简单题.江苏对古典概型概率考查,注重事件本身的理解,淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义,然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比拟复杂时,往往采取计数其对立事件

19、7.【2021年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验 成功,那么在2次试验中成功次数 X的均值是 .3【答案】32【解析】试题分析：同寸抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正(反反3所以在1次 试脸中成功次数4的取值为0.2,其中尸:二产e = 1 =2) = ： 4241 1 3在1次试辘申成功的概率为尸(4之1)=J+：=,42 4 1 39所以在2次试脸中成功次数*的祗率为/XT = l) = Cixyx- = -J JX=2) = (-)2 =,4 4 B4L6i 39 3E=lx-+2x=- 816 2考点：离散型

20、随机变量的均值【名师点睛】此题考查随机变量的均值(期望) ,根据期望公式,首先求出随机变量的所有可能取值nx1,x2,L ,xn ,再求得对应的概率 P(i 1,2,L ,n),那么均值为 xR .i 18.12021高考新课标2理数】有三张卡片,分别写有1和2, 1和3, 2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2,乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1,丙说：“我的卡片上的数字之和不是5,那么甲的卡片上的数字是 .【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3,乙的卡片上数字为 2和3,丙卡片上数字为1和2

21、.考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎,得出具体陈述或个 别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可 替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.9.12021高考江苏卷】一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,那么该组数据的方差是 .【答案】0.1【解析】 1试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.1,52122222S2-(4.7 5.1)2(4.8 5.1)2(5.1 5.1)2(5.4 5.1)2(5.5 5.1)20.1 .故

22、答案应填：0.1,5考点：方差【名师点睛】此题考查的是总体特征数的估计,重点考查了方差的计算,此题有一定的计算量,属于简单题.认真梳理统计学的根底理论,特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等,针对练习近几年的江苏高考类似考题,直观了解本考点的考查方式,强化相关计算水平2210.12021高考山东理数】在-1,1上随机地取一个数 k,那么事件“直线y=kx与圆(x- 5) + y = 9相交发 生的概率为.【答案】3 4【解析】试题分析：直线y=kx与圆(x- 5)2+ y2 = 9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即 d 15k |2 3, 1 k33 3 33解得3k3,而k

23、? 1,1,所以所求概率P=24 424.考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.【名师点睛】此题是高考常考知识内容.此题综合性较强,具有“无图考图的显著特点,几何概型概率的计算问题,涉及圆心距的计算,与弦长相关的问题,往往要关注“圆的特征直角三角形,此题能较好的考查考生分析问题解决问题的水平、根本计算水平等11.12021高考新课标1卷】(本小题总分值12分)某公司方案购置 2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不 足再贝买 那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件

24、,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 ,n表示购置2台机器的同时购置的易损零件数.(I)求X的分布列；(II)假设要求P(X n) 0.5,确定n的最小值;III 以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n 19与n 20之中选其一,应选用哪个【答案】见解析II 19 III n 19【解析】试题分析：I先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；II通过频率

25、大小进行比拟；III分别求出n=9,n=20的期望,根据n 19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值,应选n 19.试题解析：I由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X 16) 0.2 0.2 0.04；P(X 17) 2 0.2 0.4 0.16；P(X18) 2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24；P(X19)2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 0.24；P(X20) 2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2；P(X 21) 2 0.2 0.2 0.08；P(X 22)

26、0.2 0.2 0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(n)由(i)知 P(X 18) 0.44,P(X 19) 0.68,故n 的最小值为 19.(m)记Y表示2台机器在购置易损零件上所需的费用(单位：元) 当 n 19 时,EY 19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08(19 200 3 500) 0.04 4040.当n 20时,EY 20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 200 2 500) 0.04 4080.可知当n 19时

27、所需费用的期望值小于 n 20时所需费用的期望值,故应选n 19.考点：概率与统计、随机变量的分布列,有一定综合性但难度不是太大大【名师点睛】此题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.12.12021高考新课标2理数】某险种的根本保费为 a (单位：元),继续购置该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85 aa1.25 a1.5 a1.75 a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.2

28、00.100.05(I )求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；(n)假设一续保人本年度的保费高于根本保费,求其保费比根本保费高出60%勺概率;(出)求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值.【答案】(I ) 0.55 ； (n)；(出)1.23.【解析】试题分析:(I)根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率$ (II)续保人 本年度的保磬高于根本保帮,当且仅当一年内出险次蓟大于3,由条件概率公式求解$ 谈保人本年 度的保费为求工的分布列,再根据期望公式求解.试题解析：(I )设/表示事件:*一续保人本年度的保襄高于根本保费%那么事件才发生当且仅当一年内出 险次嫩于

29、L故汽用=02+02+ 0.1+ 0.05 = 055.c n)设君表示事件:,一续保人本年度的保费比根本保会高出60%、那么事件方发生当且仅当一年内出脸 次数大于3,故/= 0.15.又式幽=改为,故玳耳/)=式皿_ PJJ.15 _ 3 式=尸(/)=正厂五因此所求概率为白(出)记续保人本年度的保费为X ,那么X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.051.23a因此续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为1

30、.23考点：条件概率,随机变量的分布列、期望 .【名师点睛】条件概率的求法：P AR(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A) = p-ab-,求 P(B|A);P A(2)根本领件法：当根本领件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的根本领件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的根本领件数 n(AB),得P(B|A) =必坦.n A求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出 E(X).13 .【2021年高考四川理数】(本小题总分值1

31、2分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,方案调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准X (吨)、一位居民的月用水量不超过X的局部按平价收费,超出X的局部按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨),将数据根据0,0.5), 0.5,1),4,4.5)分成9组,制成了如下图的频率分布直方图(I)求直方图中a的值；(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(III )假设该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准X (吨),估计X的值,并说明理由.【答案】(I)

32、a 0.30； (n) 36000； (m) 2.9.【解析】试题分析：(I)由高X组距=频率,计算每组中的频率,由于所有频率之和为1,计算出a的值；(n)利用高x组距=频率,先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率,再利用频率X样本总数 =频数,计算所求人数；(出)将前6组的频率之和与前 5组的频率之和进行比拟,得出2.543,再进行计算.试题解析:( I)由频率分布直方图知,月均用水量在WO5)中的频率为03洲3尺_.4,同理,在力1.5,2,2.5), 333.50,以4中的频率分别为0.叫0犯 OJM, 0g 0.04, C C2,由 0M也一0*+0.85 ,而前 5 组的频率之和为

33、0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85 ,所以2.5皮(x 72.5)=0.85 -0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.考点：频率分布直方图.【名师点睛】此题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等根底知识,考查学生的分析问题解决问题的水平.在频率分布直方图中,第个小矩形面积就是相应的频率或概率,所有小矩形面积之和为1,这是解题的关键,也是识图的根底.14 .【2021年高考北京理数】(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间

34、,数据如下表(单位：小时)；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7, 9, 8.25 (单位：小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1,表格中数据的平均数记为的大小,(结论不要求证实)3【答案】(1) 40; (2) ； (3) 108【解析】试题分析：(I)根据图表

35、判断 c班人数,由分层抽样的抽样比计算c班的学生人数;(n)根据题意列出 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的所有事件,由独立事件概率公式求概率(m)根据平均数公式进行判断即可试题解析：(1)由题意知,抽出的 20名学生中,来自C班的学生有8名,根据分层抽样方法,C班的学生8 一人数估计为100 40； (2)设事件 A为“甲是现有样本中 A班的第 20i个人,i1,2, ,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人,j 1,2, ,8 ,1由题意可知,P(A)-1i 1,2, ,5； P(Cj) j 1,2, ,8,8八八 1P(Ag) P(A)P(Cj)】511- -,i 1,2, ,5,

36、 j 1,2, ,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长,由题意知,E A1cl AC2 A2cl A2C2 A2C3 A3cl A3c2 A3c3A4C1A4C2A4C3A5C1A5c2A5C3A5C4因此P(E) P(AC1)P(AQ2)P(A2C1) P(A2c2) P(A2c3) P(4C1)P(A3c2)P(AA)P(AG) P(A4c2) P(A4c3) P(AG) P(AC2) P(ACj P(AC4) 151 340 8(3)根据平均数计算公式即可知,考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法,将所求事件的概

37、率分解为一些彼此互斥事件 概率的和,运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A) 1 P(A),即运用逆向思维的方法 (正难那么反)求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到 底是什么事件,不能重复或遗漏 .特别是对于含 至多“至少等字眼的题目,用第二种方法往往显得比拟简 便.15.12021高考山东理数】(本小题总分值12分)甲、乙两人组成“星队参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,那么“星队得 3分；如果只有一个人猜对,那么“星队得1分；如果两人都没猜对,那么“星队得32分.甲每轮猜对的概率是 3 ,乙每轮猜

38、对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果43亦互不影响.假设“星队参加两轮活动,求：(I) “星队至少猜对 3个成语的概率；(n)“星队两轮得分之和为 X的分布列和数学期望 ex2 23【答案】(I)2 (n)分布列见解析,EX 233 6【解析】试题分析：(I)找出“星队至少猜对3个成语所包含的根本领件,由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；(n)由题意,随机变量 X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得到X的分布列,根据期望公式求解 .试题解析：(工)记事件A：仃甲第一轮猜对,记事件乙第一轮猜对T记事件C: “甲第二轮猜对丐记事件D: *

39、乙第二轮猜对H记事件星队至少猜对个成语 .由题意,E = ABCD + ABCD + ABCD + AB CD ABCD.由事件的独立性与互斥性,P(EP(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD+PABCD+PABCb=P()P(C)f (D)+J) P(C)P(D)+P(J)P(C)f (2)+产(4)尸(E)P(弓 P(D)+P() P(B)P(C)尸伊)所以“星队至少猜对3个成语的概率为:.(n)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得114431111211105P X 12 -43434343144 723 13 14 3 4 33 2 11

40、4 3 4 33 1124 3 4 3113 24 3 4 312 3 14 3 4 31,1212 124 3 4 325144PX 423231g 212 些工勺43434343144 12可得随机变量X的分布列为X012346P15251511447214412124152515123所以数学期望EX 0 1 253-4-6-3.14472144121246考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望【名师点睛】此题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期 望.解答此题,首先要准确确定所研究对象的根本领件空间、根

41、本领件个数,利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解 .此题较难,能很好的考查考生数学应用意识、根本运算求解水平等16.12021高考天津理数】本小题总分值13分某小组共10人,利用假期参加义工活动,参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.I设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4,求事件A发生的概率；II设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.1,【答案】I - II详见解析 3【解析】试题分析：I先确定从这10人中随机选出2人的根本领件种数：G2,再确定选出的2人参加义工活

42、动次数之和为4所包含根本领件数： C；C： C2,最后根据概率公式求概率n先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公式计算数学期望试题解析：解：由,有Ci20 1所以,事件A发生的概率为1.3随机变量X的所有可能取值为0,1,2.c2c； c2Ci20415p v 1c3c3c3c4P X I 5Ci20715,c3c44G2)15X012P47_4151515所以,随机变量X分布列为J 、口 474随机变量X的数学期望E X 0 1 2 1.151515考点：概率,概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法1 .随机变量的分布列求它的均值、方差和标

43、准差,可直接按定义公式求解；2 .随机变量 E的均值、方差,求 E的线性函数r=aE+b的均值、方差和标准差,可直接用 E的 均值、方差的性质求解；3 .如能分析所给随机变量是服从常用的分布如两点分布、二项分布等,可直接利用它们的均值、方差公式求解.4 7.12021高考新课标3理数】下列图是我国2021年至2021年生活垃圾无害化处理量单位：亿吨的折线图注：年龄代鸟1-T?那么时就今册2M8 7Q1L型笈眼寻胃小#40.17, I(yi y)20.55, 77 = 2.646.f)(y y)28, .(x y)20.55,.i 1(tt)( Yiy)7t yii 140.17 4 9.32

44、2.89,2.890.55 2 2.6460.99.(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明；(II )建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01 ),预测2021年我国生活垃圾无害化处理量.附注：77参考数据： y 9.32 , tyi 1i 1n(ti参考公式：相关系数r i 1nn.(ti t )2 (yi y)2 i 1i 1回归方程$ $ $中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:n(ti t)(y y)$ J,$ 版.2(ti t)i 1【答案】(i)理由见解析；(n) 1.82亿吨.【解析】试题分析：(I)根据相关系数 r公式求出相关数据后,然后代

45、入公式即可求得r的值,最后根据其值大小答复即可；(n )利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程,然后把t 9代入回归方程求得预测值.试题解析：(I)由折线图这数据和附注中参考数据得7 2t 4, (ti t) i 1由于y与t的相关系数近似为0.99 ,说明y与t的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合关系.(n)由 y9.3211.331 及(I)得 b7_(tit)(yiy)i 172(ti t)i 12.89280.103 ,? y bt 1.331 0.103 4 0.92,所以,y关于t的回归方程为： 0.92 0.10t.将2021年对应

46、的t 9代入回归方程得： 0.92 0.10 9 1.82,所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用.【方法点拨】1判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：1利用散点图直观判断；2将相关数据代入相关系数 r公式求出r ,然后根据r的大小进行判断.求线性回归方程时在严格根据公式求 解时,一定要注意计算的准确性.18.12021高考上海理数】 某次体检,6位同学的身高单位：米分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77那么这组数据的中位数是 米.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高根据从矮到高排列为:1.69,1.72,1,75, 1.77,1,78, 1,80,这六个数的中位数是L 75 与L %的平均数,显然为1. 76.考点：中位数的概念.【名师点睛】此题主要考查中位数的概念,是一道根底题目.从历年高考题目看,涉及统