数学几何必会定理

1、1 .勾股定理（毕达哥拉斯定理）2 .射影定理（欧几里得定理）在RtABC中，"CB=90 ° cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：CD2=AD DBBC2=BD BAAC2=AD ABAC BC=AB CD （等积式，可用面积来证明）3 .三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2: 1的两部分4 .四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5 .间隔的连接六边形的边的中心所做出的两个三角形的重心是重合的（可忽略）6 . 三角形各边的垂直平分线交于一点另：三角形五心重心定义：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做

2、三角形的重心。外心定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定义：三角形的三条 高交于一点。该点叫做三角形的垂心。内心定义：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。三角形的重心三角形的三条中线交于一点三角形三条中线的交点叫做三角形的重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍三角形的内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形三角形的三条内角

3、平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心三角形有且只有一个内切圆内切圆的半径公式：s为三角形周长的一半三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心三角形有且只有一个外接圆设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线，设垂足为L,则AH=2OL三角形的垂心三角形的三条高线交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心

4、在三角形外旁切圆的圆心叫与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆, 做三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心三角形有三个旁切圆，三个旁心7.（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上3 / 118.欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）9 .库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把

5、过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。10 .中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P,则有ABA2+ACA2=2（APA2+BPA2）11 .斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n XAB2+m xAC2=BC x （AP2+mn ）12 .波罗摩及多定理：圆内接四边形 ABCD的对角线互相垂直时，连接 AB中点M和 对角线交点E的直线垂直于CD13 .阿波罗尼斯定理：到两定点 A、B的距离之比为定比 m:n （值不为1）的点P,位 于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上14 .托勒密定理：设四边形 ABCD 内接于圆

6、，则有 AB XCD+AD XBC=AC XBD15 .以任意三角形 ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是 30度的等腰BDC、工EA、9FB ,则4DEF是正三角形16 .爱尔可斯定理定理1:若"BC和4DEF都是正三角形，则由线段 AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形定理2:若BC、9EF、为HI都是正三角形，则由三角形 ADG、ABEH、yFI的 重心构成的三角形是正三角形17 .梅涅劳斯定理设小BC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 BP/PC XCQ/QA XAR/RB=1逆定理：（略）应用

7、定理1 :设BC的/A的外角平分线交边 CA于Q、/C的平分线交边 AB于R,、 ZB的平分线交边CA于Q ,则P、Q、R三点共线应用定理2:过任意4ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和 BC、 CA、AB的延长线交于点 P、Q、R,则P、Q、R三点共线 18.塞瓦定理设小BC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S连接面成 的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点 P、Q、R,则BP/PC XCQ/QA XAR/RB=1逆定理：（略）应用定理1 :三角形的三条中线交于一点应用定理2:设"BC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于

8、点 R、S、T,则AR、 BS、CT交于一点19 .西摩松定理从小BC的外接圆上任意一点 P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线（这条直线叫西摩松线） 逆定理：（略）20 .史坦纳定理设小BC的垂心为H,其外接圆的任意点 P,这时关于 ABC的点P的西摩松线通过线 段PH的中心应用定理：4ABC的外接圆上的一点 P的关于边BC、CA、AB的对称点和 ABC的垂 心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点 P关于"BC的镜象线21 .波朗杰、腾下定理设小BC的外接圆上的三点为 P、Q、R,则P、Q、R关于"BC交于一

9、点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360 °的倍数推论1:设P、Q、R为AABC的外接圆上的三点，若 P、Q、R关于"BC的西摩松线交于一点，则 A、B、C三点关于4PQR的的西摩松线交于与前相同的一点推论2:在推论1中，三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点推论3:考查4ABC的外接圆上的一点 P的关于4ABC的西摩松线，如设 QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点 P、Q、R的关于4ABC的西摩松线交于一占八、推论4:从BC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是 D、E

10、、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是 L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于 ABC的西摩松线交于一点关于西摩松线的定理1:小BC的外接圆的两个端点 P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上关于西摩松线的定理 2 （安宁定理）：在一个圆周上有 4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点22 .卡诺定理通过"BC的外接圆的一点P,引与"BC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是 D、E、F,则D、E、F三点共线23 .奥倍尔定理通过A

11、BC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与 ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在"BC的外接圆取一点 P,则PL、PM、PN与小BC的三边BC、CA、 AB或其延长线的交点分别是 D、E、F,则D、E、F三点共线24 .清宫定理：设P、Q为小BC的外接圆的异于 A、B、C的两点，P点的关于三边BC、 CA、AB的对称点分别是 U、V、W,这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其 延长线的交点分别是 D、E、F,则D、E、F三点共线25 .他拿定理：设P、Q为关于4ABC的外接圆的一对反点，点 P的关于三边BC、CA、 AB的对称点分别是 U、V、W,这时，如果 QU、QV

12、、QW 与边BC、CA、AB或其延 长线的交点分别为 ED、E、F,则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半 径OC和其延长线的两点，如果 OC2=OQ XOP则称P、Q两点关于圆O互为反点）26 .朗古来定理：在同一圆同上有 A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取 一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P向这4条西摩松线引垂线， 则四个垂足在同一条直线上27 .从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于 该三角形的九点圆的圆心28 .一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切 线所引的垂线都交于

13、一点29 .康托尔定理定理1: 一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的 垂线共点定理2: 一个圆周上有 A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角 形ABCD、工DA、ADAB球BC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条 直线叫做M、N两点关于四边形 ABCD的康托尔线定理3: 一个圆周上有 A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四 边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形 ABCD的康托尔线、M、L两点的关 于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做 M、N、L三点关于四边形 ABCD 的康托尔点定理4: 一个圆周上

14、有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关 于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线 叫做M、N、L三点关于五边形 A、B、C、D、E的康托尔线30 .费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切31 .莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形32 .牛顿定理定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共

15、线33 .笛沙格定理定理1:平面上有两个三角形 ABC、ADEF,设它们的对应顶点（A和D、B和E、C 和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线定理2:相异平面上有两个三角形 ABC、DEF,设它们的对应顶点（A和D、B和E、 C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线34 .布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点35 .巴斯加定理：圆内接六边形 ABCDEF相对的边 AB和DE、BC和EF、CD和FA的 (或延长线的)交点共线36 .蝴蝶定理：P是圆O的弦AB的中点，过P点引圆O的两

16、弦CD、EF,连结DE交AB于M ,连结CF交AB于N ,则有 MP=NP37 .帕普斯定理：设六边形 ABCDEF的顶点交替分布在两条直线 a和b上，那么它的三 双对边所在直线的交点 X、Y、Z在一直线上38 .高斯线定理：四边形 ABCD中，直线AB与直线CD交于E,直线BC与直线AD交于F, M、N、Q分别为AC、BD、EF的中点，则有M、N、O共线39 .莫勒定理三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的(不在同一个角的)两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点逆定理：在三角形 ABC三边所在直线BC、CA、AB上各取一点D、E、F,若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,则 AD、BE、CE 平行或共点40 .斯特瓦尔特定理：在三角形ABC中，若D是BC上一点，且BD=p , DC=q , AB=c ,AC=b ,贝U ADA2=(b*b*p+c*c*q)/(p+q)-pq41 .泰博定理：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形(同时在平行四边形内或外皆可)。正方形的中心点所组成的四边形为正方形；取正方形的两条邻边为三角形的边，作