人教版数学必修四三角函数复习讲义

1、人教版数学必修四三角函数复习讲义1 / 22第一讲 任意角与三角函数诱导公式1.知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角 叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起 始位置称为始边，终止位置称为终边。象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。终边相同的角的表示：终边与 终边相同（的终边在 终边所在射线 上）2k （k Z）。注意：相等的

2、角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等终边在x轴上的角可表示为：k ,k Z；终边在y轴上的角可表示为：k, k2Z；终边在坐标轴上的角可表示为：kk2,kZ.角度与弧度的互换关系：360=218010.01745仁 57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度 数为零.与2的终边关系：任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P（x,y）是 的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r, x2y20，那么sin ,cos -,rryxrrtan , x 0,cot （y 0）,secx 0,cscy 0。xyxy三角函数值只与角的大小有关，而与终边

3、上点P 的位置无关。三角函数线的特征：正弦线 MP“站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线0M“躺在x轴上（起点是原点）”、正切线 AT 站在点A（1,0）处（起点是A）同角三角函数的基本关系式：1.平方关系：sin2cos21,1 tan2sec2,1 cot2csc2人教版数学必修四三角函数复习讲义=1,2 / 222.倒数关系：sin esc =1,cos sec =1,tan cot象限典型例题例 1.求下列三角函数值：(1) cos210q(2)si nd4sin( 210()例 3 化简sin(1440) cos( 1080 )cos( 180) sin( 180 )3.商数关系：t

4、an曲cos注意：1角的任意性。 形式。, cos,cotsin2同角才可使用3熟悉公式的变形三角函数)”记忆口诀：奇变偶不变，符号看例2 2求下列各式的值：(1 1) sinsin(- p p ；(2)cos( 60o -人教版数学必修四三角函数复习讲义3 / 22例4 4已知cos(cos( n+)=-彳，+ -3 2mx m 0的两个实:sc(540)丄27的方程4x2、m 1.14.函数ylg(2cos x(2 k,2k 2；33m值）既是偶函数又是周期函数.若 f （x）0,上时，f （x） =sinx，则23）的单调递增区间为)(k Z)C.-于(2 k).11 2k(kZ)的最的

5、值C) sin AC) tan AA、sin (BC、tan(B人教版数学必修四三角函数复习讲义6 / 2215.下列说法只不正确的是（）A .正弦函数、余弦函数的定义域是 R，值域是-1, 1;B. 余弦函数当且仅当 x=2knk Z）时，取得最大值 1;C. 余弦函数在2k n2k 廿寻（k Z）上都是减函数；D .余弦函数在2knn2kn（k Z）上都是减函数16.若 a=sin46,b=cos46,c=tan36，则 a、b、c 的大小关系是()A. c a b c aB. a b cC. a c bD. b18. 若是第四象限角，则是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限期D.第四

6、象限19.若sin3cos 0，贝卩-cos_的值为2 cos 3sin9720. sintan =4321. 若 是第二象限的角，则1 1是第_象限的角。8 _22. 若 角的终边与 V 角的终边相同，则在,2上终边与 4 的角终边相同的角为_；23终边在x轴上的角的集合为 _，终边在y轴上的角的集合为_，终边在坐标轴上的角的集合为。上1 x24.已知 x，若，求f (cos ) f( cos )的值21人教版数学必修四三角函数复习讲义7 / 2226.已知：sin133cos,x求sincos2和sin44cos的值。27.若 cosa=2,a是第四象限角，求sin(2 )sin(3 )

7、cos( 3 )的值3cos()cos()cos( 4 )第二讲三角函数的图像与性质人教版数学必修四三角函数复习讲义8 / 221 .函数y Asin( x ) B (其中 A 0,0)函数y sin xy cosxy tanx图象石-C JK厂rr114 21AHXL/丄r定义域RRJ1x|x2k,k Z值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22;Tp22；TTf；T；|1 J对称轴X k ,k Z2x k ,k Z无对称 中心(k ,0), k Z(k ,0), k Z2k(,0), k Z2单调递 增区间2k , 2k , k Z 2 22k ,2 k , k Z(2k匚k

8、),k z单调递 减区间3-2k ,2k , k Z2 22 k ,2 k, k Z无最大值是AB，最小值是B A，周期是TJ 频率是fF，相位是x，初相是 ；其图象的对称轴是直线x k (k Z)，凡是该图象与直线y B的交点都是该图象的对2称中心。2.由 y = sinx 的图象变换出 y= sin(x+)的图象一般有两个途 径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3. 由 y= Asinx+ )的图象求其函数式：4. 五点法作 y=Asin (wx+ )的简图：典例解析例 1.(2000 全国，5)函数 y= xcosx 的部分图象是()人教版数学必修四三角函数复习讲义9 / 2

9、2例 3.( 2003 上海春，15)把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x轴向右平移-个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是()2A.( 1 y) sinx+2y 3=0B.(y 1) sinx+2y 3=0C.(y+1) sinx+2y+ 仁 0D. (y+1)sinx+2y+1=0例 4.( 2003 上海春，18)已知函数 f (x)二 Asin(sx )(A0, 30,xR)在一个周期内的图象如图所示，求直线 y=3与函数 f (x)图象的所 有交点的坐标。例 5.( 1)已知 f (x)的定义域为0, 1 ，求 f (cosx)的定义 域；人教版数学必修四三角

10、函数复习讲义10 / 22(2)求函数 y=lgsin (cosx)的定义域;例 6.求下列函数的单调区间:(1 1)y=2sinsin(n-1F)；(2)y=-Isin(x+n)4人教版数学必修四三角函数复习讲义11 / 22例 7.关于 x 的函数 f (x)二 sin (x+ )有以下命题：1对任意的，f (x)都是非奇非偶函数；2不存在，使 f (x)既是奇函数，又是偶函数；3存在，使 f (x)是奇函数；4对任意的，f (x)都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_ .例 8 设f(x) asin x bcos x( 0)的周期T，最大值f ( )4，12(1) 求、a、b的值；(2)

11、若、为方程 f(x) 0 的两根，、终边不共线，求 tan()的值。1的最大值是(sinx cosx.j 2B.二 + 12课后练习1、y3sin(2 x )的最小正周期是_、 对称车由4例 9.函数 y=-2A AV2V2. .A. 1人教版数学必修四三角函数复习讲义12 / 22是 _、 单调递增区 间是 _ 、 单调递减区间人教版数学必修四三角函数复习讲义13 / 22是_ ; 振幅是_ 、相位是_、初相是_。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由y sin x变化而来。2、求y 3sin(2x), x ,的单调递减区间。42 24、求y 3sin(2x/x-,-的最大值、最小值及

12、对应的x x的取值范 围。5、求y 3asin(2x -),x , ,a 0的最值及对应的 x 的取值。36 66、若y 2asin(2x -) b,x 0,屮的最大值是1，最小值是5，求a，b的3、比较大小cos(評in6 . .V，Sin6；tan 1, ta n2, tan3人教版数学必修四三角函数复习讲义14 / 227、为了得到y 3sin(2x -)的图象，只须将 平移个单位。& 定义在 R 的函数f(x)，对任意x R都有f (x 2)1 f (x) f (x) 1。 1)证明f(x)是周期函数。(2)若f(1)2，求f(2013)。9、若y Asin( x ) B(A

13、0,0j -)，在其一个周期内的图象上有一个最高点(护和一个最低点(务5)，求这个函数的解析式。第三讲三角函数两角和公式 两角和公式sin( A+B) = sin AcosB+cosAs inBsin( A-B) = si nAcosB-cosAsi nBy 3Sin(2X3)的图象向10、求f (x) 2cos2x2asinx b2，x 6冷的值域人教版数学必修四三角函数复习讲义15 / 22cos(A+B) = cosAcosB-si nAs inB cos(A-B) = cosAcosB+si nAsi nBtan( A+B)=tanA tanB1 - tanAtanBtan( A-B)

14、=tanA tanB1 tanAta nB倍角公式2t anAtan2A 二ASi n2A=2Si nA?CosA1 tan Acos2A = CoA-Si n2A=2Cos2A-1 = 1-2si n2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tan ata n( +a) tan( -a)33半角公式sina= -Ja21 (ta n)22a2ta n-tana=-1 (ta na)22cot(A+B)=cotAcotB -1cotB cotAcot(A-B)=cotAcotB 1cotB cotA人教版数学必修四三角

15、函数复习讲义16 / 22A、1cosAcot(cot(7 7) )=tan()cosA二si nA2si nA1 cosA万能公式a2ta n-sin(A)=1cosAcos()=cosA2例 1.求值:(1)2cos10 sin 20sin 70cos75cos75tan(号)=a21 (ta n_)2a21 (tan)22cosa=人教版数学必修四三角函数复习讲义17 / 22例 2.已知 3sinp=sin(2a+且 tana=1,求 tan( a+ B)例 3.已知方程 x2+ 4ax + 3a+ 1 = 0 (a 1)的两根分别为 tana,tanB且a,3(,)，求 sin2(

16、a+ B) +sin( a+ BCOS( a+ B +2COS2( a+ B2 2的值.例 4.1 化简sin 2A B2cos A B ;sin A42 已知、为锐角，cos ,tan51，求 cos 的值.3人教版数学必修四三角函数复习讲义18 / 22例 5.(1)如果方程x2bx c 0 csin2bsincosccos2(2)在非直角厶ABC中， tanAtanB tanC.例6.化简sin 71sin 7cos15 sin 8sin 15 sin82 2 sin50sin 80 1,3 ta n102sin 50 cos501的两根为 tanatanB求 的值；求证：tanA +

17、tanB + tanC =例 7.已知sin sin(a 3)的值.人教版数学必修四三角函数复习讲义19 / 22课后练习1 选择题1 sin7 cos37 sin 83 sin37 的值为()(A)-21(B)121(C)-2(D)三2221 tan 75的值为( )tan 75(A)2 3(B)2 33C2.3(D)2333 若 sin2xsin3xcos2xcos3x,Wx 的值是()(A) 一10(B)-6(C)5(D)T42. 填空题134若 cos ,2,则 sin523543tan 151. 3 ta n156cos cos sinsin _3. 解答题7化简 tan tan 6

18、0. 3 tan tan 609 右 sin sin sincos coscos 0,求 cos的值.人教版数学必修四三角函数复习讲义20 / 228 已知 cos1,cos11=且0-,1,求 cos 的值71422人教版数学必修四三角函数复习讲义21 / 22第四讲三角函数复习一、知识点整理与归纳：1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算换算关系：180。（弧度），弧长公式:l r，扇形面积公式：S -lr -r22 22、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：sinycosx ysin ,cos, ta nrrx3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式

19、 等）4、正弦函数y sin x、余弦函数y cosx、正切函数y tanx的图像和性 质：5、函数xx02322y Asin( x)0A0-A0y Asin（ x ）的图像和性质：作图时常用两种方法:五点法:图象变换法：（1）y（2）yyy sin x6、结合函数sin(x )sin xAsin( xy sin( xy six( x)B (其中 AAsin( x )0,0)B，最小值是B,初相是；A，周期是T的简图可知：该函数乙，频率是f相位是x7、几组重要公式si n2cos21；1tan212cos2cos11 tan22）商式关系：二）诱导公式:sintan；sina=tancos奇变

20、偶不变，符号看象限 cosa人教版数学必修四三角函数复习讲义22 / 22其它的边和角,(3) 已知三边求三内角；(4) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。9、解斜三角形的应用题的解题步骤：(1) 分析属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)；(2) 依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；(3) 最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解；S():sin()sincoscos sinS():sinsincoscossinC():cos()cos cossin sinT():tantantan1 tantan四)二倍角公式：si n2tan 22 ta n1 tan

21、2tan tan,T():tan:1 tan tan五)合一变形公式:asin 好 bcosa=a2b2sin(a+ )=1 cos 2. 21 cos2,si n2 2(sina士 c6s=ac)1 士 sin2,a七)正弦定理:sin A1 )a ,sin B2R2R及其变形公式有:sin A sinB sinCa 2Rs inA,b 2Rsi nB,c 2Rsi nC;b .亠c云；a:b:c等.,sin C2R(3)八)余弦定理：a2b2sin A:sin B:sin C2-等;九)三角形面积公式：1111SABCahbcsi nAabsi nCacs in B.2222二)和角公式和

22、差角公式:cos cos sin sinC():cosb2c22bccos A及其变形：cos A2c2bc&利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四 类解斜三角形问题：(1) 已知两角和任一边，求其它两边和一角；(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求人教版数学必修四三角函数复习讲义23 / 22(4) 检验并作答.人教版数学必修四三角函数复习讲义24 / 22典型例题: 例 1、定义在区间0三 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PR 丄 x 轴于点 Pi,直线 PPi与 y=sinx的图像交 于点 P2,则线段 P1P2的长为_ 。,cos( ),si n()，求445413例 3、已知电流 I 与时间 t 的关系式为I Asin( t )。(1)右图是I Asin( t )(30,| |)在一2个周期内的图象，根据图中数据求I Asin( t )的解析式；(2)如果t t在任意一段*0秒的时间内电流I Asin( t )都能取得 最大值和最小值，那么3的最小正整数值是多少？例 5、已知函数f(x)=2,3sin xcosx 2cos2x 1(x