点到直线的距离公式的七种推导方法

1、点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P(x,儿)直线/:加+ 3y + C = 0G4H0H0)求点P到直线/的距臥(因为特殊直线很容易求距离, 这里只讨论一般直线)、 定义法证：根据立义，点P到直线/的距离是点P到直线/的垂线段的长，如图1,设点p到直线/的垂线为垂足为q,由r丄/可知的斜率为- A 丿的方程：，-儿=色(儿)与/联立方程组A解得交点Q(B 士匚八C八伉.叮BC)/T + B-/V+歹IPCI- (f)2 + (心；笃严C _ 2PQ1=I Av0 + By0 + CIJa2 + B2(-A% - ABy()- AC)2 *(_B-yo_AB5_BC)2A2 + B2A2

2、+ B2A2 (Av。+ By() + C)2 B2(Axq + By0 + C)2 _ (Ax() + By。+ C)2(A2 +B2)2(A2 +B2)2A2 +B2二、函数法证：点P到直线/上任意一点的距藹的最小值就是点P到直线/的距离。在/上取任意点0(忑刃用两点的距离公式有.为了利用条件Ax + By + C = 0上式变形一下，配凑系数处理得:(/V +B)(x-x0) +(y-儿)1= A2(x-xQ)2+B2(y-yQy + A2(y-y0)2+B2(x-x0)2=A(x - AA(x-x0) + B(y-儿)2 = (Aq + By0 + C)2(y Ax + By + C

3、= 0)当且仅当A(y y) = B (x-x0)时取等号所以最小值就是 =VA2 + B2三. 不等式法证：点P到直线/上任意一点Q(A(x-x0) + B(y-y()2 =(Ax0 + B0+C)2. Ar + By + C = 0, /. J(x xj+(y 儿)? l= + By,CIJA + B_JA2 + B2当且仅当A(y -凡)=B (x -兀)时取等号所以最小值就是d = AA * By * Cl四. 转化法w+常日吟凸证：设直线/的倾斜角为a过点p作pm/ y轴交/于m (%), y)显然 X)= x0 所以 y = A + C易得ZMPQ= a (图 2)或ZMPQ=18

4、0-z (图 3)IBINA21在两种情况卜都有tan2 ZMPQ = tan2 a =所以cos ZMPQ =.=B Jl + tanaI P2I=I PM I cos ZMPQ =1 心唤+C |=严.5+。五、三角形法B在RtAMPN中，PQ是斜边上的髙,j pQ= PMII/WI = I 心严叮 Cl JiPMF+IP/vF yjA2+B2六.参数方程法证：P作PM/ y轴交/于M,过点P作PN X轴交/于N (图4) 由解法三知| PM |=|小|.同理得| pn |=|小|A证：过点P(x0,y0)作直线I : 将/代入/得+ At cos 0 + Byn + Bt sin 0 +

5、 C = O 整理后得1/曰缶+科,+。|-AcosO-BsinO当丄/时，我们讨论&与/的倾斜角o的关系：（图2）（图3）A当&为锐角时（tana = -0,不妨令A0, BJa2 + B2A当&为钝角时（tana = 0, B0 ）有0 = a90BQ得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得IAu + 8y()+ CI=皿 + 3儿+CI川I3一仃+頁J A2 + B4a2 +B2七、向法证：如图五，设直线/:Ar + 3y + C = 0G4H0,3H0)的一个法向量B =(1,), Q直线上任意一点，则PQ = (x.-xyi-y0).从而点P到直 A线的距离为：d = G西 I =

6、W 一儿+亍4 一儿）1 = IA3忑）+ 8儿）1iiVTTF P点在直线1上,Ar. + By. + C = 0,从而d =+竽-仏_呪=严 + CI JA2 + B2yjA2 + B2附:方案一： 设点尸到直线/的垂线段为加，垂足为Q由加D知，直线因的斜率为一QHO），根据点斜式写出直A方程，并由/与因的方程求岀点0的坐标；由此根拯 公式求岀I昭丨，得到点尸到直线/的距离为&丄/可线PQ的 两点距离相交，过方案二：设川H0.另0,这时/与X轴、y轴都 点尸作兀轴的平行线，交/于点心几儿）；作y轴的平行线，交/于点A】+ 3儿 + C =()如 _ _ By。_C ._ - AxX - CnJ X Ax + By2 + C = 0A B所以,Ax0 + By0 + CAx0+By()+CBAI PSI