2005年高考.湖南卷.理科数学试题精析详解

1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南理工农医类)试题精析详解一、选择题(5 分 10=50 分)1复数 z= i + i2+ i3+ i4的值是()A - 1B 0C. 1D i评述:本题考查复数，复数的意义及其运算。【思路点拨】本题涉及利用复数的性质进行复数的简单计算【正确解答】z = i i2i3ii -i *1=0,选 B.【解后反思】对于复数的简单计算，应紧扣复数的定义，在复数的较复杂运算中，要把复数运算和 三角函数结合在一起，可以适当化简计算过程.2函数 f(x) = d -2x的定义域是()A ( 8,0 B.0,+ )C. ( 8,0)D (-m,+m)评述:本题考

2、查函数的定义域，指数函数的性质等到知识点。【思路点拨】本题涉及是函数的定义域问题即函数存在的条件问题【正确解答】解法 1:由题意知，1 -2x_ 0，则x岂0.选 A解法 2:用特值法令X=0,得 A、B、D 再令x=1,去掉 B、D，可以轻易得到答案.选 A.【解后反思】函数的定义域的问题是高考数学的一个热点，关于函数的定义域的常规问题有如下几种情况分母不能为零 开偶次根的因式要大于或等于零，注意偶次根号下的因式是可以等于零(3)对数函数的真数要大于零，底数要大于零且不等于1(4)指数函数的底也要大于零且不等于1,如果碰到多种情况，应求它们的交集此外用特殊值法代入也是解决关于复杂的定义域的选

3、择 题是一种比较好的方法.3已知数列log2(an 1) (n N )为等差数列，且 a1= 3, a2= 5,贝 Vrm(-)=()a?a1a2a - an31A 2B C 1D -22评析:本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。【思路点拨】本题是涉及到数列与极限的混和题，运用等差数列的性质与公式来化简，求出数列的一个关系式，最后利用无穷极限的运算性质完成【解法 1 】由题意知，2log2(an-1) = log2(an.1 -1) log2(and-1)，得:(an-1)2= (an 1-1)-1)，得an-1是一个等比数列，得由等比数列无穷数列极限得：n

4、j：(111)=1.”a2a3 _a2an书Yn选 C.解法 2:由题意得：4222log2= log2log?2d，求得 d=1,则log2(an-1) = 1 (n1)1二n这个等式代入所要求的式子，进行初步化简，最后再利用极限的运算法则，就可以得到正确的答案x - 2乞0,4.已知点 P (x, y)在不等式组y-1兰0，表示的平面区域上运动，则z = x y 的取值范an-1=2，所以1nn 1-2 12 -1= 2n,即 an2n又由2n所以+- + . .+a3 _a2an 1 _an1 12(1PJ212n所以lim(-nT a2 a-ia3a21) =lim (1二)=1.故选

5、 c。an1ann=2n【解后反思】，解决此类问题，一般都要找出数列中前后项隐含的关当然，如果是等比数列和等差数列就更好啦,如果不是，就要求出它们之间存在的递推关系，并将1an 1一an/ +2y 2色0围是评述:本题考查了性规划中最优解问题，“由角点法”可求得目标函数的取值范围。A . 2， 1 B . 2，1C. 1, 2D. 1，2【思路点拨】本题是涉及线性规划的知识，精确作图是本题目得到正确答案的保准【正确解答】已知不等式组表示的平面区域如右图所示.z = x- y的取值范围即为直线X - y = k的截距的范围，所以所求的范围为1 , 2,选 C.解法 2:由线性约束条件画出可行域，

6、救出三个角点分别为(0, 1), (2, 1) (2, 0)代入目标函数救出z=x-y 的取值范围为【解后反思】线性规划是高中数学进行应用化的一种重要题型,也是工程材料最优化的重要方法，近年来已逐渐成为高考数学的一个热点，在多个省份的高考试卷中已把线性规划作为大题出现必将成为以后高考要考查一个内容请同学平时在做这类问题时，要多加注意，争取得全分，线性规划在做的过程中，要注意步骤(1)要将线性约束条件进行图形化，画出它的图(2)画出线性目标函数在最初状态(3)然后将线性目标函数的原始直线，在线性约束图在进行适当移动，根据题目要求，以及线性规划的性质可以求解，请同学们要注要线性规划的一个小窍门约束

7、条件的交点处5.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 , O 是底面，A1BQ1D1的中心，贝 U O 到平面 AB C1D1的距离为()评述:本题考查立体几何中“点面距离”转化为“线面距离”求解。【思路点拨】本题目涉及立体几何的点面距离及正方体中线面角的若干关系【正确解答】分别取AB，A1B1，C1D1的中点E,F,G，则O到平面ABC1D1的距离为O到GE的解法 2:取 B1C1的中点 M,连 BQ 交 BC1于O,取OC的中点 N,连 MN ,则 MN _BC1又在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 OM 平行于平面 ABC1D1。则 O 到平面 ABC1D1距离转化为

8、 M 到平面 ABC1D1的距离，即 MN= ，故选 B。般来说最值往往在线性距离，所求距离选 B.【思路点拨】本题是涉及线性规划的知识，精确作图是本题目得到正确答案的保准4【解后反思】立体几何有两大问题：(1)求角(2)求边即求长度或距离，无论是求哪一种情况都要往往把所要求先找出来，图上没有就要将之作出，然后证明它就是我们要求的，最后再通过种种方法 求出来6.设fo(x)= sinx,fl(x) = fo(X),f2(x) = fl(x),， fn+1(X)=fn(x) ,n N，则f2005(x)=()A . sinxB . sinxC. cosxD. cosx评述:本题考查了正余弦的导数

9、问题，及相关函数同期性变化及求值问题。【思路点拨】本题目涉及三角函数在导数作用下存在一种有规律的性质，我们巧妙利用列举法找出其中蕴含中的周期性【正确解答】f0(x) = sinx, fj(x) = f0(x) = cosx, f2(x) = f(x) = sinxf3(x)二f2(x)二-cosx, f4(x)二f3(x)二sin x, 由此继续求导下去，四个一循环，.fn(X)的周期为 4又 20054 = 501 余 1,所以 f2005(x) = f/(x) = -sinx.故选B.【解后反思】我们在解决一些比较庞大的数学问题或项数比较多的时候，大部分同学可能也意识 到其中可能存在周期性

10、或其他规律性的东西 .可以总是找不出，或没有头绪，这个时候我们不能怕 麻烦，就用列举法，多写几项，就可以把握住这种类型的题目.2 27.已知双曲线 务每=1 (a0, b0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点A , a ba2OAF 的面积为(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为()2A . 30oB . 45oC. 60oD. 90o评析:本题考查双曲线中焦距，准线方程，渐进线方程，三角形面积，渐进线夹角等知识的综合运用.【思路点拨】本题目涉及的是双曲线的相关参数问题【正确解答】双曲线2 22务-占=1(a 0,b 0)的焦点F(c,0),右准线方程x二色，渐近线a2b2cKy二一x设F

11、(c,0),a2 2aab1ababaz口A( ,),SOAFc，得a - b,cc2c22双曲线的渐近线为y =x，两条渐近线的夹角为90.选 D.【解后反思】对于这一类型的圆锥曲线题目，我们应多多记忆圆锥曲线定义及性质，因为所有的这一切都是本题目的隐含条件，都是可以用的.关于求双曲线的渐近线有一个小窍门，把等式的右边的 1 变为 0,所求的方程就是双曲线的渐近线方程x1&集合 A = x|v0, B = x | x-b|va，若“ a = 1” 是“ AnB丰的充分条件，x +1则 b 的取值范围是（）A2Wbv0B.0vb2C.3vbv-1 D1,【解后反思】从近些年的立体几何高

12、考题来看，挖掘其中的隐藏条件往往是解题的关键，譬如所求二面角的平面角有的就隐藏在图形之中，这时就不要再作平面角了.一般来讲，每个题的结论都隐藏在已知条件之中，因此拿来题后要对已知条件认真分析，抓住各条件彼此之间的联系i8.（本小题满分 i4 分）所以COST- cos： ： ：n,|n| | BOi|J3即二面角 O AC Oi的大小是arccos .4解法二（I）证明 由题设知 OA 丄 OOi, OB 丄 OOi,所以/ AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA 丄 OB.从而 AO 丄平面 OBCOi,OC 是 AC 在面 OBCOi内的射影.因为tan . OOB=竺=3tan O

13、QC=OiC3，OOiOQ 3所以/ OOiB=60。，/ OiOC=30 ，从而 OC 丄 BOi由三垂线定理得 AC 丄 BOi.（II ）解 由（I） AC 丄 BOi, OCXBOi,知 BO平面 AOC.设 OCnOiB=E，过点 E 作 EF 丄 AC 于 F,连结 OiF （如图 4）,则 EF 是 OiF 在平面 AOC内的射影，由三垂线定理得 OiF 丄 AC.所以/ OiFE 是二面角 O AC Oi的平面角.由题设知 OA=3 , OOi=-.,3, OiC=i,所以OiA=OA2OOi2=2.3, AChjOiA2OiC2二、i3,从而OiFOiA OiC 3AC i3

14、又OiE=O：32所以sinOE二巫OiF4OiF即二面角 OAC Oi的大小是arcsZBO1= _n某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4, 0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设E表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(I)求E的分布及数学期望；(H)记“函数 f(x) = x2-3Ex+ 1 在区间2,+s )上单调递增”为事件 A，求事件 A 的 概率【思路点拨】本题涉及数理统计中期望与概率的有关知识【正确解答】(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件 Ai,A2,A3.

15、由已知Ai,A2, A3相互独立，P(Ai) =0.4, P (A2)=0.5,P (A3) =0.6.客人游览的景点数的可能取值为0, 1, 2, 3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3, 2, 1, 0，所以的可能取值为 1, 3.P (=3) =P (A1 A2 A3) + P (AA2A)=P (A1) P (A2) P (A3) +P (A1)P(A2)P(A3)=2 X0.40.5E.6=0.24,P (=1 ) =1 - 0.24=0.76.E =100.76+3 0.24=1.48.39(n)解法一因为f(x) =(x )212,243所以函数f (x) =x2-3

16、x -1在区间一，：)上单调递增，2要使f (x)在2,=)上单调递增，当且仅当3b0）的左.右焦点为 Fl、F2,离心率为 e.直线a bl: y= ex+ a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B, M 是直线 I 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 Fi关 于直线 I 的对称点，设AM=入AB.2（I）证明：入=1e;（n）确定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形【思路点拨】本题涉及椭圆的相关系数与向量的问题【正确解答】（I）证法一：因为 A、B 分别是直线 I:y = ex a与 x 轴、 y 轴的交点，所以 A、Ay二 ex arIB 的坐标分别是（，0）,（0, a）.由xeb2所

17、以点 M 的坐标是（一 C,）.这一类题目要求学生生熟练掌握数a,2y2得 +丄=1 a2b2 l,x - -c,b2这里 c = Ja2+ b2.y ca b2a由AM =，AB得(- c ,) = ( , a).e aea解得墾=1证法二：因为B 分别是直线 I:y 轴的交点，所以 A、B 的坐标分a别是(-一,0),(0,a).设 Me的坐标是（Xo，y。）,由AM AB得（X。X0= (九-1)ey0二a.因为点 M 在椭圆上，所以a2(T)2(.a)2即_e( a)-b2=1,所以存 厂 1.e 1 -e4 2 2 2e - 2(1 - )e (1 - )=0,解得e =1（n）解法

18、一：因为 PFI,所以/ PFIF2=90 + / BAFi为钝角，要使 PFg 为等腰三角1形，必有 |PFI|=|FIF2|,即| PF1|=c.1|e(-c) 0 a | a - ec|设点 Fi到 I 的距离为 d，由| PR |= d =2Jl + e2J1+e21e2122得e.所以e ,于是=1 - e .d e233即当，时, PF1F2为等腰三角形3解法二：因为 PR 丄 I，所以/ PF1F2=90 + / BAF1为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必有 |PF1|=|F1F2|,e2- 3X0 = 2彳C,解得e!y 2(_e2)ay0_ e21【解后反思】本题是一道

19、解析几何题， 这一类问题要抓紧题目中的隐含条件，将题目中的“交点”、“中点”等都要变成等式或不等式，结合向量的简单运算，第一小问就解决，第二小问不但要深入讨论题目，并且要结合结论，使研究具有方法性，一般来说，解决数学问题，我们既要从大题的条件 入手,建立各种等式又要从结论入手，树立解题的一种方法性.20.（本小题满分 14 分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用 Xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n N*，且 X10.不考虑 其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与 xn2成正比，这些比

20、例系数依次为正常数 a, b, c.（I）求 Xn+1与 Xn的关系式;由門|=|市e212Ce21两边同时除以2 2(e -1)e21221二e 从而e =-3即当 PF1F2为等腰三角形设点 P 的坐标是（x0,y0）,(H)猜测：当且仅当 X1, a, b, c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)(H)设 a= 2, b = 1,为保证对任意 ( 0,2),都有 Xn0, n N*，则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论 【思路点拨】本题涉及数列的基础知识和考查数学能力的题目【正确解答】(I)从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕

21、捞量为 bxn，死亡量为2 2CXn,因此 Xn 1-Xn=aXn-bXn-CXn, n 二 N * .(*) 即 Xn i =Xn(a -b 1 -ex*), n 二 N * .(*)(II )若每年年初鱼群总量保持不变，贝 UXn恒等于 X!,n N*,从而由(* )式得xn(a -b -cxn)恒等于0, n N*,所以a -b - ex! = 0即捲 口因为 xi0，所以 ab.a . b猜测：当且仅当 ab,且x1时，每年年初鱼群的总量保持不变c(川)若 b 的值使得 xn0, n N*由 Xn+1=Xn(3 b Xn), n N*,知0Xn3 b,n N*,特别地，有 0X13 b

22、.即 0b0.又因为 Xk+1=Xk(2 Xk)= (Xk 1) +1 10,n N* ,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.【解后反思】这一类题需要平时多看，多做.多问，多想才行，只有平时刻苦练习，才能在极短的时间 准确完成，这些问题往往有多个小问，每个小问之间，有很强的逻辑关系，可以说本身就蕴藏解题思 想,往往后者需要前者的结论，才能解出，有时我们可以直接使用刚才证的结论 .此外，高超的解题 技巧和解题能力也是成功的关健 .21.(本小题满分 14 分)12已知函数 f(x)= Inx, g(x) = ax2+ bx,0.2(I)若 b= 2,且 h(x) = f(x) g(x)存在单调递

23、减区间，求a 的取值范围；(H)设函数 f(x)的图象 Cl与函数 g(x)图象 C2交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 Ci，C2于点 M、N，证明 Ci在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行.【思路点拨】本题涉及多种类型的函数知识，是利用各类型之间的横向关系的题目12【正确解答】 (I)b=2时，h(x) = l nxax-2x，1则h (x) ax -2 =x因为函数 h(x)存在单调递减区间，所以h(x)0 时，贝 U ax2+2x 10 有 x0 的解.2 21当 a0 时，y=ax +2x 1 为开口向上的抛物线，ax +2x 10 总有 x0 的解；2当 a0 总有 x0 的解;2则厶=4+4a0,且方程ax +2x仁0至少有一正根此时，1a0.综上所述，a 的取值范围为(1,0)U(0,+8).(II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(X1, y1),则点 M、N 的横坐标为x2ax 2x -1x(