《函数的应用》说课稿1新人教A版

1、函数的应用说课稿 1 （新人教A版必修 1）函数的应用第三章单元复习从容说课函数的零点与用二分法求方程的近似解是新课标新增内容，在学习了函数的概念及其性质和研究了具体函数的基础上，引入函数的零点及解，一方面使函数与方程得到了完美的统一，另一方面使函数的应用问题的求解思路更广阔以及函数与方程思想更具活力.学习数学知识的目的，就是运用数学知识处理、解决实际问题，运用数学知识解决实际问题是每年高考必考内容之一，因此，函数模型及其应用是本章的重点，也是高考考查的热点，它给出的思想方法，在其他数学章节中都能应用.将所学的知识用于实际是个很复杂的过程，不但要求理解、掌握知识和思维方法，而且要求具备较强的分

2、析、综合能力，还需要运用自己的生活经验和体会，这样才能理解实际问题中的数量关系并确定它们间的数学联系（函数关系），将实际问题抽象、概括为典型的数学问题. 应用数学知识解决了数学问题后，还要分析理论的解适应实际问题的状况等等，这实际是对一个人的素质水平高低的考查，因此本单元知识是高中数学的一大难点三维目标 一、知识与技能1. 了解方程的根与函数零点的关系，理解函数零点的性质2. 掌握二分法，会用二分法求方程的近似解.3. 了解直线上升、指数爆炸、对数增长，会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.4. 能熟练进行数学建模，解决有关函数实际应用问题.二、过程与方法1. 培养学生分析、探究、思

3、考的能力，进一步培养学生综合运用基本知识解决问题的能力.2. 能恰当地使用信息技术工具，解决有关数学问题.三、情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力.教学重点应用函数模型解决有关实际问题.教学难点二分法求方程的近似解，指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.教具准备多媒体、课时讲义.课时安排1 课时 教学过程 一、知识回顾（一）第三章知识点1. 函数的零点，方程的根与函数的零点，零点的性质.2. 二分法，用二分法求函数零点的步骤.3. 几类不同增长的函数模型（直线上升、指数爆炸、对数增长），指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.4.

4、 函数模型，解决实际问题的基本过程.（二）方法总结1 .函数y=f （x）的零点就是方程f （x） =0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.2. 一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：（ 1）利用求根公式；（ 2）利用二次函数的图象；（ 3）利用根与系数的关系.无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.3. 用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y=f (x)定义在区间D上，求它在D上的一个变号 零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数 £ ,即使

5、得 |x X0| W £ .(1)在D内取一个闭区间a, b D,使f (a)与f (b)异 号，即 f (a) f (b) v0.令 a0=a， b0=b.(2)取区间：a0, b0的中点，则此中点对应的横坐标为x0=a0+( b0 a0) =( a0+b0) .计算 f (x0)和 f (a0).判断：如果f (x0) =0,则x0就是f (x)的零点，计算终止；如果f (a0) - f (x0) V0,则零点位于区间：a0, x0内，令a1=a0， b1=x0；如果f (a0) - f (x0) >0,则零点位于区间：x0, b0内，令a1=x0， b1=b.( 3)取区

6、间a1 ， b1 的中点，则此中点对应的横坐标为x1=a1+( b1 a1 ) =( a1+b1) .计算 f (x1)和 f (al).判断：如果f (x1) =0,则x1就是f (x)的零点，计算终止；如果f (al) f (x1) V0,则零点位于区间：al, x1上，令 a2=a1， b2=x1.如果f (al) f (x1) >0,则零点位于区间x1, bl上，令 a2=x1 ， b2=b1.实施上述步骤，函数的零点总位于区间 an， bn 上，当 |anbn| <2 e 时，区间an, bn的中点 xn= (an+bn).就是函数y=f( x) 的近似零点，计算终止.

7、这时函数y=f( x)的近似零点与真正零点的误差不超过£ .4.对于直线 y=kx+b (k>0),指数函数 y=m- ax ( m>0, a>1),对数函数 y=logbx (b> 1),( 1) 通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快( 2) 通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会：直线上升，其增长量固定不变；指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的 . 随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这

8、种差距大得惊人，所以"指数增长" 可以用" 指数爆炸" 来形容.对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升.5.在区间(0, +°°)上，尽管函数 y=ax (a>1) , y=logax (a>1) , y=xn (n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个' 档次 ' 上，随着x 的增大，y=ax（ a>1）的增长速度越来越快，会远远超过 y=xn （n>0）的增 长速度，而y=logax （a> 1）的增长速度则会越来越慢.因此, 总会

9、存在一个 x0,当x>x0时，ax>xn>logax.6. 实际问题的建模方法.（ 1）认真审题，准确理解题意.（ 2） 从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系 . 运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式.（ 3） 研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出解答 .必须说明的是：（ 4） 通过建立函数模型解决实际问题，目的是通过例题培养同学们应用数学的意识和分析问题的能力.（ 5） 把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述，即为数学模型.7. 建立函数模型，解决实际问

10、题的基本过程：二、例题讲解【例1】作出函数y=x3 与 y=3x 1 的图象，并写出方程x3=3x 1 的近似解. （精确到0.1 ）解：函数y=x3 与 y=3x 1 的图象如下图所示. 在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这三个交点的横坐标就是方程x3=3x 1 的解 .由图象可以知道，方程x3=3x 1 的解分别在区间（2，1） 、 （ 0， 1 ） 和 （ 1， 2） 内，那么，对于区间（2，1） 、（ 0， 1） 和 （ 1 ， 2） 分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1 1.8, x2弋0.4, x3弋1.5.例2分别就a=2, 2=和a=®出函数y

11、=ax, y=logax的图象，并求方程ax=logax 的解的个数.思路分析：可通过多种途径展示画函数图象的方法.解：利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，可以画出函数的图象，如下图所示.根据图象，我们可以知道，当 a=2, 2=和a=时，方程ax=logax 解的个数分别为0， 2， 1.【例3】根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告，1999年上海完成 GDP（国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP®期增长9%市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%,若GD内人口均按这样的速度增长，则要使本市人均 GDPi到或超过1999年的2倍

12、，至少需 年 . （按：1999 年本市常住人口总数约为1300万）思路分析：抓住人均 GDPg条线索，建立不等式.解：设需n年，由题意得，化简得）2,解得n>8.答：至少需9 年 .【例4】 某地西红柿从2 月 1 日起开始上市. 通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q （单位：元/102kg）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150（ 1） 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b, Q=at2+bt+c , Q=a- bt, Q=a- logbt.（ 2） 利用你选取的函数，求西红

13、柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.思路分析：由四个函数的变化趋势，直观得出应选择哪个函数模拟，若不能断定选择哪个函数，则分别利用待定系数法探求，最后可通过图象的增长特性进行筛选.解：由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q=at+b，Q=a- bt, Q=a- logbt 中的任意一个进行描述时都应有a*0,而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合 . 所以，选取二次函数Q=at2+bt+c 进行描述.以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c ，得到解得所以描述西红柿种植成本 Q与上市时间t的变化关系

14、的函数为 Q=t2 t+.（2）当t= =150天时，西红柿种植成本最低为Q= 1502 150+=100 （元 /102kg ）.三、课堂练习教科书P132复习参考题A组16题.1.C 2.C3. 设列车从A地到B地运行时间为T,经过时间t后列车离C 地的距离为y,则y=函数图象为4. （ 1 ）圆柱形；（ 2）上底小、下底大的圆台形；（ 3）上底大、下底小的圆台形；（ 4）呈下大上小的两节圆柱形. （图略）5. （1）设无理根为x0,将D等分n次后的长度为dn.包含x0的区间为（a, b）,于是d1=1， d2=， d3=， d4=， .dn=.所以|x0 a| wdn=,即近似值可精确到

15、.（ 2）由于随n 的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度£，总有自然数n,使得& £ .所以只需将区间D等分 n次就可以达到事先给定的精确度£.所以一般情况下，不需尽可能多地将区间 D等分.6.令f (x) =2x34x2 3x+1,函数图象如下所示：函数分别在区间(1， 0)、(0， 1)和区间(2， 3)内各有一个零点，所以方程2x3 4x2 3x+1=0 的最大的根应在区间(2， 3)内 .取区间(2, 3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f (2.5)= 0.25.因为 f (2.5) f (3) V0,所以 x0G (2.5 , 3)

16、.再取( 2.5 ， 3)的中点x2=2.75 ，用计算器可算得f( 2.75 )Q 4.09.因为 f (2.5) f (2.75) V0,所以 x0G (2.5 , 2.75). 同理，可得 x0G ( 2.5, 2.625) , x0G ( 2.5, 2.5625 ), x0G ( 2.5 , 2.53125),x0G (2.515625, 2.53125 ), x0 (2.515625, 2.5234375). 由于 |2.534375 2.515625|=0.0078125 <0.01 ,此时区间(2.515625， 2.5234375)的两个端点精确到0.01的近似值都是2.52,所以方程2x3 4x23x+1=0精确到 0.01 的最大根约为2.52.四、课堂小结1. 函数与方程的紧密联系，体现在函数y=f (x)的零点与相应方程 f ( x) =0 的实数根的联系上.2. 二分法是求方程近似解的常用方法