2024-2025学年山东省日照市日照一中高二（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省日照一中高二（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以3i−2的虚部为实部，以3i2+2i的实部为虚部的复数是A.3−3i B.3+i C.−2+2i D.2+2i2.已知空间向量m=(1,2,3)，空间向量n满足m//n且m⋅nA.(12,1,32) B.(−3.在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是(

)A.OP=OA−OB+2OC B.OP4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1DA.12a+12b+c

5.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以DA.π2 B.22π C.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)=sinC(b+c)，若角A的内角平分线AD的长为3，则b+c的最小值为(

)A.12 B.24 C.27 D.367.如图，边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使AD⋅BC=1，则三棱锥D−ABC的体积为A.423 B.2238.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1A.55 B.12 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于复数z，下列说法正确的是(

)A.i2023=−1

B.若|z|=1，则|z−2|的最小值为1

C.z2=|z|2

D.若−4+3i10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A.BDB.直线BD1与AC所成角的余弦值为66

C.D.直线BD1与平面AC11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M，BC=4，M是AD的中点，将△ABM沿着直线BM翻折得到△A1BM.记二面角A1−BM−C的平面角为α，当α的值在区间(0,π)范围内变化时，下列说法正确的有A.存在α，使得A1B⊥CM

B.存在α，使得A1B⊥CD

C.若四棱锥A1−BCDM的体积最大时，点B到平面A1MD的距离为26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(6,2,1)，b=(2,x,−3)，若(a−2b)⊥13.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a−c=1，b=7，B=60°，则ac=14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1=C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知z是复数，z+2i和z1−i均为实数，z1=z+1m−mm−1i，其中i是虚数单位．

(1)求复数z的共轭复数z16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=PD=12CD=1，PC=5，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)求平面17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=sinA+sinBcosA+cosB．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°．

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)设AB=AP．

①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段AB的长．

②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G19.(本小题17分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．

(1)若平面α1：x+2y−1=0，平面β1：2y−z+1=0，直线l为平面α1和平面β1的交线，求直线l的单位方向向量(写出一个即可)；

(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为α2、β2、γ，其中平面α2经过点A(4,0,0)，点B(3,1,−1)，点C(−1,5,2)，平面β2：y+z=4，平面γ：mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0，求出点B到平面γ的距离；

(3)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}，Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，

T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.记集合Q中所有点构成的几何体的体积为参考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.A

7.C

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.23413.3214.3415.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，则z+2i=a+(b+2)i，

∵z+2i为实数，∴b+2=0，解得b=−2，

∴z1−i=a−2i1−i=(a−2i)(1+i)(1+i)(1−i)=a+22+a−22i为实数，

∴a−22=0，解得a=2，

∴z=2−2i，

∴z−=2+2i；

(2)由16.解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，

因为点M为PC的中点，所以MN/​/CD，MN=12CD，

又因为AB/​/CD，AB=12CD，

所以AB/​/MN，AB=MN，

所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM/​/AN，

因为BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

所以BM/​/平面PAD．

(2)因为PC=5，PD=1，CD=2，

所以PC2=PD2+CD2，所以PD⊥DC，

因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC，

所以PD⊥平面ABCD，

又因为AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥CD，因为AD⊥DC，

以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，因为点M为PC的中点，可得M(0,1,12)，

所以DM=(0,1,12),DB=(1,1,0)，

设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DM=y+1217.解：(1)因为tanC=sinA+sinBcosA+cosB，所以sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB，

所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

即sinCcosA−cosCsinA=cosCsinB−sinCcosB，

所以sin(C−A)=sin(B−C)，

所以C−A=B−C或C−A=π−(B−C)(不成立，舍去)，

所以2C=A+B，

又A+B+C=π，所以C=π3．

(2)由(1)知A+B=2π3，

因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<π20<2π3−A<π2，解得π6<A<π2，

由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，

所以a=csinAsinC，b=csinBsinC，

所以S△ABC=1218.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，

AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

(2)如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系A−xyz，

设AB=t，则AP=t，由AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，

则B(t,0,0)，P(0,−t2,3t2)，因为AD=5−t，则D(0,5−t,0)，C(1,4−t,0)，

所以CP=(−1,t2−4,3t2)，CD=(−1,1,0)，

①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，由n⊥CP，n⊥CD，

得−x+t−82y+3t2z=0−x+y=0，

可取n=(1,1,10−t3t)，

设直线PB与平面PCD所成角为θ，

则sinθ=|cosn,BP|，BP=(−t,−t2,3t2)，

即3344=|−t−t2+10−t21+1+(10−t3t)2t2+t24+3t24|，

化简得：23t2−116t+140=0，19.解：(1)∵平面α1：x+2y−1=0的法向量为u1=(1,2,0)，

平面β1：2y−z+1=0的法向量为u2=(0,2,−1)，

设平面α1与平面β1的交线l的方向向量为v=(x,y,z)，

则u1⋅v=x+2y=0u2⋅v=2y−z=0，

故可取v=(2,−1,−2)，

故直线l的一个单位方向向量为v0=(23,−13,−23)(答案不唯一)．

(2)设平面α2：ax+by+cz+1=0，

∵平面α2经过点A(4,0,0)，点B(3,1,−1)，

点C(−1,5,2)，故有4a+1=03a+b−c+1=0−a+5b+2z+1=0，解得a=−14b=−14c=0，

即α2：x+y=4，

记平面α2、β2、γ的法向量分别为：α2=(1,1,0)，β2=(0,1,1)，γ=(m,m+1,m+2)，

设平面α2、β2的交线l′的方向向量为v′=(x′,y′,z′)，

则α2⋅v′=x′+y′=0β2⋅v′=y′+z′=0，故v′=(1,−1,1)，

依题，v⋅γ=(1,−1,1)⋅(m,m+1,m+2)=m+1=0，

解得m=−1，故得γ：x−z−3=0，其法向量为γ=(1,0,−1)，

在平面γ内取点A(3,0,0)，

则AB=(0,1,−1)，

于是，点B到平面γ的距离为d=|AB⋅γ||γ|=12=22；

(3)(i)记集合Q，P∩Q