等腰三角形三线合一典型题型[1]#(精选.)

1、等腰三角形三线合一专题训练3 / 14word.姓名例 1：如图，四边形 ABCD 中， AB DC ，BE、CE 分别平分 ABC、 BCD ，且点 E 在 AD 上。 求证： BC=AB+DC 。BC3，CD 1，E 是 AD 边中点。求证：CE BE。变 2：如图，四边形 ABCD 中， ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分 BAD、 ABC. （1）求证： AE BE； （2）求证： E是CD的中点； （3）求证： AD+BC=AB.变 3： ABC 是等腰直角三角形， BAC=90° ,AB=AC.若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DM DN 分别交

2、AB 、AC 于 M、N，求证：(1)DM DN。M 、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。(1) 已知：如图， AB=AC ，E为 AB 上一点， F是 AC 延长线上一点，且 BE=CF ， EF交 BC于点 D 求证： DE=DF (2)已知：如图， AB=AC ，E为 AB 上一点，F是AC 延长线上一点，且， EF交 BC于点 D，且 D 为EF的中点 求证： BE=CF 利用面积法证明线段之间的和差关系PD AB于 D，PE AC于 E，?CF1、如图，在 ABC中， AB=AC，P为底边 BC上的一点，变 1：若 P 点在直线 BC 上运动，其他条件不变，则 PD 、 PE与

3、CF的关系又怎样，请你作 图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、 9，则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律11例 1在 ABC中， AB=AC， 1= ABC， 2= ACB， BD与 CE相交于点 O，如图， BOC的大小22与 A 的大小有什么关系？11若1= ABC， 2= ACB，则 BOC与 A大小关系如何？3311若 1= ABC， 2= ACB，则 BOC与 A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例 2如图，等腰三角形 ABC中， AB=AC，一腰上的中线 BD?将这个等腰 三角形周长分成 15

4、和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长9 / 14word.利用等腰三角形的性质证线段相等例 3如图， P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA、 PB、PC，?以 BP为边作 PBQ=60°，且 BQ=BP， 连结 CQ（1）观察并猜想 AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论（ 2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断 PQC的形状，并说明理由例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ）A、 2cmB 、 8cm C 、2cm或 8cmD 、不能确定例 2、已知 AD为 ABC的高， AB=AC， A

5、BC周长为 20cm， ADC的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3， ABC和 ACB的平分线相交于点 O，OEAB，OF AC，求 OEF 的周长。例 4、如图，已知等边 ABC中， D 为 AC上中点，延长 BC到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。A例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450 ，则这个三角形是（）A、锐角三角形B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形例 6、（ 1）等腰三角形的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为。（ 2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为（ 3）若直角三

6、角形三边为 1，2， c，则 c=。例 7、下列说法：若在 ABC中 a2+b2 c2，则 ABC不是直角三角形；若 ABC是直角三角形， C=900，则 a2+b2=c2；若在 ABC中， a2+b2=c2，则 C=900； 若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）例 8、正三角形 ABC所在平面内有一点 P，使得 PAB、 PBC、 PCA都是等腰三角形，则这样的 P 点 有（ ）（A）1 个（ B）4 个（C）7 个（ D）10 个9.四边形）ABCD中，AB=BC， ABC=CDA=90°，BEAD于点 E，

7、且四边形 ABCD的面积为 8，则 BE=AB3C2 2D 2 310.已知 ABC为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，BP=2 3 ， CP=2，则 ABC 的边长为A) 2 5B) 2 7C)4D) 4 2三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于 9，求它的周长。2、在 ABC中， AB=AC， B=400，则 A=3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为4、B有一个内角为 40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 如图，在 Rt ABC中， C105o，直线 BD交 AC于 D， 把直角三角形沿着直线 BD翻折，点 C恰好落在斜边 AB上，如果 ABD是等

8、腰三角形，那么 A 等于（ ）(A)40 o (B) 30 o (C) 25o (D ) 15o6、若 ABC三边分别为 a、（ A）等腰三角形（ B）7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是b、 c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， 直角三角形（ C）等腰直角三角形则 ABC的形状为（ ）（D）等边三角形）。A、有一腰和一角对应相等、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等 8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 9、在等腰三角形 ABC中， A与 B度数之比为 52，则 A的度数是（、有两角对应相等）D 、底角的一半D 、

9、 75°或 100° 10、如图， P、Q是 ABC边 BC上的两点，且 QCAP AQ BPPQ，则11、A、 100° B 、 75° C 、150°BAC（）CBDA、 1250、1200、1300、90010 题图12、如图， AB AC，A 、 60011 题图AEEC， ACE280，则 B 的度数是B、700C、 76012 题图D、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框 AC上（端点 A、 C除外），设甲虫 P 到另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC的高为 h， 则 d与 h的大小关系是（ ）解题方法指导 】

10、例 1. 已知，如图， AB AC CD，求证： B2D例 2. 已知，如图， ABC 是等边三角形， AD/BC ，AD BD，BC 6，求 AD 的长。13 / 14word.【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现， 而且经常把它们结合在一道题中加以应用， 虽然题目的难度不是很大， 但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【 典型例题分析 】例 1. （2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 120°，腰长为 10，则底边上的高 AD 。例 2. 已知，如图，ABC 中

11、， C 90°， AB 的垂直平分线交AB 于 E，交 AC 于 D，AD 8，A 30°，求 CD 的长。B例 3. 已知，如图， ABC 是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 AC 上一点，且 AECD ，又 BD 与 CE 交于点 F，试求 BFE 的度数。综合测试】1. 已知，如图，CAB AC ， ABD ACD ，求证： DBDC2. 已知，如图，D、 E是BC上两点， AB AC ，AD AE，求证： BDCE3. 已知，如图，ABC 中， DE/BC ，ABAC ，求证： ADAE4. 已知，如图， 又 BD CE，求证：5. 已知，如图，ABC中

12、， AB AC ，D是AB 上一点，E是AC 延长线上一点， DE交BC于F， DFEFED是BC上一点， ABC 、 BDE 都是等边三角形，求证： ADCE6. 已知，如图， ABC 中， B 90°， AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于E，又 C15 EC 10，求 AB 的长。例 6、如图 11，在 ABC 中， A90°，ABAC ，D 为 BC 边中点， E、F 分别 在 AB、AC 上，且 DE DF，求证： AEAF 是一个定值 .证明：连接 AD ， AB AC ， D为BC中点， ADBC，BAC 90°，ABAC， B C45&

13、#176;，BAD 45°，CAD45°，ADBDCD，EDF 90°， EDA ADF 90°，又由 ADBC 得 BDE ADE 90°， BDE ADF ，图5在BDE 和ADF 中， B DAF ，BD AD ， BDE ADF ， BDE ADF，BEAF ， AE AF AE BE AB （定值） . 思考：四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例 4 、如图 9 ，已知 AD 为 ABC 的高， E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，FDCD ，你认为 BE 与AC 之间有怎样的位置关系 ?你能证

14、明它吗？ 证明：线段 BE AC ，理由如下：AD BC ， ADB ADC 90°，FBD BFD 90°，在 RtBDF 和 RtADC 中， BFAC ，FDCD， RtBDFRtADC ，BFD C ， FBD C 90°， BEC180°(FBDC)180°90°90°，即 BEAC.例 5、如图 10，在 ABC 中， ACB 90°，AC BC ，M是 AB 上一点，求证： AMBM 22CM 2 .证明：过 C 作 CD AB 于点 D，ACB 90°，ACBC，CDAB， A B 45&

15、#176;， ACD BCD 45°， A ACD ， B BCD ，AD BD ， BD CD，即 ADBDCD ， CDAB， DM 2 CD2 CM 2，图10 AM 2 BM 2 (ADDM )2 (BD DM )22(DM 2 CD 2) 2CM思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题 例 1、如图 5，在 ABC 中， AB AC ，点 O 在ABC 内， OB OC ，求证： AO BC.证明：延长 AO 交 BC 于点 D ，ABAC，OBOC，OAOA， ABO ACO ， BAO CAO ，即 BAD CAD ，AD BC，即 AOBC.例 2、如图 6，在等边

16、ABC 中， D、E 分别在边 BC 、BA BD ，求证： CEDE.证明：过 E 作 EF CD 于点 F， ABC 是等边三角形， B60°， BEF 30°， BE 2BF ，即 BA AE BC BD 2BC CD 2(BCCF)， CD2CF ， CFDF，在 CEF 和 DEF 中， CF DF ， CFE DFE 90°，EFEF， CEF DEF ， CE DE .例 3、如图 7，已知在 ABC 中， AB AC，P为底边 BC 上任意一点， PDAB 于点 D，PEAC 于 点 E，求证： PD PE 是一个定值 .解：连接 AP，过点 C作

17、 CFAB于点 F ，由S11ABCABCF ， S PABAB PD ，22SPAC1 AC21PE AB2PE，SABC SPAB S PAC，得：1 ABCF1AB PD1 AB PE ，222即，PDPECF （定值）图7说明：本例的结论可用文字语言叙述为： 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高拓展：如果点P 不是在边 BC 上，而是在BC 的延长线上，其它条件保持不变，那么PD 与 PE 之间又有怎样的关系呢？解：连接 AP，过点 C作 CF AB于点 F，（如图 8）由SABC1 AB2CF ， S PAB1AB PD ，2SPAC1 AC21PE AB2PE ，SAB

18、CS PABS PAC ，得：1 AB CF21AB PD21AB PE ，2即 , PDPE CF （定值） .即，当点 P 在 BC 延长线上时，PPD 与 PE 之差为一定值基础训练 ： 1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是 4、8，那么它的周长是。（3）等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：（ 1）如果 ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）A 、三条边长分别是5， 5，11B、三条边长分别是4，4，8C、周长为 14，其中两边长分别是4，

19、5 D、周长为 24，其中两边长分别是 6， 122）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）A 、 3B、2C、1.5D、 2或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3 倍，周长为 35cm，求等腰三角形各边的长。4、已知：如图， AD 平分 BAC ，AB=AC ，请你说明 DBC 是等腰三角形。x+2y=4 3x+y=712 / 14word.的解，5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 求这个三角形的各边长。（ 1）等腰三角形的顶角平分线、 互相重合。（ 2）等腰三角形有一个角是 120°，那么其他两个角的度数是和 。（ 3） ABC 中，A=B=2C，那么 C=。；用含 y 的（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为 y°，则用含 x 的代数式表示 y，得 y=代数式表示 x，得 x= 。2、选择题：（ 1）等腰三角形的一个外角为 140°，那么底角等于（）A 、 40° B、100°C、70°D 、40°或 70°（ 2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A 、顶角 B 、底角C、顶角的一半D、底角的一半3）在等腰三