概率论第七章参数估计2区间估计ppt课件

1、第三节第三节 区间估计区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，假设我们根据一个实践样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 假设我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地置信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.实践上，N的真值能够大于1000条，也能够小于1000 条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度置信它包含真参数值.湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信程度. 习惯上把置信程度记作 1 ，这里 是一个很小的正数.一. 置信区间与置信度) 10(,1P 区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真

2、参数以指定的较大约率属于这个范围。定义：设总体X;含一待估参数,1nXX 对于样本, , () 找出两个统计量使得：称区间,为的置信区间，1为该区间的置信度是一个随机区间；1给出该区间含真值的可靠度。能够性。表示该区间不包含真值的区间,通常通常, 采用采用95%的置信度的置信度, 有时也取有时也取99% 或或 90%.，%5 即置信度为即置信度为%.951 这时反复这时反复抽样抽样 100次次, 那么在得到的那么在得到的100个区间中包含个区间中包含 真值真值的有的有95个左右个左右, 不包含不包含 真值的有真值的有5个左右。个左右。例如例如 假假设设详细的计算方法详细的计算方法 由样本由样本

3、12,nXXX寻觅一个样本函数寻觅一个样本函数12(,; )ng X XX，其中只含有一个未知参数，其中只含有一个未知参数 对于给定的置信程度对于给定的置信程度1，找，找 a , b 使得使得 由由12(,; )nag X XXb解出等价的解出等价的不等式不等式11(,)(,)nnXXXX11 (,), (,)nnXXXX是是的置信度为的置信度为1的置信区间。的置信区间。 对于给定的置信程度对于给定的置信程度1，找，找 a , b 使得使得12(,; )1nP ag XXXb 二二 、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计nXX,1设设为总体为总体),(2 NX的一个样本的

4、一个样本设知方差设知方差，202 且且 niiXnX11是是的的一个无偏点估计，一个无偏点估计，置信度置信度 1下，来确定下，来确定的置信区间的置信区间, 知方差知方差，估计均值，估计均值2)1,0(/0NnX 又又1/ 0nXP,1对于给定的置信度查正态分布表，找出21,临界值121P使得：由此可找出无穷多组21,通常我们取对称使：) 1,0(/0NnX且区间,由上 点的定义式, 022() Xnzz,0202nzXnzX 推得，随机区间：查正态分布表, 2/1)(找出得：所以所以的置信程度为的置信程度为1-的置信区间为的置信区间为/2/2,XzXznn简记为简记为/2Xzn例例 假设假设取

5、取0.05 ,10.95 ,1,16n查表得查表得值算得样本均值的察看值值算得样本均值的察看值20. 5x那么得到一个置信度为那么得到一个置信度为0.95的的的置信区间的置信区间)69. 5,71. 4()49. 020. 5(/20.0251.96zz，假设由一个样本，假设由一个样本注：注： 的置信程度的置信程度1的置信区间不独一。的置信区间不独一。 上例中同样给定上例中同样给定,可以取规范正态分可以取规范正态分布上布上分位点分位点-Z0.04-Z0.04和和Z0.01Z0.01，那，那么也有么也有那么那么的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为01. 001. 0z04. 00

6、4. 0z0.050.010.040.95P XzXznn0.010.04,XzXznn但对称时的区间长度但对称时的区间长度/22Lzn最短。最短。194页页115)110120115(91x例1： 知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设规范差，70置信度为95%; 试求总体均值的置信区间解：知.05. 0, 9, 70n由样本值算得：查正态分布表得21.96z，由此得置信区间：,0202nzXnzX 57.119,43.110例2： 从一批零件中随机抽取16个,

7、 测得长度单位:厘米) 为 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11设零件长度，)01. 0,(2NX求总体均值的置信水平为 0.90 的置信区间。解：，01. 0，10. 0，645. 12z查表得，125. 2161161iixx所以的置信程度为0.90的置信区间为645. 11601. 0125. 22znx)129. 2,121. 2(即:例3： 设总体，)25. 1,(2NX问需求抽取容量为多大的样本,才干使 的置信程度为0.95 的置信

8、区间的长度不大于 0.49 ?解: 设需求抽取容量为n的样本, 其样本均值为,X,05. 095. 01,96. 12z查表得于是的置信程度为0.95的置信区间为025. 025. 1znXnnznL9 . 496. 125. 1225. 12025. 0该区间长度要使,49. 0L100n,49. 09 . 4n只需,100n即取 方差未知，估计均值2nSX t/ )1( nt /2/21/XPttSn 所以的置信程度为1-的置信区间为/2/2,SSXtXtnn简记为/2(1)SXtnn。),(2NX.29. 1, 8 .1122Sx例4： 用仪器丈量温度, 反复丈量7次, 测得温度分别为:

9、115, 120, 131, 115, 109, 115, 115cm; 设温度 在置信度为95%时, 试求温度的真值所在范围。解：设是温度的真值，X是丈量值知.05. 0, 7n由样本值算得：得区间：85.113,75.111729. 1447. 28 .112,729. 1447. 28 .1120.025(6)2.447t查表例5：对某种型号飞机的飞行速度进展15次实验, 测 得最大飞行速度(单位: 米/秒)为420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度 422.2, 417.2

10、, 425.6413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根据长期阅历, 可以以为的期望值的置信程度为 0.95 的置信区间。 解: 以表示该飞机的最大飞行速度, 那么 X),(2NX0 .425151151iixx，05.72)(115115122iixxs49. 8s查表得145. 2)14() 1(025. 02tnt由于总体方差未知, 因此的置信程度为0.952的置信区间为:145. 21549. 80 .425) 1(2ntnsx)7 .429, 3 .420(即:05. 095. 01由3 方差的区间估计设nXX,1),(2NX为总体的一个样本niiXXnS122)(1

11、12是的无偏估计并且样本函数：) 1() 1(222nSn由于2分布无对称性，1) 1(2221SnP即：由2分布表的构造，1) 1(2221SnP) 1() 1() 1() 1(21222222nSnnSn置信区间：，1)1() 1() 1(2222212nSnnP即2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn212(1)n2/2(1)n/2/2规范差的一个置信程度为1的置信区间2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn留意：在密度函数不对称时，如留意：在密度函数不对称时，如2F分布和 分布，习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。例6：在某班级中, 随机

12、抽取25名同窗丈量其身高, 算得平均身高为170cm,规范差为12cm. 假设所测 身高近似服从正态分布, 求该班学生平均身高 和身高规范差的0.95置信区间。解：设身高),(2NX由题设得，25n，170 x，12s，05. 006. 2)24() 1(025. 02tnt364.39)24() 1(2025. 022n401.12)24() 1(2975. 0221n(1)的0.95置信区间为06. 22512170) 1(2ntnsx(2)即:)94.174,06.165() 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn2的0.95置信区间为401.1214424,364.3

13、914424即:)69.278,80.87()69.278,80.87()69.16,37. 9(的0.95置信区间为所以设某机床加工的零件长度，),(2NX16个零件，测得长度单位：mm如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间2.05. 0,16n.00244. 02S0058. 0 ,0013. 026. 600244. 015,5 .2700244. 015例

14、7：今抽查解: 知)975. 0 ,15(2. 5 .272查;26. 61得)025. 0 ,15(2查得由此得置信区间:三三 、两个正态总体均值与方差的区间估计、两个正态总体均值与方差的区间估计11,nXX设为总体211(,)XN 的一个样本的置信区间1221,nYY为总体222(,)YN 的一个样本, X与Y相互独立。2212,均为知,且XY12是的一个无偏估计， 由于X与Y 相互独立,所以22121212(,)XYNnn12221212()(0,1)XYNnn所以的置信程度为1-的置信区间为122212/212()XYznn22212未知121212() (2)11XYt nnSnn2

15、22112212(1)(1)2nSnSSnn所以的置信程度为1-的置信区间为12/2121211(2)XYtnnSnn的置信区间2212/12(,未知)2211122222/(1,1)/SF nnS221112/212221222/(1,1)(1,1) 1/SP FnnFnnS 所以的置信程度为1-的置信区间为2212/2211222/21221/21211,(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn本章知识小结本章知识小结1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有 效性、单个正态总体参数的区间估计效性、单个正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计

16、难点：最大似然估计作业作业 210页页 14、15、18 19、20 分布参数的区间估计 ; f x p =0,1x=) 10( p假设总体 X 的分布律) 10( 2,(1)pppms=-1(1)xxpp-p其中为未知参数，那么设1,(50)nXXnLX为总体的一个大样本由中心极限定理1(1)niiXnpnpp=-(1)nXnpnpp-=-(0,1)N:近似近似221(1)nXnpPzznppaaa禳镲-镲-睚镲-镲铪22(1)nXnpzznppaa-整理222222()(2)0nzpnXzpnXaa+-+从中解得X的范围 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实践问题，人们关怀的只是参

17、数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的运用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.五、单侧置信区间五、单侧置信区间于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 11P),(2111nXXX 满足设 是 一个待估参数，给定, 0 假设由样本X1,X2,Xn确定的统计量那么称区间 是 的置信程度为 的单侧置信区间. ),1 11 称为单侧置信下限.),(2122nXXX 又假设统计量 满足 12P2 那么称区间 是 的置信程度为 的单侧置信区间. ,(2 1 称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿

18、命均值 的置信程度为0.95的单侧置信下限. 例8 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命实验，测得寿命X单位：小时如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 由于方差 未知，2 解： 的点估计取为样本均值 X选取统计量为 对给定的置信程度 ，确定分位数) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使即 1) 1(nSntXP于是得到 的置信程度为 的单侧置信区间为 1,) 1(nSntX 将样本值代入得 的置信程度为0.95的单侧置信下限是1065小时 的置信程度为 的单侧置信下限为 1即nSntX) 1( 例9 为估计制造某种产品所需求的单件平均工时单位：小时，现制造5件

19、，记录每件所需工时如下10.5 11.0 11.2 12.5 12.8假设制造单位产品所需工时),(2NX试求平均工时的置信程度为0.95的单侧置信上限.),(2NX2) 1(/ntnSXt解 由于,其中未知,因此t) 1(1nt1) 1(/1ntnSXP) 1() 1(1ntnt1) 1(/ntnSXP对于给定的, 由分布的分位点的定义,存在,使得而, 所以1) 1(ntnSXP) 1(,ntnSX) 1( ntnSX即 故的单侧置信区间为单侧置信上限为5n6 .11x995. 02s95. 0105. 01318. 2)4() 1(05. 0tnt55.121318. 25995. 06

20、.11) 1(ntnSX, 经计算得, 由 得可得单侧置信上限因此, 加工这种产品的平均工时不超越12.55小时的可靠程度是95%.( )x练习：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？（ (2)=0.977，其中是标准正态分布函数）()50 ,()5nnE TnD Tn1212,innnXinXXXnTXXX解：是装运的第 箱的重量（千克）， 是所求箱数。由条件可以把视为独立同分布随机变量，而 箱的总重量是独立同分布随机变量之和。()50,()5;iiE XD X由条件知(50 ,25 )nTNnn由中心极限定理，近似服从正态分布，5000nnP T