第12讲立体几何中球的综合问题

1、第十二讲立体几何中球的综合问题A组一、选择题1 . （2018年高考全国卷I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1 , 02,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A. 12后兀B. 12兀C. 8我兀D. 10 兀【答案】B【解析】过直线 。2的平面截该圆柱所得，的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2夜，底面圆的直径为2 J2 ， 所以该圆柱的表面积为2父几父（扬2+2匹r父272 = 12冗.故选B2 .三棱柱ABC - AB1C1的各个顶点都在球 O的球面上，且AB = AC = 1,BC = J2,CC _L平面ABC。若球。的表面积为3

2、n ,则这个三棱柱的体积是（）A. -B.163C. 1D.12【答案】C【解 析】 7ab = ac=1, bc = V2,a ab_lac,Vcc1 1 平 面 abc，三 棱柱ABC -A1B1C1内接球O ,二O为距形BCC1B1的 中心，设球O半径为r ,则4元1=3江，二 r =,即 OC = r =，,二三棱柱的高 h 2/r2 I BC = 1 , 二二棱22712J112枉的体积v=s&Bcl_h= 父仆1乂1=一，故选Co3.球。的球面上有四点 S,A,B,C ,其中O,A,B,C四点共面，&ABC是边长为2的正三角形，面SAB，面ABC,则棱锥S-ABC的

3、体积的最大值为()A.q B .用 C . 2 邪 D . 4【答案】A【解析】设球心和 AABC的外心为 O ,延长CO交AB于点P ,则由球的对称性可知PD _L AB,继而由面 $人3，面ABC可得PD 1 AABC所在的平面，所以 PD是三棱锥的高；再由O,AB,C四点共面可知 。是AABC的中心，故OP=N3,R = 2i3,当三棱 33锥的体积最大时，其高为PD =J(Z)2 -()2 =1 ,故三棱锥的体积的最大值为,33-3 22 1 = -3 ,应选 A。343ABCD ABiGDi内接于半径为V3的半球O ,四边形 ABCD为4.如图所示，直四棱柱【解析】设AB =x ,则

4、OB2=x, BB1 -2C 12 LL ，、， » E " I、4八 Q,3 x ,所以直四梭柱的体积为2V =x2 ：3 -x2 ,令 A：3 - x2 =t，则 x2 = 6 2t2 ,则 V = (6 2t2)t = -2t3+6t ,故V 222/2V =-6t +6 = 6(t 1)(t+1),所以当t =1时，即x = 2时，体积V最大.故应选D.5 .在正三棱锥 S ABC中，M是SC的中点，且 AM_LSB,底面边长 AB = 2j2,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A. 6 二B. 12二C. 32二D. 36二【答案】BSB1平面SAC因结合

5、球的表【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC±SB结合SB±AM得到此可得SA SR SC三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径,面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.取 AC中点，连接 BN SN, . N为 AC 中点，SA=SC . . ACX SN同理 AC± BNSW BN=N ，AC，平面 SBN SB?平面 SBN - AC± SB,SB± AMM ACA AM=A .SB,平面 SAC? SB± SA 且 SB± AC, 三棱锥S-ABC是正三棱锥， .SA、SR SC三条侧棱两两

6、互相垂直. 底面边长 AB=2j2,，侧棱SA=2 正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R = 2j3,1. R = J3 , 正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是 S=4nR2=12；i ,故选：B.、填空题方体的表面积为6 . （2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正 18,则这个球的体积为 .【答案】92t2【解析】设正方体边长为 a ,则6a2 =18= a2 =3 ,4 3 427 9外接球直径为2R = J3a =3,V = ?R =一无父=一兀.33827 .底面是同一个边长为 a的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底

7、面，球的半径为R。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为二、P ,则tan(« + P )的值是4 3R3a【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图如图可知，底面L ABC为正三角形，D为BC的中点，则AD _L BC , SD_L BC , MD _L BC ,故/SDA和/MDA即为二面角a和P;、3,3a=a ,23PD设SM交平面ABC于点P,易知P点在AD上，且为ABC的重心.'32SM = 2R , AB = a , AD = a , PA =父231:tan j' tan :tan -二r1 - tan ：- tan :SP MPPD PD, SP MP

8、1 _PD PDPD SDPDSMPD2-SPMP PD2-PA2鬻2R4、3R22a a1233a8 .已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿 PA, PB,PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形， 若这个平面图形外接圆的半径为26 ,则三棱锥P-ABC的内切球的【解析】三棱锥P - ABC展开后为等边三角形， 设边长x ,则= 2 -2 6，则x = 6 J2$n a因此三棱锥P -ABC的棱长为3<2 ,三棱锥P-ABC的高2<3 ,设内切球的半径为r ,1132 一则 4 M m r m S/bC = - S&bc k 2v3 ,二 r 二,求的表面积 S

9、 = 4nr = 3n .3329 .已知球。的表面上有 P,A,B,C四点，且 PA,PB,PC两两互相垂直，若 PA=PB=PC=a, 求这个球的表面积和体积解：设过P, A,B的平面截球所得截面圆心为 Oi , POi与球面 /另一交点为D.因为PB_LPA,所以AB是圆O1的直径，且所以PC_L平面 ； 此'过 oo1 ,pc 作平AB =VaP2+BP2 =J2a.因为 PC _L PA, PC _L PB ,PAB ,又OOi，平面PAB ,所以OQ PC .如图,面a ,则直线 DP为平面a和平面PAB的交线，点 O1 w PD ,连接CD,在圆。中tPC,PD, /CP

10、D为直角,在 RtACPD 中, CD =JPC2+PD2 =./3a所以CD为圆O的直径.设圆O的半径为R , 即2R=J3a ,所以R=41a .所以2 c 243：:/33S求=4#=3超N球、=HR =-2-必三、解答题10.棱长为2cm的正方体容器中盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大? 解：过正方体对角线的截面图如图所示，ACi =2 .,3, AO = .3,AS =AO -OS = 3 一1 .设小球半径为 r ,tanZCiAC =AO1 = 3rj.AS=AQ +QS ; J31=V3r

11、 +r 解得 r =(2 V3)cm 为所求.FCi11.过球面上一点P的条弦 PAPB,PC ， 满足 ZAPB =ZBPC =ZCPA=60 ：,PA=PB =PC =q'6 ,求此球的表面积解：由题意知，四面体P-ABC是球的内接正四面体.设P是MBC的中心，则球心 O在PP'上.如图，连接径为 x ,则 OP=OC=x ,在 RtAOP'C 中PP'"。'。2"6 一号遍2 =2OC,P'C ,设球半OP'=PP'x 而2223OP'=2 -x,CP'2 =2. x2 =(2 x)2 +

12、2 , x = ，2./3、2 八表面积为S = 4n M( ) =9n212.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离。解：设四个球心分别为 A,B,C,D,则四面体A-BCD是棱长为2R的正四面体，如图所示，过 A 作AH_L面 BCD与H,则H为4BCD的中心，连接 BH并延长交CD于 M ,连接 AM，则 BM _L CD,AM _L CD且 AM= V3 R, HM= R ,32 6所以 AH= R ,故上面一球的球心到桌面距离为(1十坦R。3、选择题1 .已知三棱锥 P-ABC ,在底面 AABC 中，AB =1 /A = 60,BC = J3, P

13、A_L 面ABC,PA =2百，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. 16nB . 4宿C ,当 D . 16冗33【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得AC =2, AB2 +BC2 = AC2,满足勾股定理，/ABC =900, PA_L 底面 ABC,所以 PA_LBC,那么 BC _L 平面 PAB,所以 BC _L PB ,那么直角三角形 PAC,PBC有公共斜边PC ,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O, PC是其外接球的直径，PC =4,所以外接球的表面积 S = 4nR2 =16元，故选D.2 .如图，在菱形ABCD中，/BAD =60, AB =2，3, E

14、为对角线BD的中点，将AABD沿BD折起到APBD的位置，若ZPEC =120，,则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为()A. 28nB . 32nC . 16nD. 12n【答案】A【解析】设M,N分别是等边三角形 PBD,CBD的外心，则O1N =1,NC =2画出图象如下 图所示，由图象可知，/MOK =120，,/OOiN =60，故 ON =1 ,tan60 = J3 , R =OC = ,ON2 NC2 = .3-4=",外接球面积为4nR2 =4n 7=28冗.3 .已知三棱锥 S- ABC 满足 SA!SB SESC SdSA 且 SA=SB=SC若该三棱锥外接球的半

15、径为由，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为().34.3A. 3B. 2 C .3D .3【答案】D【解析】因为三棱锥 SABC中，SA.L SB,SB.LSC,SC_L SA,且SA=SB=SC,所以三棱锥的外接球即为以 SA, SB, SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为J3 ,所以正方体的对角线长为2 J3 ,所以球心到平面ABC的距离为工父遇二，3,所以点Q到平面ABC的距离的最大值为 « +百=4«,故选D.233334.已知从点P出发的三条射线 PA, PB, PC两两成60 口角，且分别与球O相切于A, B, C三点.若

16、球。的体积为36%则O, P两点间的距离为()(A) 372(B) 373(C) 3(D) 6【答案】B【解析】连接 OP交平面ABC于O',由题意可得： AABC和APAB为正三角形，所以A 3AB .3APO PA P 二O A =.因为 AO， P O O A P A 以=;,所以33O A AOOP =OA，JAP_ = J30A.又因为球的体积为 36n ,所以半径OA = 3,所以OP = 3j3. AO二、填空题5. （2017年新课标I卷）已知三棱锥 S - ABC的所有顶点都在球 0的球面上，SC是王0的直径.若平面SCA，平面SCB, SA = AC, SB=BC,

17、三棱锥S ABC的体积为9,则球0的表面积为【答案】36二【解析】取SC的中点0 ,连接0A , 0B ,因为 SA = AC, SB = BC ,所以 0A_L SC, 0B _L SC因为平面SAC_L平面SBC,所以平面 0A_L平面SBC设0A = r,所以，所以球的表面积为【解析】取SC的中点0,连接。丸。3,因为 S.4=AC:SB = BC，所以Q4±SC、OB _SC.因为平面&4C 一平面SBC f所以QT _L平面加C.= r ；xOA = lxx2rxrxr = lr3所以y尸=3,所以球的表面积为4环广=36万6. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个

18、底面都相切，已知这个球的体积为a丝，那么3这个三棱柱的体积是.【答案】48、3【解析】由题意可得，球的半径为 R = 2,则正三棱柱的高为 h=2R = 4,底面正三角形中 心到各边的距离为R = 2,所以底面边长为4百，从而所求三棱柱的体积为V = Sh=14石2 4 二4 8二敏正确答案为48-.3.47.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1,则圆锥的体积为 .【答案】3二【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC及其内切圆L 01和外切圆L 02 ,且两圆同圆心，即 ABC的内心与外心重合，易得 ABC为正三角形，由题意L O1的半径为r = 1,. ABC的边长为273,

19、 圆锥的底面半径为 J3,高为3, V =1工冗m3M3 = 3n .3三、解答题8.已知棱长为3的正四面体A-BCD, E,F分别是棱 面体A-EFD的内切球的半径。解：如图所示，设四面体A-EFD的内切球半径为AB,AC上的点，且AF=2FC,BE=2A辟四r ,球心为 O,连接 OA,OE,OF,OD!UVA_EFD =Vo /EF, VO-AFD*VO_ADE +VO_EFD ,四面体 A-EFD的各面面积为S. AEFS ABC,32S =2SS.AFD -S.ABC33.32S. AED3S.ABC3.3DEF各边边长分别为EF=DF=DE=FD5.342,Va _efd - -

20、V9A-BCD1VA _EFD - r (S . AEF ' S . AFD ' S AEDS.DEF )3,又6,故四面体 A-EFD的内切球半径为8二二2322335'3、 +），所以4-6。89.已知四面体 P-ABC PA=4, AC=2+'7 ,PB=BC=2J3 , PA_L 面 PBC求四面体 P-ABC的内切球与外接球面积的比。由勾股定理得,等边三角形PBC解：由题意，已知 PA_L面PBC, PA=4, AC=2j7 ,PB=BC=2 J3 ,如图,AB =2后,PC =2j3,所以APBC为等边三角形，&ABC为等腰三角形,一 ,，一

21、 .一2 . 3所在小圆的直径PD =sin 60=4 ,那么四面体P-ABC外接球直径AD=2RK'16 +16 =4?2 ,所以 R =22 , VP»BC =S#BC31 PA *33一12 4 = 4 3,41、3表面积 S = - 2v3 4 2 + 内切球半径为r ,那么112+ 23 -5 = 16>/3 设2134避=16 J3r ,所以r=,故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比 34343、2_3,即表面积之比为2.2161610.球与正四面体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少?解：如图，设正四面体棱长为a ,球半径为 R,取AB中

22、点E, CD中点F,连接AF,3BF,EF贝U AF=BF=a , EF _L AB ,同理可得 2EF _L CD二EF是AB,CD的公垂线段，则EF的长是AB,CD的距离，_ _ 2 _ _ 23 2 1 272EF = A AF - AE =Ja -a = a ,又由42得EF是该球的直径，即球与正四面体的六条棱相切,232R = a,. R2. 2a3324=ji32 ,32 一3a = na ，又V正四面体3224&3,故12V 正四面体211.已知正三棱锥 P-ABC点PA,B,C都在半径为v；3的球面上，若 PA,PB,PCM两垂直,求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面

23、ABC的距离。解：把正三棱锥补成正方体， 如图所示，可知外接球球心。为体对角线 PD的中点，且PO=73,又P到平面ABC的距V P 小BC = VB 3PC1.321 1(2 2) h 2 2 2,. h =3 43 22.3,则球心O到3截面ABC的距离为PO=h = 2ilo3则AC组一、选择题1 .已知A,B,C三点都在以。为球心的球面上，OA,OB,OC两两垂直，三棱锥O ABC的体积为4 ,则球O的表面积为（）3A. B. 16 二 C.32-D.32 二【答案】B【解析】设球的半径为 R,由题意 OA=OB=OC= R可得三棱锥 O-ABC体积， 4 1 1 _222-=-x-R

24、2xR,解得R = 2,则球的表面积为 S=4nR =4冗父2 =16u，故选B.3 3 22 .三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB = BC = CA = 2J3 ,平面PAB _L平面ABC ,则三棱锥P ABC的体积的最大值为（）A. 4B. 3C. 4a/3D. 3J2【答案】B【解析】根据题意：半径为 2的球面上，且AB =BC =CA = 2j3, ABC为截面为大圆上 三角形，设圆形为O , AB的中点为N , ON =q2 2-3 =1，'：平面PAB 1平面ABC，二三棱锥P-ABC的体积的最大值时，PN _L AB, PN _L平面ABC ,

25、 PB =2 2-1 = 3,，三棱车B P -ABC的体积的最大值为3 .已知四面体ABCD的一条棱长为a,其余棱长均为2 J3 ,且所有顶点都在表面积为 26的球面上，则a的值等于（）A. 373B. 275C. 372D. 3【答案】A【解析】如图所示的四面体 ABCD中，设AC = a ,其余的棱长均为2J3 ,取BD的中点E ,20n的球面上，所以球的半径连接AE,CE ,则AE =CE = 3,又所有顶点都在表面积为为R =痣，球心O落在线段EF上，且EF =2_ a9,在直角AOCF中, 4则 OF2 +FC2 =r2,、5)2 (1)2 -.52,解得a =3j3 ,故选A.4

26、 .在三棱锥 ABCD中， ABd BCD都是边长为6的正三角形，平面 ABCL平面BCD则该三棱锥的外接球的体积为（A. 5<15 冗B. 60 几C. 6005 冗D. 20V15 %【答案】D【解析】取BC的中点为M E、F分别是正三角形 锥外接球的球心，连接 AM DM OF OE OM OB OEL平面 ABC OML BC, AM! BC, DML BC,所以/ABC和正三角形 BCD的中心，。是该三棱 贝U E、 F分另1J在 AM DM±, OF,平面BCD AMM二面角 A BC- D的平面角，因为平面 ABCL平面 BCD 所以 AML DM 又 AM=DM

27、3V3 ，所以 EM = FM =-AM =<3 ，所以四 3角形 OMB中，球半径边形 OEMF为正方形，所以 OM=%/6，在直角OBKOM2 +BM2 =d函2+32 = J-5 ,所以外接球的体积为 4(15) = 20J15冗，故3选D.5 . 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是（）A【答案】B【解析】如图，作轴截面，设球未取出时，水面高 K/， 球取出后，水面高P-y -则以aS为底面直径的圆锥容积为= 1 就小* m-二 ,5“ 4二%=h球取出后，水面下降到 E

28、F ,水的体积为K = - ；r-Pff = - x（PH tan 36 33 -9解得0而1选B6.已知三棱锥S-ABC所有顶点都在球。的球面上，且SC_L平面ABC ,若 SC= AB= ACT, /BAC =1200,则球。的表面积为 .【答案】5二【解析】；AB =1,AC =1,NBAC =120°,BC = Ji+1-2父 1 父 1 m （2）= 73 ,.三角3.一形式BC的外接圆直径 2r='一°=2,，r=1, * SC_L平面ABC ,SC = 1,AOSC为sin120等腰三角形，.该三棱锥的外接球的半径.该三棱锥的外接球的表面积为S =4n

29、R2 =5n .因此，本题正确答案是：5兀.7 .三棱锥 PABC 中，AB = BC=J15, AC=6,PC_L 平面 ABC, PC = 2 ,则该三棱83兀383冗2锥的外接球表面积为（）A. 25n B .空n C【答案】D【解析】由题意得，在AABC中，因为AB = BC = J15, AC =6 ,由余弦定理得cosB = 诉）'y15U6 = 1 ,所以sin B =2何，所以AABC外接圆的半径为 215 ,15552r_ ac|sin B65 一2,625 : 6 一 ，一，所以球的半径为22,283 一，r2 =r2+ PC =一，所以球8的表面积为 S=4nR2

30、=4nM=冗，故选 D.82r的可能最大值为（8 .半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径-=R C . -6=RD . 娓 R1,33 .62 .5【答案】C【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r ,该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心,该正四面体的高为2.6r324r该正四面体的外接球半径为 x , 则解得 x = -r ,二 R = m6r + r ,，r =6 R 故答案为 c.223 ,6二、填空题9.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平

31、面，则这个碗的半径R是 cm10 - 21 【答案】10 10-213【解析】依题意可得碗的球心为O,半径为R.其它三个球的球心分别是 O1,O2,O3 .这四个点构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以 OO1 =R-10.O1O2 = 20 .通过解直角三a ，110，21 一 _角形可得R = 10 +.故填3 c 1 0-2110 一-.三、解答题10 .有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点，求三个球表面积的比。a解：设正方体棱长为 a ,则内切球半径 R1 =,棱切球其直径为正方体各面的对22 角线长，则R2 =a ；外接球直径为正万体的体对角线，故2比为 12:(72)2:(闻=1:2:3。11 .如图所示，已知球 。是棱长为1的正方体ABCD A1B1clD1的内切球，求平面ACD1截千O的截面 积。解：根据正方体的几