泰勒公式和运用

1、泰勒公式及其应用数学与计算机科学学院数学与应用数学数学091班赵菲【摘 要】 泰勒公式集中表达了微积分“逼近法的精髓 ,在微积分 学及相关领域的各个方面都有重要的应用.在现行教材对泰勒公式证 明根底上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证实方法 ,并归纳了其 在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证实、定积分 证实,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的 应用.1预备知识1. 1带有Peano型余项的泰勒公式函数人工在a , b 上具亨n阶导数,那么Vx 6 a , b 有+ f 4工-力 +产*"阳其中1- 儿力 _Q4国二必工同即叫工-针一1. 2带有La

2、grange型余项的泰勒公式假设函数r在卜上连续,网在开区间a , b内存在,那么 耳为在工与牛之间,使得下式成立就具干=«+D!7tMi£n,1士用=&+/公工-/+-+%喉乂八、总功小币任.假设就中取E介于与0之间称之为 Maclaurin型余项1. 3常见的Maclaurin公式工/为Lagrange型余项.(3)cosx=l-+_+(-5,13)1+Q1上这里G为任意实数；511 + 力=工!+_+-.7弓 +.82n2泰勒公式的证实两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数.公式1非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式1在求

3、极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计. 公式2 的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不阻碍定理 的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据.证实：设4国二阳-工疝.现在只需要证lim 峋二 0.工"2r力 有关系式3可知,*11而-£/-4并易知&5=Q.瑜二一二成间%=00圆1二星由于#0,存在,所以在 点片的某个领域WQ内f存在n-l介导函数/工,于是工且 工一片时,允许接连使用洛必达法那么 股-1次,得到儿任型tkn =tan ；= n 一叫-g© 工.尸修3-#7(9-产(而乂工-巧)/b(h-B_2(兀-巧)产1产气力一产

4、g 一m. I工一巧=0.注：满足的条件与是唯一的.4.泰勒公式的应用4.1 在求极限的问题中,可以利用泰勒公式及皮亚诺余项计算.yfcn 2例4.1求 3解 由于等价无穷小可以知道,分母为 工.只要把COS工,曹方展开到f即可.cnsx=l- + 4-o(x4) 24e-T +j 2工白一:就力1Ml T=! 1故 I. sh .vnx12注：由于对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简 单的,因此,对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复 杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题,因此满足以下情况时可考虑用泰勒公式来求极限：i 用洛比达法那么时,次数较多,且求导及化

5、简过程较繁.ii分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无 穷小替代形式.也所遇到的函数展开为泰勒公式不难.当确定了要用泰勒公式求极限时,关键是确定展开的阶数.如果分母 或分子是n 阶,就将分子或分母展开为n阶麦克劳林公式.如果分子,分 母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数 ,即合弁后的 首个非零项的窑次的次数4.2 泰勒公式在微分方程方面的应用.H例4.2 解微分方程y +广0 o解显然网力二与力T在二°的领域内可展开成窑数,故方程的解为4)带入原方程并整理得由于各次窑系数都等于零,所以5£ +-) + O1(X-X5 + X +_)*“7-0 +2 工+

6、34)j?+_+M+1)(h + ?)%h二0/四= 一一/ =、 6»4»277*5»3带入所设方程解中的原方程的通解为这里为任意常数注当微分方程的解不用初等函数或其积分表达时,常常采用泰勒级数解决,如微分方程/+力江+?力/=.,当面由妖力在领域遇内 可以展开成伍的泰勒级数或哥级数时,方程在 迎钟内必有形/,的解4.3 泰勒公式在近似值计算上的应用例4.3 计算e的值使得误差不超过ict6 ；解 由上面公式1,当x=1时有1 11*.«=1+1+-+-+_+-+2! 3ri (片+D!"邛R+D!当n=9时便有号J二<10工个 10!

7、 3628800从而略去而得e的近似值4.4 泰勒公式在判定级数敛散性方面的应用例 4.4 在级数敛 散性理论中,要判断一个正级数nnZ Pn =£ ；p>0,可有比拟判别法来判定,那么在实际应用中较困n 1n T n1难的问题是如何选取恰当的Z 4p>0中P的值? pn T n考虑以下情况(1) 假设p=2,此时£ ；收敛,但是lima = f nd nn > T2n(ii ) 假设p=1,此时£1收敛,但是lim包=0,这里我们无法判定nj nn1二1n£an的敛散性,为了有效的选取£；(p>0)中p的值,可以 n

8、4n J n用泰勒公式研究anT0的阶,据此选取恰当的p的值,使得lim 1 =1 ,并且保证0 <1 < +8 ,再有比拟判别法就可以判定 n .1n p9can的敛散性.n 4例4.4判定级数 fan =? (；- Jn(1+3)的敛散性.n 1 n 1 :n n解利用泰勒公式展开有an一( n 2n(1-1o()2n1o(1)(1-故有n1%=-no(n 2)收)时是口阶的,与L性,所以Z an收敛注：泰勒公式研究序列无穷小量an的阶,然后与恰当的bn(如t,p>0)去比拟,有的放矢的求出 P的值再求出极限值,那么np可顺利解决问题.4.5 泰勒公式在导数方面的应用例

9、4.5 设 f(x)在 xo 处 n 次可导,且nn 1f(x) =£ ak(x -Xo)k +0(x 一*0)»证实£,)=£ ak+(k +1)(x x°)k +o(x x.)",) k 'k =0.n证 由于 f(x)在 xo 处 n 次可导,且 f(x) =z ak(x-xo)k+o(x-xo)n)故k=0由泰勒局部公式的唯一性可知,ak =4,(k= 0,1,2,n)即且知k!f(x)在xo点n-1次可导.在xo的某领域内具有n-2阶导数,故有n 1泰 勒局部 公式,f'(x) = g(x) =£

10、bk(x x0)k+o(x xo)n)且k=0(k)(k 1),、bk =g (xo)=f_(o,k=o,1,2n-1 将 f(k 用(x0) = ak 书(k + 1)!代入上k!k!n 1式即得 bk =a*k +1)所以 f (x) =£ ak书(k +1)(x -x0)k +o(x - xo)n) k =0注1.此题用到泰勒局部公式的条件与唯一性等知识.2.由此题证实可见,虽然证实是由对f'(x)直接应用,泰勒局部公式弁利用f(x)在xo点泰勒局部公式唯一性得到的结论,但效果上看,掐相当于在f(x)的泰勒公式两端关于x求导所得结果.4.6泰勒公式在无穷小中的应用例4.

11、6确定常数a,b,使得当x=0时f(x) = ex-上国1 bx1 ax1 bx=(1 ax)(1 bx)1=(1 ax) 1 -bx b2x2 -b3 x3 o(x3)'为x的3阶无穷小.=1 (a -b)x (b3 -ab)x2 (ab2 -bex = 1 x o(x3) 2!3!)x3 o(x3)所以f(x')=d-a +b)x +(2 -b221n(1 x); x 一工7x - - ,02 二 x +ab)x2 +(3-ab2+b23(1)22)x3 +o(x3)为了在XT 0时使f(x)为x的3阶无穷小,应选那么常数,a,b.使得 丁22»-ab山1 a .

12、 .2即；3 解得 i 既有 ex -.= -x3 +o(x3)2 b(aMb韦2 -x 12注 根据无穷小界的概念,这里应在极限式1M曾=口¥0的条件x >0 xk下确定a,b (k是指定阶数),此题的解法虽没有出现此极限式,但实际上正是从这一极限式中 a,0的要求下进行的,及当且仅当 f(x)的泰勒局部展式中低于 k阶的系数等于0, k阶系数中0时, 有0(¥0,为此,f(x)的佩亚诺余项应为o(xk),这也是解决问题的 一般方法1.4.6关于界的估计例4.6设f(x)在b,11上有二阶导数,0<xwi时|f(x) Mi, f''(x)父2试

13、 证：当 0MxM1 时,f'(x) <3o1 "2f(1) = f(x) = f (x)(1 -x) f ( )(1 -x),21 "2f(0) = f(x) f (x)(-x)f ( )(-x)2所以f'(x) <|f(1)| +|f (0) +:|f "(D(1x)2 +-1|f"C1)x2 <2 + (1-x)2 + x2 <1+2 = 34.8 泰勒公式证实不等式2例 4.8 证实：Vx >0,x - <1n(1 +x) <x 2证实1x2Vx > Q 而 1n(1 + x) =

14、x < x,0 < < x2(11)12故 yx > 0,有 x< ln(1 + x) < x 证毕2可见,用泰勒公式证实不等式是一种很好的方法.4.9 泰勒公式证实中值公式例4.9 设f (x)在a,b】上三次可导,试证：三cw(a,b)使得f(b) = f(a) + /(审)f'''(c)(b a)3) (1)证(待定系数法)设k为使下式成立的实数；,a b1f (b) - f (a) - f (2")(b -a) - k(b - a) =0 这时,我们的问题归为证实：号c*a,b),使得k = f .(3)令 g(x)= f(x) - f (a) - f'(ayxXx - a)7(x - a)3 (4)那么 g(a)=g(b)=0 根据 Rolle定理,五 w (a,b)使得 g0) = 0由(4)式,即：f,(O-f,(aF)-f11(£r)()( -a) = 0(5)这是关于k的方程,注意到f在点上处的泰勒2/1'a