高等数学第七版下册复习纲要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1 .微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的景高阶数叫做微分方程的阶.2 .微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的钱称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特孵.3 .特孵与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特孵;也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法(1) 分得变量的微分方程及其解法方程的形式：g(y)dy = f(x)dx.(2) .方程的解法：分离变量法(3) .求解步骤 .分离变量

2、，将方程写成鼠丁)力= /(x)dx的形式； .两端积分：Jg(y)dv = J/a)公，得除式通解G(y) = F(x) + C； .将隐函数员化.2.齐次方程及其解法方程的形式：2dx yx)2) ).方程的解法：变重替换法.求解步獴 .引进新变量，=)，有及半= + x半； xax ax .代入原方程得：+ x也=/(相)； dxdu dx .分离变量后求解，即孵方程u= 一；(p(u)-ii x .变量还原，即再用二代替X3) 一阶线性微分方程及其整法dv.方程的形式：+ P(x)y = Q(x). dx一阶齐次线性微分方程:半+尸(x)y = 0.axdy一阶非齐次线性微分方程:+

3、P(x)y = Q(x)*0. dx(2).一阶齐次线性微分方程下 +尸(x)y = O的解法：分离变量法. ax逋解为 y = Ce-idx(0 £ R).(公式)dy.一阶非齐次线性微分方程+ P(x)y = QM工0的锂去 常政交易法. ax对方程g + P(x)y = Q(x),设y = (x)ei蛇为其逋解，其中。)为未知函数，从而有 半=u'(x)Pxdx-u(x)P(x)ejP(x)dx,ax代入原方程有't心)P(x)eF"'"x + P(x)u(x)eIPxdx = Q(x),整理得 '(x)= Q(x)e&quo

4、t;0'"',两端积分得 (x) = J Q(x)eiP(x)dxdx + C,再代人通辞表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解y = eiP(x)dxQ(xp(xdxdx + C) = cePxdx+e-x)dxQ(x)ePxdxdx ,(公/因非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解第八章：空间解析几何与向量代数一、向量7=（乙，北，2“），=（毛，券，&）,?=（天,尤，2,）1 .向重7 =（儿，咒,）与0 =（玉,%,Q）的数量积：a-b=a|cosm + xbyb + zaZb;一ijk2 .向量7 =（%,），a，z）与=（4

5、，第，园）的向量积：axb = xayaza .&yb4=回W卜皿3的几何意义为以7, b为邻边的平行四边形的面积.3 .向重了= （x,y,z）的方向余弦：XyVcosa = ,cos/7 = ,cosy = '' .=,2,）/ *>*>2/*>/）E +）广 + （Jx- +）,- + （'x- +）,- + （cos2 cr+cos2 /7 + cos2 / = 1 ； sin2 a +sin2 /? + sin2 / = 2.4 .向重 7 = （4,）'n，Za）与 B =（Z，Zb）垂直的判定：d 上b =d,b = 0&

6、lt;=>xaxb +xbyh+zazh =0.5 .向重7 = (%,北，z)与=(4,%,&)平行的判定:a/b axb=0<>a = kb.k()<> = = =6.三向重共面的判定：ka+mb+nc = 0 7力,£共面.-e7.向重 7 = （Xd，Za）在 5 =（4，券，Zb）上的投影：Pr j-b=-=二、平面1.过点P（Xo，）'o，Zo）,以亓= （A5C）为法向重的平面的点法式方程:A(x - /) + 8(y 凡)+ C(z Z。)= 0.2.以向量n = （A,及C）为法向重的平面的一般式方程：Ax+ By+Cz

7、 + D = O.Axy + By. + c& + D点M(M，乃，4)到平面Ax+8y+Cz + £) = 0的距庾c/ = 一：、，、Va2 + b2+c24.平面77 : Ax + dy + Gz + O =0与小：4工+纥丁 +。22 +。2 =。平行的判定:7ZJ/A =瓦讯。3=冬=邑0212.4 5 C)5 5.平面77 : 4% + 4丁+ Gz + D =0与 :A2x + B2y + C2z + D2 =。垂直的判定:口1 ±Z72 =万±n2 o 4A? + BB + CC2 = 0.平面27I : 4% + 用丁+ Gz + A =

8、0与 A2 : A2x + B2y + C2z, + D2 =。的夹角:c°se =4 生-cq|内+哥+C； M+8；+C；三、直线L过点P（Xo，），o，Z（）,以亍= （7,p）为方向向量的直线的点向式时称式、标准）方程:X-/ _)'一)'。_ z-Zox-x0= tm2.过点P（Xo，）m，Zo）,以S = 0,，p）为方向向量的直线的参数式方程：, y - y（）=f ，一 Zo=f3.直线的一般式方程：4.亘线方程之间的转化:i）点向式-参数式仆 + 外 +。R + £)| =0_ _ _c 八 c 方向向量为s = X2.Ax + By +

9、Cz + Dy =0ii) 一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量M =自r x - x. y - y. z-Zi ry - y9 z-z?5.直线L| := "二 =1与4：-=J=平行的判定:叫 P叫 «2 PiLJ/L、=吊I氐="=%=匹. m2 n2 p2r x-xx y - y. z-Z ry - vs Z-Z)直线4:-=-=1与乙： = - =垂直的判定:叫 勺 Pi - fn2 n2 p2± L, <=> ?)± ?2 <=> mxm2 +”% + P1P2 = 0r x - xx y - y. z

10、-Z r x-x y - y? z-z)7 .直线4:L = = 与乙：= 一二=M勺夹角: 叫 勺 P - 叫 n2 Pl|叫62+1”2+1必|yjm： + : + p： "刀7； + 川 + P；8 .直线L：=1 = 匕包=三二包与平面27：4工+8)，+。2 +。=。垂直的判定： I m nr , _ 二 k I "i fJLn => sun o =一.ABC9 .直线L:匚3 =二»与平面：4¥+8>，+。2 +。= 0平行的判定： I m nLUn <=> S ± <=> A/ + Bin +

11、Cn = 0.10 .直线L:二 = 二 =:二？与平面77:4工+8)，+。2 +。= 0的夹角： I m nAm+ Bn+ CjA sin 6?= ,t. 1. yjA1 +B1 +C2 yjm1 + n1 + p211点口与，)0,20)到直线,y+wk。的距离一A2x + B2y + C2Z + D2 =0PMxsT,其中M是直线上任意一点，s =n xn2.四、曲线、曲面i. yoz平面上的曲线C： /(y,z) = 0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S： y(±7x2 + /,z)=o.2.空间曲线C： <F(x, y, z) = 0“关于xoy平面上的投影柱面方程为

12、：”(x,y) = 0；G(x, 乂 z) = 0f（x,y） = O在工0，平面上的投影曲线为C： j二_0第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1 .内点一定在点更内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点;2 .聚点可以是点更的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点;3 .开集和闭集内的所有点都是安点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点liinf (x, y) = A.1 .二元函数/（X, y）在（/，0）点的二重极限:"双、JW/即加2 .二元函数/（X, ）9在（玉），打）点的连续性:3 .二元初等函数在其定义区域内连续.二、二元函数的

13、偏导钦的相关知识点，/、dz oz1 .函数z = /（x,y）对自变量的偏导数：丁及丁. dx dy2.函数z = /（x,y）对自变量的二阶幅导数:d2Zdx1d1Z 62> 表 dy1 dxdy dydx注：若二阶混合偏导数去与小连续，则二者相等.dxdy dydx三、二元函教的全微分：dz = dx + dy ox oy四、二元函数连续性、谒导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1 .函数连续性与隔导数存在性的关系：二者没有任何的道涵关系.2 .偏导数存在性与全微分存在性的美系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.（保导数不存在，全微分一定不存在）偏导数连续，全微分存在，反之未必

14、.3 .连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；（函数不迄续，全微分一定不存在）函数连续，全微分未必存在.五、二元亘合函数的偏（全）导故1 .中间变量为网个，自变重为一个的亘合函数的全导教：Z = /（/，）, =的）w =%,z = /（如）""）,dz dz du & dv=pdt du dt dv dt2 .中间变量为两个，自变量为两个的短台函数的漏导数:Z =叭X, y),v =叭X, y),z = f (叭X,y),(x, y),dzdz. ondz ovdz.& cudz dv=+, =+dxdu dxdv dxdydu dxdv

15、dx六、隐函数微分法i.由一个方程确定的隐函数微分法：E（苍乂z） = 0确定隐函数z = /（x,y）,dF dx dF dy dF dz.八直接对方程左右两端关于自变重求偏导数，即:一-+ - + = 0,即 dx dx dy dx & dxdF t dF n dF dz n dz, Fv 1 + 0 + - = 0,好得一=一一' dx dy dz dxdx F:尸(x,y,y) = 02.由方程组确定的隐函数组微分法：i.c确定隐函较u = it(x,y)v = v(x,y)直接对方程组左右两端关于自变重求偏导数，即IdF dx + dx dxdG dx + dx dx

16、dF dudu dxdG dudF ov 八 =0 讥，ox,即 dG dv 八 =0 ov dxG(x,y,j)=。dF dF du dF 3，八+= 0八 八& dx dv dx皿、.由加avdG dG du dG dv 八dv dx+= 0.dx du dx 3, dx七、偏导数的几何应用L曲线的切线方程和法平面方程x = 8（f）,1 ）.以参敌式方程，丁 =犷«），表示的曲线在，=，0对应的点M（Xo，）'o，Zo）的 < =7（0切线方程:X 一 凡 _ 一 九 _ z - Zo 夕。0）- （，0）/'。0）法平面方程：。（，0 ）（ X

17、玉）+ 犷（A）（ y - 先）+，Go）（ Z - Zo ）=。2).以一般式方程尸(x,y,z) = oG(x, y, z) = 0表示的曲线在点M （x。，九，Zo）的切线和法平面方程：I F（x, y, z） = 0y = f （x）dy dz先用方程组八确定的隐函较组微分法求出丁，丁，然后得到切线的方向向重G（Ky,z） = 0z = g（x）dx dx、喘上dzdxx - % y - % z - z()切线方程： = -2- = -1/(X。) g*0)法平面方程：X - X。+ / (x°)(y 一 儿)+ g (Xo)(z - Zo) = 02 .曲面的切平面方程和法

18、线方程1) .以一般式方程F(a Z)= 0表示的曲面在点M(X。，y(), Zo)的切平面和法线方程：切平面线方程：E； (M )(x -与)+4(M )(y 先)+ £' (M )(Z 之)=0法姓蒜二蒜二蒜 人"人.2) .以特殊式方程Z = /(乂丁)表示的曲面在点用(为)，凡，小)的切平面和法线方程: 令F(x, y, z) = fx, y) z = 0 ,有曲面在点M (x°,光,z°)的切平面的法向重M=(五;("),月(),£() = (f 岛,用)/(%, >'o)-O切平面线方程：f'

19、x(xo,yo)(x-xo) + f'y(xQyyo)(y-yo)-(z-Zo) = O法方程：上工=上上=人(工0，儿)AC'oO'o) -13) 方向导数与梯度：df v f(x + Ax. y +/v) - /(xy)1) .方向导数：=hm L- .dl A)p2) .方向导数存在条件：可微分函数z = /(x,y)在一点沿任意方向/的方向导轨都存在，并且=coscr + cos/7 ,其中cosa, cos/?是方向/的方向余弦. dl dx dy3) .梯度：函数/(x,y,z)在点(/，凡,2。)处的梯度/(/，为，20)=。(入0，%，20)； + &#

20、163;(%，20)/ + 4(与，%，%)%()4) .方向导数与梯度的关系：减小景快的方向是 .函数/(x,y,z)在点M(Xo，)，0,Zo)处增加最快的方向是其梯度的方向，一身/(天),儿,4)的方向 .函数/(A-,)，,Z)在点M(毛，为，4)沿任意方向的方向导数的悬大值为凡，福，八、板值、条件极值1 .函数z = /(x,y)的极值点和驻点的关系：函数z = /(x,y)的极值在其狂点或不可偏导点取潺.2 .求函数板直的步骤:.对函数z = /（x,y）求偏导数，解方程组/。,），）=0“、八，得所有驻点（七，£）. 。（2）= 02 2）.对每一个驻点（再，H,求出二

21、阶偏导数的值A = /；（七，y ）,3 = /；（七，y ）,c = £；（七，y.）.计算8。- AC,根据82 AC以及A的符号判定/（七，上）是否是极值:若8? AC v 0, A > 0 ,则/（看，势）是极小值;B2-AC<0M<0,则/(xr，y)是极大值;若8? AC>0,则/（七，/）不是极小值;苦824。=0,则/（七，%）是否是极值不能判定，需其他方法验证.3 .求函数z = / J, y）在附加条件。（xy）=。下的条件极直的方法:做拉后即日函数尸（x,y） =/（x,y） +九双尤丁），对自变量求谒导，建立方程组IF； (x, 丁)=

22、 f'x (x, >') + 即(居 >,)=0五；(乂 y) = fy (x, y) + 沏；(x, y) = 0尸;(% >,) =于卜,y) + A'(x, y) = 0与附加条件航立的方程组 Fjx, y) = f；(x, y) + 电(x, y) = 0 ,解出的x, y就是函数2 = f(x, y)的可能极值点. 叭x, y) = o第十章：重积分一、二重积分的相关性质I .有界闭区域上的连续函数/（x, y）在该区域。上二重快分J£ J（"）4b存在；2若函敏/（x, y）在有界闭区域。上二重快分存在j£/（

23、x, y）da,则f（x, y）在该区域上有界;3 .中直性：若函数/（x,y）在有界闭区域。上连续，区域。的面积为则在。上至少存在一点信力），使得J£j（x，、）4b = /«），）。4 . U"b = b,区域。的面积为二、二重积分的计算1利用平面亘用坐标计算二重积分1） .先对y后对尤积分，由于积分区域。：a vxvb; 8（x）vy <。2（工），有2） .先对x后对y积分，由于积分区域。：cvy v ； %(y)vxvg(y),有JJ心篮:f(x, y)dx.3).积分换序:t dxC f5 ydy =! f5W"(办£； /*

24、，y)" 2 ,利用板坐标计算二重积分x = pcosO令 .八，由于积分区域。：a v6v/7； Pi(e)vxva(d),有 y = psin0y口喘f(pcos0,psinO)ptlp.三、三重积分的相关性质：jjjdv = v,区域。的体积为v. n四、三重积分的计算1利用豆用坐标计算三重积分积分区域 V ： a<x<b, y(x) < y < y2(x) ； z,(x,y) < z < z2(x,y), WJJIf xdv=f' "C： 4'C；/a 乂 z)dz第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算1 .

25、第一型曲线积分的计算:x = 0(7), 若曲线C的参数方程是：。<乙，则第一型曲线积分、/(x, y)ds =L”)k.2。) + 犷2。)力2 .第二型曲线积分的计算：若曲线C的参数方程是：x =(p(t),t0<t<tl ,分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分)'=%)， j 尸(x, y)dx+Q(x, y)dy = £ 尸(例/),(/)夕(t) + Q(叭t)w(t)y/ 3dt3 .格林公式(联系曲线积分和二重根分) 设有界闭区域n由分段光滑曲线c所围成，c取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在/>上具有一阶连续偏导数，则有格林公式

26、注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线0所围成，则区域Q的面积为cr = jj dxdy = 1_ ydx + xdy. 八2 '2.函数尸(x,y),Q(x,y)在区域八上连续.二、曲面积分的计算1 .第一型曲面积分的计算: 若曲面S的方程是：z = z(x,y)具有连续偏导数，且在工。)，平面上的投影区域为。<v,函数/(x,y,z)在S上连续，则第一型曲面积分工 /(x，y，ZdS = J” flz, y,z(z, y)ljl + z： +z；dxdy2 .第二型曲面积分的计算： 若正向曲面S的方程是：z = z*,y),且在

27、my平面上的投影区域为D”，函数Rx,y,z)在S上连续，则第二型曲面积分f. R(x, y,z)dxdy = J Rx, y, z(x, yWxdy , JSJ。”同理可得P(k z)dydz. = f Rx(y, z), y, z)dydz.； JSJ。).£ Q(x, y, z)dz.dx = £ Qx, y(z,x),3 .高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)在空间有界闭区域。及其光滑边界曲面s上具巧连续偏导锐，则有高斯公式：目、Pdydz, + Qdzjclx+ Rdxdy= JJJ空+金史dx dy &)dxdydz1注：设空间有界闭区域a由光滑封闭曲面s所围成，则区域保勺体积为V =；技,必,以 + yd