线性代数期末考试试卷+答案合集

1、线性代数期末考试试卷+答案合集、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）19 / 161x 01.若2,则 X1X2X30X1X2X302 .若齐次线性方程组只有零解，则应满足3 .已知矩阵A' B' C （cj）sn,满足AC CB,则A与B分别是阶矩阵。a11a12a21a224 .矩阵 a31 a32的行向量组线性。215 . n阶方阵A满足A 3A E 0,则A1 。、判断正误（正确的在括号内填，错误的在括号内填“x”。每小题2分，共10分）1 .若行列式D中每个元素都大于零，则 D 0。（）2 .零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量

2、组a1，a2， ，am中，如果为与垢对应的分量成比例，则向量组 a1, （）0 10 0a2， , as线性相关。10 0 0 A0 0 0 14.5.若0 0 1 0 ,则 A1 A。（）为可逆矩阵 A的特征值，则 A 1的特征值为三、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题1 .设A为n阶矩阵，且A 2,则1AA（）。2n 2n12n 142分，共10分）2. n维向量组 1，2， s （3 s n ）线性无关的充要条件是（1,2，,s中任意两个向量都线性无关1，2， ,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示1，2， s中任一个向量都不能用其余向量线性表示3.

3、1,2，,下列命题中正确的是s中不含零向量（）。任意n个n 1维向量线性相关4.5.任意n个n 1维向量线性无关任意n 1个n维向量线性相关任意n 1个n维向量线性无关设A,若 可逆四、计算题1,B均为n阶方阵，下面结论正确的是 （）A,2,解向量1.计算行列式 解.B均可逆，则A B可逆B可逆，则 A B可逆每小题若A,若A B可逆,B均可逆，则则 A,B均可(xc d)2.设 AB A2B解.(A2E)B3.设100011 00，4是线性方程组A基础解系9分，共63分）0的基础解系，则通解4是AA的行向量011 0(xd)(xd)x3(A001 ,12E)B (A2E)1A20001200

4、312 04312且矩阵满足关系式X（CB)E,12 12 aX2X3X2X3X2X3有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解4 .问a取何值时，下列向量组线性相关?x1x15 .为何值时，线性方程组x1时求其通解。当 1且 2时，方程组有唯一解;当2时方程组无解0C1 1 a。当1时，有无穷多组解，通解为1213490101，,2,3- ,411376.设0317量用该极大无关组线性表示。求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向7.设 0 2 1 ，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题（7分）若A是n阶方阵，且AA I,A1，证明A 1°。其中I为单位矩阵。XXX大学线

5、性代数期末考试题答案一、填空题1. 52.13. s s ，n n4.相关5. A 3E二、判断正误1. X2. V3. V4. V5. X三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x aba x bababcc dx c dc x db c x a b c x a b c x a b c2.(x a b11 c d)11b cdx b cdb x c db c x d0x0 (x a b c d)0 0 x(x a b c d)x311521B (A 2E) 1A 4(A 2E)B A2(A 2E)1213.12 3 40 12 30 0 12B)10 0 02 10 03 2 104

6、 3 2 14.a1, a2, a3100021001210012 1a121211221 a21 a212-(2a 1)2(2a 2) 8a当2或a 1时，向量组a1，a2，a3线性相关。5.当 1且2时，方程组有唯一解;当2时方程组无解当 1时，有无穷多组解，通 6.1249(a1, a2, a3, a4)11031 0 020 10 20 0 110 0 0 0则 r a1, a2, a3, a437.100E A 010021特征彳t 123 1,对于五、证明题AIA AA AI A.2 I A 0一 ? ,0C1 1C2J00131210100143703417031书中a1, a2

7、,a3构成极大无关组,(1)300001E A 000一02 01=1,I A I AI A 0013121320 142100 0161670 0131310k 0 l 001,特征向量为01一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求)1、设A, B为n阶方阵，满足等式AB 0,则必有()(A) A B 0; (B) A B 0;(C) A 0或 B 0; (D) A B 0。2222、A和B均为n阶矩阵，且(A B) A 2AB B ,则必有()(A) A E；(B) B E；(C) A B. (D) AB BA。3、设A为m n矩阵，

8、齐次方程组Ax 0仅有零解的充要条件是()(A) A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()(A) A的秩小于n ;(B)A 0 ;(C) A的特征值都等于零；(D) A的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式A26、A为n n阶矩阵，且A A121xi2 3a 2 X25, A是A的伴随矩阵，则2E 0,则(A 2E) 1 4无解，则a8、二次型是f (X1,X2,X3)2x2c 2 x 23X2 tx3 2X1X2 2X1X3是正定的，则t

9、的取值范围三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)D9、计算行列式1 X 11111x11111 y 11111 y7、已知方程组1a 2x3xnxnMxn310、计算n阶行列式X1 3% Lx1X2 3 LDn MMx1x2L四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)11、若向量组1, 2, 3线性相关，向量组 2, 3, 4线性无关。证明：(1) 1能有2, 3线性表出；(2) 4不能由1, 2, 3线性表出12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A E可逆，且f(A) (E A)(E A)证明(1) (E f (A)(E A) 2E .(2) f(f(A)

10、 A。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）A13、设1 .,求一个正交矩阵P使得P AP为对角矩阵。X1X2 X314、已知方程组 求a的值。x1 2x2x1 4x2ax32a x3000与方程组x1 2x2 x3 a 1有公共解15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2 13 21423354求该方程组的通解。3,已知1,2,3是它的三个解向量，且解答和评分标准一、选择题1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空题5、-125;6、2 ；7、-1 ；8三、计算题5。9、解：第一行减第二行,x x 0011x11D00 y y111 1 y

11、第三行减第四行得:x 0001x10D00 y 0第二列减第一列，第四列减第三列得：101y按第一行展开得（4分）按第三列展开得x 0D xy1 y（4分）10、解：把各列加到第一列, 为上三角形行列式然后提取第一列的公因子inxi13,再通过行列式的变换化Dnxi1x2Lxn1x2 3LxnMMM1x2Lx3（4分）3n 1xi i 1四、证明题11、证明:、又r（ 1因为（2）、 不妨设10 M0X23M0xn0 M32 ，3）（4分）3,3线性无关，所以线性相关，故31能由22，3线性无关。3线性表出。（4分）（反正法）若不，则4k1 1 k2卜34能由13o2, 3线性表出,由（1）知

12、,不妨设所以4这表明121能由t1 2t2k1（t1 2 t23。3 ），3线性表出,k2 2k3 32，3, 4线性相关，矛盾。、证明(1) (E f(A)(E一一1 一A) E (E A)(E A) (E A)(E A) (E一1 一一一A)(E A) (E A) (E A) (EA)2E(4分)(2) f(f(A) E1f(A)E f(A)， /口 E由（1）得：,11f(A)/ A)代入上式得f(f(A) E(E1 1 A)(E A) 2(E1A) 2(EA)(EA)(E1 1A) * A)2(EA)12(E A) A(4分)五、解答题13、解：(1)0得A的特征值为0(4分)(2)1

13、的特征向量为2的特征向量为5的特征向量为(3)因为特征值不相等,1,3正交0P1P2(4)将1, 2, 3单位化得P1, P2, P3(5)121-21121-2（3分）（2分）P3(2分)1 0 01一P1AP 020(1分)即任何一个非零解都是它的(6)00514、解：该非齐次线性方程组 A b对应的齐次方程组为Ax 0因R(A) 3 ,则齐次线性方程组的基础解系有 1个非零解构成,基础解系。(5分)另一方面，记向量2 1 ( 2 3),则A A(2 1 23) 2A 1A 2 A 32bb b 0直接计算得(3,4,5,6)T 0,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原

14、方程组的通解为3 24 3x k 1k5 46 5 , k R。(7 分)x3ax32a x3x30,0,0,a 1.15、解：将与联立得非齐次线性方程组：x1 2x2x1 4x2x1 2x2若此非齐次线Tt方程组有解，则与有公共解且的解即为所求全部公共解对的增广矩阵A作初等行变换得：1 110 1a 10 0 (a 2)(a 1)0 01 a1 110-12a0A21 4 a01 21 a 1000a 1（4分）即与有公共解，其全部公共解即1。当a 1时，有r(A) r(A) 2 3,方程组有解， 为的通解，此时10 100 10 0A0 0 0 00 0 0 0则方程组为齐次线性方程组,其

15、基础解系为所以与的全部公共解为1 , k为任意常数.(4分)2时,有r(A) 1 0-0 1A0 00 001r(A) 3,方程组有唯一解,此时000111000x 1故方程组的解为：1 ,即与有唯一公共解1 .（4分）线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。aiia12a13 a11aiia12 a131.设行列式A. m+nC. n- ma2ia22二ma23 a21=n,则行列式a2ia22 a 23B. - (m+n)D. m-2.

16、设矩阵130则A-1等于（）A.0 B.120C.D.24 /163.设矩阵A. -6C. 24 , A*是A的伴随矩阵，则A中位于（1,2）的元素是（B. 6D. t24.设A是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有（A. A =0C. A 0 时 B=C5.已知3X 4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A. 1D. |A|B. 2C. 3D. 46.设两个向量组 a 1, a 2,，as和31，3 2,3 s均线性相关，则（B. B C 时 A=00 时 B=CA.有不全为0的数入1, B.有不全为0的数入1, C.有不全为0的数入1, D.有不全为0的数入1,入2,，入s

17、使入1a1+入2a2+A.sa s=0和入1 3 1+入2 3 2+入s 3 s=0入 2,，入s 使入 1 ( a 1+3 1) + 入 2 (a2+32)+Xs(as+3s)=0入 2,，入s 使入 1 (“1- 31) +入 2 (a2- 3 2)+ +A.s(as-s)=0入2,，入s和不全为0的数1 1 ,(12,，(is使入10C1+入20C2+入sa s=0和J-L 1 3 1+ 2 3 2+-" + s 3 s=07 .设矩阵A的秩为r,则A中（A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组,）B.所有r- 1阶子式全

18、为0D.所有r阶子式都不为0刀1,刀2是其任意2个解，则下列结论错误的是（11A.刀1+打2是Ax=0的一个解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）B. 2刀1+2 v 2是Ax=b的一个解D.2 Y 1- Y 2是 Ax=b 的一个解A.秩（A）nB.秩（A）=n- 1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量 a使Aa = X a ,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入

19、1,入2, 量，贝U a 1.11.设入0是矩阵A. k<3入3是A的3个互不相同的特征值，a 2, a 3有可能线性相关A的特征方程的3重根，A的属于入a 1, a 2, a 3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()B. k<3C. k=3D. k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是()A.|A|2 必为 1B.|A|必为 1C.A-1=ATD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTACU ()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下

20、列矩阵中是正定矩阵的为()2A. 310C. 011D. 13 4B. 2 6102第二部分二、填空题非选择题(共72分)(本大题共 10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1113569 25 3615.11 112 316 .设 A= 1 11 , B= 12 4 .则 A+2B=.17 .设A=(aij)33 A|=2, Aj表示|A|中元素aj的代数余子式(i,j=1,2,3)，则 (a11A21+a12A 22+a13A23)2+(a21A 21+a22A22+a23A23)2+(a31A 21+a32A22+a33A23)2=

21、.18 .设向量(2,-3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，则a=.19 .设A是3X 4矩阵，其秩为3,若刀1, Y 2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mxn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为21 .设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a + 3与a - 3的内积("+ 3 , a - 3 )=.22 .设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .01062133123.设矩阵A= 2 10 8 ,已知a =2是它的一个特征向量，则 a所对应的特征

22、值为3,则其规范形为24 .设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)25 .设 A= 1 2 1 , B= 2 4 0 .求(1) ABT； (2) |4A|.,127.设矩阵A=2 3求矩阵B使其满足矩阵方程AB =A+2B.21301301022428.给定向量组a3 1=a 2=41,(X 3=, (X 4 =9.试判断a 4是否为a 12 2 ,a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。121022 42662102329.设矩阵A= 33334.412 31 0求：（1）秩（A）;（2） A的列向量组的一个最大

23、线性无关组。26.试计算行列式311 25 134201115 3302 223 430 .设矩阵A= 243的全部特征值为1, 1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31 .试用配方法化下列二次型为标准形 222f（X1,X2,X3）=X12x2 3x3 4X1X2 4i3 4x2x3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E-A） -1=E+A+A2.33 .设刀0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，卫1, E 2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）刀1=刀0+卫1,刀

24、2二刀0+卫2均是Ax=b的解；（2） Y 0, Y 1 , Y） 2 线性无关。15. 6 16.13 717.420. n- r 21. 5 22. 2 23. 1三、计算题(本大题共 7小题,1 21-Z氏 4 1 2万刀24Z +1 23 XZ 9 22 1 Z1刀-2答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）33 712022863403418101211031025.解(1) ABT=(2) 14A |=43|A|=64|

25、A|,而26.解|A|=1110所以 14A |二64(-2) =- 12827.解 AB=A+2B 即(A- 2E)28.解一,1(A- 2E) -1=1所以11J301040.B=A,1213005321035103513011301011201120224011200880011341901311200141400001641232129B=(A- 2E)- 1A =120100解二考虑4 4=X1a所以什 a 2+ a3,组合系数为2,1,1).1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2X1 3x2 2X2 2X3 3x1 4x23X3 014X3 9.方程组有唯一解2,1,1)组合系数为2,1,1).29.解对矩阵A施行初等行变换A(1)(2)621=B.秩(B)=3 ，所以秩(A)=秩(B)=3.由于A与B的列向量组有相同的线性关系,B是阶梯形,的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无