§3标架和标架场

1、作者：王幼宁第一章预备知识炒标架和标架场了解空间中的几何对象（包括空间自身）的几何性质以及与其他几何 对象之间的关系 是几何学和相关自然科学学科乃至相关社会科学学科所共 同关心的一类 目标.为了达到这种目标，往往需要选择适当的方法、语言 和工具.对于 E3中的几何对象和几何问题，较为一般化的处理方法之一是 利用适当的代数或分析语言（比如向量代数和向量分析）加以 描述并根据几何直观的启示进行进一步的严格讨论；这是几何解析化思想的延续.下 面所介绍的标架的语言及其与几何对象或物理学对象密不可分的一般联 系，不仅适用于本课程或物理学相应分支之中所讨论的对象，而且可以在更为抽象的场合作为直观的背景.一

2、.E3中的单位正交右手标架及其变换如第一节中所述，在 E3中Descartes直角坐标系O-xyz下，点A（x, y, z） 的位置向量关于 E3的单位正交右手基i , j , k（也就是坐标轴的单位正向 向量）的分量就是三元有序实数组（x, y, z）.在这个意义下，欧氏空间E3中的点与向量空间R3中的向量是一一对应的.换个角度去看，若给定E3中Descartes直角坐标系 O-xyz ,则确定了 E3的一个所谓原点O以及一组 单位正交右手基向量i ,j , k.反之，若给定E3的一个点P以及一组单位正交右手基向量 e1 , e2 , e3, 则以P为原点、以 e1 , e2 , e3为坐标

3、轴的单位正向向量组 确定了 E3的一 个右手直角坐标系，记之为 P; e1，e2 , e3,称之为E3的一个单位正交 右手标架，并在不容易引起混淆的情况下简称之为E3的一个正交标架.E3中允许存在不同的Descartes直角坐标系，这种不同的坐标系之间存在相互的转换，其中坐标变换 可以由原点和基向量组之间的变换所确定.需要注意的一个基本事实是：几何属性（或相关的物理属性以及其他学科中的客观属性）可以利用坐标系进行描述，但不依赖于坐标系的选取，其在不同的坐标系之下的表达形式之间应该具有坐标变换所能够确定的联系.用正交标架的变换 可以简明地表示出 E3中这种坐标变换.设E3的一个单位正交右手标架

4、P; e1 , e2 , e3在 O; i , j , k之下确rOPbiib2jb3k ;eiaiiiai2jai3k ；(3.i)*e2a2iia22ja23k ；蝙a3iia32ja33k .则(3.2)3aik ajk k = iei?eiij0, ij, j,aii ai2 ai3(3.3)a21 a22 a23(ei , 日 , e3)(ei e2)?e31 .a3i a32 a33 按矩阵写法，视向量为三维行向量，记aii ai2 ai3(3.4)a2i a22 a23 , b (bi , b2 , b3), a3i a32 a33图i-6则 iOP b j , k (3.5)

5、e eiie2 A j ,e3kAAT I3 , A i ;其中b是点P在 O; i , j , k之下的坐标，A是基变换矩阵，I3是3阶单位矩阵.上面算得 A是行列式为 i的3阶(实)正交矩阵，通常记为 A SO(3).反之，对给定的点b E3和A SO(3),上式确定了新的单位正交右手标架P; ei , e2 , e3在O; i ,j , k之下的表示.用群论的语言来说，E3中的单位正交右手标架的基变换 全体构成群SO(3),从而E3中的单位正交右手标架全体可以视为 6维空间 E3 SO(3) = (b, A) b E3, A SO(3);该空间之上的 群的行为 可以影响到 几何属性的描述

6、和刻画，这是一种在更高层次上的“数”与“形”的结合，将留待后续课程之中进行一般化的讨论.读者可以通过本课程之中一些具体的操作来不断深入体会这种结合的价值和前景正交标架变换确定了 点的坐标变换.设点Q在 O； i , j , k之下的坐 标为(x, y, z),在变换后的标架 P; ei , e2 , e3之下的坐标为(x*, y*, z*), 即i (3.6) OQ xi yj zk (x, y, z) j , keii(3.(7) PQ (x*, y*, z*) e2(x*, y*, z*) A j ,e3k则由OQ OP PQ即得(3.(8) (x, y, z) b (x*, y*, z*

7、) A,(3.(9) (x*, y*, z*)(x, y, z) AT bAT .借用物理学的语言来说，当欧氏空间中的观测者处于不同的观测点时，采用直角坐标系对同一个静止物体的位置进行观测，则所观测出的数据之间的转换规律 就是上述坐标变换公式；而 观测点之间的差异 就体现在 正交标架变换规律 之中.进一步，观测到的客观位置必须要用观测数据和取得这些数据的观测点来共同表示.反之，从相对运动的角度去观察，在不同的观测点观测同一个静止物体的位置，等价于在同一个静止物体的位 置上观测不同的观测点.对于运动着的物理对象或运动着的观测点抑或不 同的观测方式，类似的观察都可以进行，只是其中的规律将复杂一些.

8、二.E3中的刚体运动与等距变换刚体运动的概念来源于物理学.当某个物体在空间E3之中运动时，如果除了整体位移 之外没有 形状和大小 等等自身几何t'、/性质的变化，则这个物体的这种运动被称r为刚体运动，这个物体在作这种运动时被乙称为刚体.刚体之上各点的 相对位置是固图1-7定的；因而，当某一时刻刚体上面 不共线的三点的位置 能够确定时(参见 图1-6和图1-7),刚体上的其他点的位置 就可以通过 与这三个点的相对位置 而确定.若在刚体上面安装一个 相对于自身固定 的单位正交右手标架，则伴随 着刚体的运动形成该标架的运动，并且该标架在不同时刻的位置差异可以 表示为正交标架变换.将空间E3中

9、的每一个点都视为刚体上的一点，则伴 随着刚体的运动便会形成E3到其自身的一系列 点变换.设上述标架在某两个时刻分别为O; i , j , k和 P; e1 , e2 , e3,并且以式确定标架变 换；记相应的E3到其自身的点变换为，即:E3E3xi yj zkxei yes.ze3 .设点Q在O; i , j , k之下的坐标为(x, y, z)，则Q在标架 P; e1 , es , e3 之下的坐标以 (3.9)式确定为(x*, y*, z*);令OQ* x*i y*j z*k ,则在 变换下有(3.(10) P (Q*) x*ei y*e2 z*e3 PQ ,(3.(11) (Q*) Q

10、.这就解析证明了刚体运动与正交标架变换在相对意义下可以等同对待.空间E3到其自身的点变换如果保持E3中的任意两点之间的距离不变，即对 P,Q E3有PQ (P) (Q),则称之为E3的等距变换.刚体 运动所确定的点变换都是等距变换.另一方面，从勾股定理易见，保持原点不动的等距变换是线性变换，并且将单位正交标架变换为另一个单位正(3.1)-(3.11)各式可证，等,其中对应的标架的基变刚体运动可以确定为平交标架(但不一定是右手标架).因而，类似于 距变换可以确定为刚体运动、反射或它们的复合 换矩阵是正交矩阵(行列式符号不限).此外, 移、旋转或它们的复合.前面已经提到，要 利用适当的代数或分析语

11、言描述E3中的几何对象和几何问题.如果 E3中的一个对象的某些 属性或者用以界定其行为的某些数 量在坐标变换下不变，或等价地视为在这个对象作刚体运动时保持不变， 则这些属性或数量就被称为这个对象在E3中的几何不变性 或几何不变量；同时这个对象就成为 E3中的几何对象，相关的问题就成为 E3中的几何问 题.在经典微分几何所讨论的主要对象之中，最重要的就是 E3中的曲线和 曲面.本课程的基本内容之一，是要确定E3中的曲线和曲面的局部几何不变量系统，这也是其它基本内容的 基础.如果E3中的两个几何对象之间相差而且仅仅相差一个刚体运动，则称 这两个几何对象是 合同的.换个角度来看，合同的两个几何对象可

12、以看成同一个几何对象作刚体运动时在某两个时刻的相应表示E3中的正交标架场的运动公式当刚体的运动被表示为其上相对于自身固定的单位正交右手标架的相应运动之时，这一族正交标架分布在刚体运动的轨迹上，从而形成一个正交标架场.设刚体的运动方式关于其参数(比如时间t)是连续可微的，即其对应的正交标架场P; e1 , es , e3 的每个要素 当表示在E3中的固定.的正 交标架.O; i , j ,*.之下时关于其参数都是连续可微的，则 P; e1 , e2 , e3 具有作微小位移时的变换公式，亦即 可以表达为运动公式，沿 P; ei , e2 , e3 的分解(3.12)1d (OP )iei2e23

13、e3ei0i2i3eide2i2023e2.e3i3230e3其中各个分量都是关于参数的一次微分式.有理由相信，运动公式可以完全刻画出刚体的行为；其 理论依据 需要在微分方程理论中寻找.四.E3中的仿射标架一般地，选取E3中的坐标系时 不应该仅仅限于直角坐标系，因为有时使用较为一般的坐标系会更合适.如同确定正交标架与刚体运动的关系一样，完全可以确定所谓 仿射标架与刚体运动的关系.若给定E3的一个点P 以及一组基向量ei, e2 ,e3,则以P为原点、以ei,e2 ,e3为坐标轴的正向向量组确定了E3的一个仿射坐标系，记之为 P; ei , e2 , e3,称之为E3的一个仿射标架.混合积(ei

14、 , e2 , e3)的符号确定了该仿射标架的定向.基向量之间的内积(3. i3)ei?ej gj , i, j i, 2, 3确定了在该仿射坐标系下的向量分量形式之下的内积运算，即对任何a (ai ,a2 ,a3 )aieia2e2a3e3, b (bi , b2, b3)bieib2e2b3e3,总有bi(3. i4) a?b (ai , a2, a3)(gj)3 3 b2a (gij)3 3 bT .b3称(gj)3 3为该仿射标架的 度量系数矩阵.空间e3的等距变换不改变仿射 标架的度量系数矩阵，刚体运动不改变仿射标架的定向.仿射标架之间的基变换矩阵是三阶非奇异方阵，仿射标架全体可以视为i2维空间 E3 GL(3),其中GL(3)是三阶一般线性群.习题d ei1 .设 P； ei , e2 , e3是E3的连续可微依赖于参数 t的单位正交标架场.试证： / e2 e3关于ei , e , e3的分解系数矩阵是由t的函数构成的反对称矩阵.2 .设 P； ei , e2 , e3是E3的连续可微依赖于参数 (u, v)的单位正交标架场.试讨论其 运动公式的分解形式的具体表达式