高三数学精品复习26数学归纳法

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2014届高三数学精品复习之数学归纳法、极限1 .数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数 2开始的所有正自然数 n都成立”的问题。2 .能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出 纳法的最关键的一步。、111举例1已知f(n) n 1 n 2 n 3,1,A. f(n) +, B . f(n)2(n 1)f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归1,则 f(n 1)=2n2n 1 2(n 1),1C. f (n)-2(n 1)f (n) +2n 112(n 1)f (n 1)是从n+2开始的n+1个连

2、解析：f(n)是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故 续自然数的倒数和，即f (n 1)=n 2112n12n 1n 3 q = f(n) + 2(n 1) 2n 1 2(n 1)一 11 一.=f (n) + 1故选 D。2n 1 2(n 1)举例2用数学归纳法证明"5 n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设, 应将5k+1 2k+1变形为.解析假设n=k时命题成立.即:5k2k被3整除.当n=k+1时，5k+1 2 k+1=5X5k 2X2 k=5(5k2k) +5X2k-2X2k=5(5k-2k) +3X2k 111,一一.巩固1用数学归纳法证明 1H

3、1F+ <n (n>1)时，由n= k (k>1)不等式成2321立，推证n=k+1时，左边应增加的代数式的个数是 。A. 2 k 1 B. 2 k -1 C. 2 k D. 2 k +1 巩固2用数学归纳法证明命题：(n+1) x(n+2) x x (n + n)=2nx 1 x 3X x (2n 1)3 .数学归纳法公理：如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件(1) p(n 。)成立，即当 n=no时，命题成立，(2) 假设p(k)成立，则p(k+1)也成立；根据 (2)知命题p(n)对n>nc 的所有自然数 n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个

4、递推的过程，(1)是递推的基础，(2)是递推的条件；二者缺一不可。4 .数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题p(k+1)成立(已知p(k)成立，求证p(k+1)成立)是数学归纳法证明中 最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。举例1已知m为正整数，用数学归纳法证明：当 x 1时，(1 x)m > 1 mx；解析：视(1 x)m > 1 mx为关于m的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明:(i)当m 1时，原不等式成立；当 m 2时，左边 1 2x x2,右边 1 2x,2因为

5、x >0,所以左边 2 右边，原不等式成立；(ii)假设当m k时，不等式成立，即(1 x)k > 1 kx,则当m k 1时，x 1,，1 x 0,于是在不等式(1 x)k >1 kx两边同乘以1 x得(1 x)k-(1 x)> (1 kx)(1 x) 1 (k 1)x kx2 > 1 (k 1)x,所以(1 x)k 1 > 1 (k 1)x .即当m k 1时，不等式也成立.综合(i)(五)知，对一切正整数 m ,不等式都成立.举例2设正整数数列an满足：a2*.4 ,且对于任何n N ,有1an 1anan 111n n 1(1)求 a1 ,a3； (

6、2)求数列an的通项an .an1an(07高考江西理22)111解析：(1)据条件得2 n(n 1) an 1an an 1/11111221当 n1时，由 2'2,，2，即有 2 2,a2a1 a2a14 a1 4a12 8解得一a1 一.因为a1为正整数，故a1 1 .3 710,所以 a3 9 .,111当n 2时，由2 6 a34 a3(2)由 a1 1 , a2 4 , a3 9 ,猜想：an n2 .下面用数学归纳法证明.10当n 1 , 2时，由(1)知an n2均成立；20假设n k(k >2)成立，则ak22111c 1k2(k 1) k(k2 k 1)由得2

7、 k(k 1) 2ak 1ak 1k2 ak 1 k2 k2 k 1k 1因为 k2时，(k2 1) (k 1)2 k(k 1)(k 2) n 0 ,所以(k2 .0,1 .k 1122k 11,所以 0,1 .又 a- N，所以(k 1)2< ak 1 < (k 1)2.k 1故 ak 1 (k 1)2,即 n k 1 时，an n2成立.由 1 o, 2o知，对任意 n N* , % n2 .巩固1已知数列8 232 528_2_2 ，(2n 1) (2n 1);Sn为其前n项和，求S1、,S2、S3、S4,推测Sn,并用数学归纳法证明。巩固2已知各项均为正数的数列an的前n项

8、和Sn满足Si 1，且6Sn(an 1)(an 2),n N .( i)求an的通项公式；(n)设数列 bn满足an(24 1) 1,并记Tn为bn的前n项和，求证:3Tn 1 log2(an 3), n N (07 高考重庆理 21)5.若 f(c)存在，则 lim f(x)=f(c),若 f(c)= g(c) =0,则 lim 也)一般“约分”(约去含X cX c g(x)X c的因式)后再求极限。若lim f (x) =A、X clim g(x)=B,则 lim f(x) ± g(x)= A ± B,x cx c一f (x) Alim f (x) g(x)=AB, l

9、im '= 一 (B w。).x cx c g(x) b举例|而,2x 1(07高考陕西理13)x 1 x2 x 2 x 1解析:2x 11 _ x 1_ 1x2x 2 x 1 (x 2)(x 1) x 22x 1Tim -2x 1 x x 2limx 1巩固1下列四个命题中，不正削.的是(.)A.若函数f (x)在x x0处连续，则lim f (x) lim f (x)xx。x x一x 2 一B.函数f(x) 3一 的不连续点是x 2和x x2 4C 若函数 f(x), g(x)满足!mf(x) g(x)0,则 lim f(x)lim g(x)x-x 1D. limx-1 x 1（0

10、7高考湖南理7）巩固 2 lim( x 24 x2x) _6.若 | q |<1,则 lim q nn n .=0； q=1,贝U lim q =1 ；n若 q >1 或 q w -1,则 lim q n不存在。lim cn=c（ c为常数）；“9 ”型的式子极限为0;型，一般分子、分母“同除以" 一个式子0（包括“约型、”型的极限不存在;c分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若lim an =A、 nlim bn =B,则 nlim (nan ± bn 尸 A 土 B,lim(nan bn尸AB, lim n包=A (B bnBW。

11、).举例1若 limn1,则常数解析:分母有理化举例2已知p和q是两个不相等的正整数，且1q > 2 ,则 lim n-11q 1A. 0B.C.解析:=limn1 p -n1 q -n（07高考湖北理5）C2 -1cP 2nC2 -1Cq 2n巩固1把1 (1 x)limn-2an 1等于an 1B.(1limn1 qC pCP1npCq -1Cq nqx)2 L= limn(1Cp1-2 n 彳n1CP， 1Cp p 1nc q _1Cq -qnC21nC31nC21 C3 q Cq Cq 2 n nCp_P np 1Cq， q nq 1x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an

12、 ,则C. 1D. 2巩固2.J ”4 八等于”() n 2n(qn+1-S1-1)A. 1 B. 1 C. 1D.024迁移设正数a, b满足lim（ x2ax b)n 1 n 1a abn 1 na 2bA. 0 B. 1 C. 1 42D. 1（07高考重庆理8）7.无穷数列an的前n项和为8, lim Sn称为数列 an的无穷多项和或所有项和。 n求 lim Snn时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求Sn,再求极限。若 an为等比数列，公比为 q 且|q|<1 ,则 lim Sn =- n 1a1q1举例1右数列an满足：a1 -,且对任意正整数 m,n都有amn3am

13、an，贝Ulim (a1a2nan)（07高考湖南理2）时，这些三角形的面积B.2 C . - D . 2321解析：数列an满足：a1-,且对任意正整数m, n都有am n31 一1,、，1an 1 an a1 an ,.数列an是首项工为一，公比为一333的等比数列。lim （a1 a2an） 一史-,选n1 q 2A.巩固2如图，抛物线 y x2 1与x轴的正半轴交于点A ,将线段OA的n等分点从左至右依次记为凡P2,L , Pm,过这些分点分别作 x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1, Q2, L , Qn 1 ,从而得到n 1 个直角三角形 QQPI, Q2P1P2,L , Qn 1

14、Pn 2Pn 1.当 n之和的极限为.解析. P(0) P(0) P(10) , Q (1 1()2) Q(1(2)2)加中 1小 P1 (), P2( ，0), Pn 1(,0)，Q1 ( , 1 ( ) ), Q2( , 1 ( ) ) ,nnnn nn nn 1 n121 11 2Qn 1(,1 ()，记 QnPmPn 的面积为 Sn,则 S1 =1 (一) , S2=n n2 n n112211 n 1.2.工一1() , ", S1-1 = 1 () ；lim (S1 S2Sn 1) =2 n n2 n n n1 lim (n n 2n1)12 22 (n 1)2 _ 12 = n2limn(n 1)(n 2)(2n 3) = 112n321 _16一3(5n等54()(6n 5n)答案2、 巩固 1C; 4、 巩固 1 S.n2(2n 1)2 12 , 巩固 2 an 3n(