不规则物体的质心计算和展示

1、1 质心质心2 质心参考系质心参考系3 质心运动定理质心运动定理高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况 三三 质心质心 质心运动定理质心运动定理1 质心质心水平上抛三角板水平上抛三角板运动员跳水运动员跳水投掷手榴弹投掷手榴弹其中其中 为质点系的总质量为质点系的总质量12immmm若令系统总动量若令系统总动量 ciivmvmp质点系的整体运动可以等效为一个假想质点质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。的运动。i icm rrmiicmvvmiidrvdtiiiidrmmdrdtmmdtccdrvdt如何确定这个如何确定这个点的位置？点

2、的位置？ niiniiicmrmr11质心质心(质量中心质量中心)：质点系：质点系质量分布的质量分布的平均位置平均位置。直角坐标系中，直角坐标系中，各各分量分量的表达式的表达式111111, , nnniiiiiiiiicccnnniiiiiim xm ym zxyzmmm点点C的位矢是质点系的位矢是质点系各质各质点位矢点位矢的质量的质量加权平均加权平均。例：例：任意三角形的每个顶点有一质量任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。，求质心。xyo（x1, y1）x21212033cmxmxxxxm110033cmyyym对对两质点两质点系统，质心位系统，质心位置总满足关系式：置总满足关系式：m

3、1d1 = m2d2d1d2Cm1m2o对质量对质量连续分布连续分布的物体，的物体，将其分为将其分为n个小质元个小质元11niiicr mrrdmmm111, , cccxxdmyydmzzdmmmm直角坐标系中的直角坐标系中的分量分量表达式表达式坐标系的选择不同，质心的坐标系的选择不同，质心的坐标坐标也不同；也不同；密度均匀，形状对称密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的的物体，其质心在物体的几何中心几何中心处；处；质心质心不一定在物体上不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。线分布：线分布：mdmdll面分布：面分布：mdmdSS体分布：体分布：

4、mdmdVV例：例：已知半圆环质量为，已知半圆环质量为，半径为半径为求：求：它的质心位置？它的质心位置？解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图, 取取dl dm=l ldldl=Rd 线密度线密度MRlMdmRdRcydmyM0cx 由对称性由对称性sinyR0sinsinMRRdRdRM 2( cos )(1 1)0RRR质心不在物体上，但质心不在物体上，但相对半圆环位置固定相对半圆环位置固定orR例：例：求半径为求半径为R的半球形球壳的质心的半球形球壳的质心22dm(r dl)(r Rd ) 22 R sin d 半球壳的总质量为半球壳的总质量为2220d2sind2mmRR如图将球壳细分成

5、无数多细环，细环如图将球壳细分成无数多细环，细环半径记为半径记为r，设设球壳质量球壳质量面密度面密度为为 ，则其中任一则其中任一细环的质量细环的质量为为320212 20 2ccx,yRR sincosdydmmR 解：解：根据根据对称性对称性，细环的质心位于，细环的质心位于y轴。轴。rRsinyRcos半球壳质心的位置半球壳质心的位置例：例：计算如图所示的计算如图所示的面密度面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。为恒量的直角三角形的质心的位置。解：解：取如图所示的坐标系取如图所示的坐标系取微元取微元ds=dxdy，质量为，质量为dm=ds=dxdy 质心的质心的x 坐标坐标为为cxdmx d

6、xdyxdxdyxdmdxdydxdyxbaay 从图中看出三角形斜边的方程为从图中看出三角形斜边的方程为 ()xdy dx ()ax ax dxb12ab023222()122()()2333bcax ax dxbxabaabbababbbabab同理同理0023aaxbbcydxdyayab 质心的坐标为质心的坐标为 3,3ab例：例：半径为半径为R的的大球大球内有一个半径为内有一个半径为R/2的的球形空腔球形空腔，空腔的下部，空腔的下部放置了一个半径为放置了一个半径为R/4的的小球小球。已知大球和小球的。已知大球和小球的质量密度相同质量密度相同。求：求：系统的质心。系统的质心。解：解：该

7、系统可看成由该系统可看成由质量分布均匀质量分布均匀(无空腔无空腔)的的大、中、小大、中、小三个三个球体组成，它们各自的球体组成，它们各自的质心质心分分别处于球心处。别处于球心处。中球的质量为负中球的质量为负。oxy大球：大球：中球：中球：小球：小球：10116400mm , x, y2220082m,xR/ym,303324mm ,xR/ ,yR/设设小球小球质量为质量为m0，则质量和质心坐标分别为：则质量和质心坐标分别为：系统的总质量为系统的总质量为 032157mmmmm33312312364 8 1V :V :VR : R: R:三个球体可视为质量三个球体可视为质量各自集中在质心（球各自

8、集中在质心（球心）处的三个心）处的三个质点。质点。112233000042577114cm xm xm xm Rm R /Rmxm11223300001228457cm ym ym ym/myRRm 实例实例 重心重心是是重力的作用点重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。，质心是系统质量分布的中心。 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义失去意义，但质心却依然存在。但质心却依然存在。 除非除非重力场均匀重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不，否则系统的质心与重心通常不重合。重合。重心重心(Center of Gravity)和质心

9、和质心( Center-of-Mass)是两个是两个不同不同的的概念：概念：质心的运动代表着质点系质心的运动代表着质点系整体的运动整体的运动，与单个质点的运动相同。，与单个质点的运动相同。这正是将这正是将实际物体实际物体抽象为抽象为质点模型质点模型的实质。的实质。质点系的任何运动一般都可质点系的任何运动一般都可分解为分解为质心的运动质心的运动和和相对于质心的运动相对于质心的运动 小线度物体（其上小线度物体（其上 各处相等），质心和重心是重合的。各处相等），质心和重心是重合的。 g作用在物体上各部分的重力作用在物体上各部分的重力方向方向平行；重力加速度可以视为平行；重力加速度可以视为常数常数。对

10、于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了，但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。如高山的重心比质心要低一些。 zrixyxyzmircri011 NiiiNiciirmrrm )(rrriic2 质心参考系质心参考系质心参考系是质心参考系是固结在质心上固结在质心上的的平动参考系平动参考系。质心在其中静止，一般选取质心作为质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系坐标系的原点。的原点。 i icimrrm质心系质心系不一定不一定是惯性

11、系，只有是惯性系，只有合外力为零时合外力为零时质心系才是惯性系。质心系才是惯性系。 vvviic质心系中的速度质心系中的速度求导求导mviiiN10从质心系中来看从质心系中来看，系统总动量，系统总动量=0，零动量参考系零动量参考系 动量守恒动量守恒在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。卡戎卡戎( (冥卫一冥卫一) )和冥王星组成双星系统，和冥王星组成双星系统，它们的共同质心在冥王星表面以外。它们的共同质心在冥王星表面以外。3 3 质心运动定理质心运动定理1、系统的总动量、系统的总动量 系统内各质点的动量的矢量和等于系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速

12、度与系统质量的乘积系统质心的速度与系统质量的乘积CmivCvirCriz yxOciivmvmp2、质心运动定理、质心运动定理 质心运动定律：质心运动定律：作用在作用在系统上系统上的的合外力合外力等于系统的等于系统的总质量总质量与系统与系统质心加速度质心加速度的乘积。的乘积。tmmttPFCCdd)(ddddvv 外外CFma外与描述与描述质点运动质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同。的牛顿第二定律在形式上完全相同。整体的运动整体的运动单个质点的运动。单个质点的运动。质心的运动质心的运动与与内力无关内力无关，仅取决于外力，如，仅取决于外力，如大力士不能自举其身。大力士不能自举其身。 若若质点

13、系质点系受到的外力的矢量和为零，则受到的外力的矢量和为零，则质心质心静止或作匀速直线运动静止或作匀速直线运动ozllzzm例：例：柔绳下落柔绳下落 一质量一质量m 长度为长度为 l 均匀柔绳竖直悬挂，其下端均匀柔绳竖直悬挂，其下端刚刚与地面接触。今使之刚刚与地面接触。今使之自静止状态自静止状态下落，下落，求：求：绳下落到所剩的长度为绳下落到所剩的长度为 z 时，地面对绳的作用力。时，地面对绳的作用力。设地面对绳子的作用力设地面对绳子的作用力N ，绳子的，绳子的质心加速度质心加速度 ac ， 建立如图所示坐标系，对建立如图所示坐标系，对整个绳子整个绳子：cmamgN未落地部分未落地部分：质量：质

14、量 ，质心的坐标为，质心的坐标为 ，zlmz2121122cmzz(zz)m ll解：解：取取整条绳子整条绳子为研究对象，为研究对象，将柔绳视为将柔绳视为质点系，质点系，采用采用质心运动定理质心运动定理求解。求解。质心的坐标：质心的坐标：未落地部分未落地部分+已落地部分已落地部分整条绳整条绳的质心坐标为的质心坐标为质心的速度为质心的速度为ccdzz dzzvvdtl dtl)(2zlgv质心的加速度为质心的加速度为2ccdvd zvzdva( v)dtdt lll dtgtvd/d2123czzzag()ggglll31zNmg()l例：例：车在船上的运动车在船上的运动 船长船长l1，质量，质

15、量m1；汽车长；汽车长l2 ，质量，质量m 2 。汽车。汽车从船尾由从船尾由静止开始静止开始向船头运动，到达船头时恰好向船头运动，到达船头时恰好相对船静止相对船静止，求：求：由于汽车的运动而使由于汽车的运动而使船移动的距离船移动的距离。解：解：在在水平方向上水平方向上，车和船组成的，车和船组成的系统所受外力为零，系统所受外力为零，动量守恒动量守恒。方法方法1 用动量守恒定律（略）用动量守恒定律（略）外力外力=0，系统质心保持静止，系统质心保持静止1 1022012()cm xm xmm x1101220212()()()cm xxmxxmmx方法方法2 用质心的概念用质心的概念ox10 x20

16、 xm1m2设初始船和车的坐标分别为设初始船和车的坐标分别为x10和和x20， 根据质心坐标的定义得根据质心坐标的定义得t0时刻时刻t 时刻时刻两式相减得两式相减得11220mxmx车的绝对位移为：车的绝对位移为：212112()xxxxll 船移动的距离船移动的距离111212()mxllmm车的相对位移车的相对位移212()xll 解：解：考虑弹丸为一系统；考虑弹丸为一系统；爆炸爆炸前后系统所受外力没变，前后系统所受外力没变，弹丸的弹丸的质心质心的运动轨迹都在同的运动轨迹都在同一抛物线上。一抛物线上。取第一块碎片的落地点为坐标取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为正方向，原点，水平向右为正方向，设设m1和和m2为两个碎片的质量；为两个碎片的质量；设设x1和和x2为两块碎片落地点距为两块碎片落地点距原点的距离；原点的距离；xc为弹丸质心距原点的距离。为弹丸质心距原点的距离。212211mmxmxmxC 由于由于x1=0 ， m1=m2=mCxx22 即第二块碎片的落地点的水即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一块平距离为碎片质心与第一块碎片水平距离的两倍。碎片水平距离的两倍。例：例：设一个质量为设一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，到的弹丸，从地面斜抛出去，到最高点最高点处爆炸处爆炸成成质量相等质量相等的两块碎片。其中一块碎片的两块碎片。其中一块碎片竖直自由