大学数学毕业论文讲解

1、数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文可测集的判定方法及其性质Determination Methods and Properties ofthe Measurable Set姓 名：学 号：学 院：数学与信息科学学院专 业：数学与小用数学指导老师：完成时间：2成1年4月20日数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文可测集的判定方法及其性质【摘要】在本论文中，我们介绍了基于 Caratheodory测度理论上的Lebesgue测度理论.从可测集的定义出发，我们讨论可测集的性质 我们还讨论了可测集和 Borel集之间的关系.为了更好地了解可

2、测集 的性质，我们在文中给出一些例子.通过写这篇论文，我对可测集的 性质及其结构有了更深刻全面的了解.【关键字】 测度 可测集 性质2Determination Methods and Properties of the Measurable Set *Abstract In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Caratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the pr

3、operties of measurable set. We also discuss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the cons

4、truction and properties of measurable set.Keywords Measure Measurable set Properties数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文目录1 .引言 12 .可测集的定义 23 .可测集的性质 4(1)零测集 4(2)可测集关于集合的运算性质 5(3)单调的可测集序列 94 .可测集类及可测集的构成 11(1)可测集类 11可测集与Borel集的关系 14参考文献、致谢 20iii数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文1引言实变函数论的核心问题是对我们在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，

5、而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中 Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展， Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函 数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此， 无论在理论方面还是在

6、实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.为此，数学家通过努力建立了一种新型的积分一Lebesgue积分.Lebesgue积分和Riemann积分的思路相反，不是从分割自变量的区域而是从分割函 数值域着手构造积分和.19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探 索，逐渐形成测度概念.它作为建立Lebesgue积分的基础，是要对Rn中一般点集 E给出一 种度量.它是长度、面积和体积等概念的推广.从1898年开始，Borel建立了一维Borel点集的测度.法国数学家Lebesgue在20世纪初叶系统地建立了测度论 ，并成功地建立起新的 积分理论.1

7、915年法国数学家M .Frechet提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测的理论.1918年左右希腊数学家 Caratheodory提出关于现代测度理论的关键理论.本文要介绍基于Caratheodory外测度理论上的 Lebesgue测度理论.5(非负性)；(单调性)；(次可加性)；m* B (距离可加性).都有(1)测度为零的集合称为零(2)之，若(2)式成立，令2可测集的定义定义2.1 1 称inf 11k | Ik是E的可数开覆盖k 1为点集E的Lebesgue外测度，简称外测度，记作m* E .1定理2.1外侧度具有如下性质：(1)对任意E Rn都有m*E 0且m*0(2)设 B

8、A Rn,则 m* B m* A(3)设 AiRn,则 m* ( A ) m* Ai1 1i 1n .(4)设 A, B R,若(A,B) 0,则 m*(A B) m* A1nn定义2.2 称Rn中的点集E为可测集，如果对于任意 TRn,m*T m*(T I E) m*(T I Ec)可测集的外测度就称为它的Lebesgue测度，简称测度，记作 mE.测集.Rn中所有可测集组成的集合称为可测集类.上述(1)式称为Caratheodory条件，它等价于：c对任意A E, B E都有m*( AU B) m* A m* B事实上，若(1)式成立，则取 T (AUB),即可取得(1式；A T I E,

9、 B T I Ec ,便有(1)式成立.注: 要证明点集E可测，只需证明不等式m*T m*(TI E) m*(TI Ec)成立，因为相反的不等式总是成立例11 证明对任意可测集 A和B ,都有m(AU B) m(AI B) mA mB .证明A可测，由Caratheodory条件对任意的 T ,有 m*T m*(TUA) m*(T I Ac),取T AU B,T I A A,T I Ac BI Ac,所以 m(AUB) mA m(BI Ac)(3)取 mB m(BI A) m(BI Ac)(4)综合(3) , (4),得到m(AU B) m(AI B) mA mB.注： 可测集的定义方式有多种

10、，Lebesgue原有的定义是通过内测度与外测度给出的，外测度如前所述，有界点集 E的内测度定义为I| m*(I E)其中I为包含E的开区间.E的内测度记作 m*E .由于m*( I E)是包含I E的开集无限外缩逼近的度量的极限值，所以m*E实际上是包含于E内的闭集向外无限膨胀的度量的逼近值，类似于用圆的内接正多边形面积逼近圆的面积，内胀于外缩能达到统一的值，这个值就自然是点集 E的度量.因此可以给出：、1nn定义2.3 设E为R中有界点集，如果 m*E = m*E ,则称E是可测的.如果E为R中无界点集，若对于任何开区间I ,有界集EI I都是可测的，则称E是可测的.可测集的外 测度称为它

11、的测度.注：定义2.2和定义2.3是分别从两个方面对可测集下的定义，可以证明这两个定义是等价的，但是由于定义2.3中有界集和无界集受到不同对待，而且同时出现内外两种内外两种测度，使用起来很不方便，因此一般以定义2.2作为可测集的正式定义3可测集的性质零测集例21若E的外侧度为零，则 E是可测集.证明对T Rn,有mT m (T I E) m*(T I Ec) *m (E) m (T) m(T), c从而 mT m (T I E) m (T I E ).所以E可测.注：测度为零的点集就为零测集.显然我们有：(1)零测集的子集也是零测集.(2)有限个或可数个零测集的并集也是可测集.例31 可测集与

12、零测集的并集也是可测集.证明 设E是Rn中可测集，N是Rn中零测集. 因为T I (E U N) (T I E) U(T I N)cc cccT I (EUN) T I (E U N ) (T I E ) I N , m*(TI (EUN) m*(TI (E U Nc)=m*(T I E)U(T I N) m*( T I Ec) I Nc)m*(T I E) m*(T I N) m*(T I Ec). cm*(T I E) m* N m*( T I E )m*(T I E) m*(T I Ec) m*T .由定义知EU N可测.(2)可测集关于集合运算的性质.、一 1C定理3.1(1)若E可测

13、，则Ec可测.(2)若 Ei, E2可测，则 Ei I E2, Ei U E2, Ei E2 都可测.证明(1)由于m*(TI E) m*(TI Ec) m*(T I (Ec)c) m*(TI Ec),故E可测能推出Ec可测.(2)对任意TRn,它均可分解为T (T IE1E2) U (T I E2E1)U (T IE1I E2)U(TE1E2)AUBUCUD,(如上图)可测.集.可测集.c显然A,B,C, D互不相交，且 AUC TI E，BUD T I E1，故由E1的可测性，得m*(AUC) m*( BUD) m*T ,同理，取T1 AUBUC,则AUC 工I E1,B T1 I E；,

14、从而有数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文m*B m*(AUC) m*(AUBUC),又因E2可测，所以取T2 D U B ,得m*(DUB) m* B m* D ,联立以上三式，得m*T m*( AUBUC) m* Dm*(TI (E1UE2) m*(TI (EiUE?),所以E1 U E2可测.由De Morgan 公式，E1 I E2 (E1c I E2c)c,故 E1 I E2也可测.又E1-E2 Ei I E2c,所以E1-E2也可测.注： 设E Rn,则下列三种说法是等价的：(1) E是可测集；(2) Ec是可测集；(3)对任意 A E,B Ec,总有 m*(A B) m

15、* A m* B .、1定理3.2 若Ei为可测集i 1,2,，则U Ei , I Ei也可测.若进一步假设 i 1i 1Ei I Ej(i j),则有m(U Ei) mEi(5)i 1i 1证明 首先考虑 Ei两两不相交的情形.我们先证明：对任意的TRn ,有m*(TI (E1 U E2)=m*(T I E)+m*(TI E2)(6)事实上，由于Ei I Ej (i j),在(2)式中取A TI Ei,B TI E2E：即可.进一步，很容易将（6）推广到6数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文lm*(TI (UEi)i 1lm*(T I Ei) i 17其中I为任意正整数.现证明U

16、Ei可测. i 1对任意TRn,不妨设，则m*(TI(U E)i 1m*(U(TI Ei)i 1m*(T I Ei)i 1lm*(TI (UEi)c) m*(TI (U EJc),i 1i 1l由于U Ei可测，故 i 1m*Tlm*(TI (UEi)i 1lm*(TI (UE)c),i 1于是lm*(T I (UE)c) m*T m*(T I (UEi)i 1i 1lm*T m*(T I Ei),i 1所以m*(TI (UEi)+m*(TI (UEi)c) i 1i 1lm*(T I EJ m*T m*(T I Ei),i 1i 1因为m T ，从（7）式知lm*(T I i 1Ei)=m*

17、(T Il(U Ei) m*T, i 1故令l ，知 m*(T I Ei)收敛，所以有 i 1m*(TI (UEi)+m*(TI (UEJc) m*T ,i 1i 1所以U Ei可测. i 1数学与信息科学学院 2011届学士学位毕业论文由定理3.3知9在式中取T Rn,有iim*(UEi)m*Eii 1i i再应用引理2.51 ,立即得到(5)式.其次，考察一般可测集序列 Ei,我们令k 1Si E1,SkE2 UEi,(k 2)i 1则Sk是互不相交的可测集序列.(8)而由U EiUS,即知UE是可测的,Ii 1 i 1i 1iEi1(UEic)c也是可测的定理证毕. i 1从(7)式可以

18、推出,m 1n定理3.3 设 Ei是互不相交的可测集序列，则对任意TRn,有m*(T I (UEi)m*(T I Ei)i 1(9)例 41设S,S2,Sk是互不相交的可测集,EiSi, i 1,2, k.证明kkm*( U Ei)m*Ei.i 1k证明 由定理3.2, U Si可测，对任意TRn,有i 1kkm*T m*(T I (USi)+m*(TI (U§)c) i 1i 1kkm*(UTI S) m*(TI (USi)c), i 1i 1k 取 T U§, TI Si Ei i 1所以kTI (US)i 1kU(TI S)i 1数学与信息科学学院 2011届学士学位

19、毕业论文km*T m*(UEi)i 1km*Ei i 1km*(U(TI S)i 1km*(T I Si) i 121(3)单调的可测集序列设日是可测集序列,且EiEi 1, i 1,2,.则!im Ei也是可测的，且证明 因为lim Eii现设mElm(lim Ei) lim mE ii(10)UEi,故lim Ei可测,若存在l ,使mEl i 1i1,2,.由Ej的单调性及可测性,则(10)式显然成立.日1与Ei Ei-1均可测且不相交，所以有mEi 1 m(Ei Ei-1) mEi,由于mEl令Eo，则mEi-mEi 1m(Ei Ei-1) , i1,2,lim EiUEi = U(E

20、i Ei-1).再应用测度的可数可加性，有m(lim Ei) m(U(Eiii 1Ei-1)m*(Ei i 1Ei-1)(mEi-mEii 1lim (mEk-mEki k 11) =lim mEi.ilim m(En). n,然后利用测度的性质6,一 、例5设En：n 1,2, 是一列可测集，证明:m(lim En)n证明先将求集合序列下限集的运算转化为求单调集列极限的运算 进行必要的讨论.由于lim EnU I En,记Fk I巳，这样的Fk ( k 1,2,)是单调增加的,且nk 1n 1n kFkEk,所以m(U Fk)|im m(Fk),m(Fk) m(Ek),k 1k对后一式两边取

21、下限，注意到左边实际上存在极限，故有lim m(Fk) lim m(Ek).综上所述k 得 m(lim En)=m(U Fk)=lim m(Fk) lim m(En). nk 1kn、1定理3.5设 Ei是可测集序列，且EiEi 1, i 2,3,.则lim Ei也是可测的.又设imE1<+ ，则m(lim Ei) lim mE . ii证明 由Ei的单调性知lim Ei I Ei ,且mE。是递减数列，故lim E存在. ii 1i因为EEiEEi 1 , i 2,3,所以 EEi是递增可测集序列.由定理3.4,有m(E1-lim Ei) m(lim( E1-Ei) mlim( E1-

22、Ei),由于mE1<+，故上式可以写为mE1-m(lim E) mE1-lim mEi. ii即得欲证.一 6例6 设 En 是一列可测集，N是某自然数，m( U En),证明：n Nm(limEn)limm(En).nn证明 由于而En=I UEm,记FnU En ,这样的 Fn 是单调减少集列，且nn1mnm nFnEn.由题设知，n N时，m(Fn)，所以m(lim En)m(IFn)limm(Fn)limm(En).nn1nn证毕.注：从以上各定理可知，点集的可测性关于可数并、可数交、差、余和极限运算是封闭的有了这些性质，我们可以从已知的可测集去发现和构造更多的可测集，由一些可测

23、集去研究另外的可测集.4可测集类及可测集的构成(1)可测集类在上一节中，给出了 Rn中可测集的定义，并且知道了可测集的一些性质，但是除了零测集外，我们还不知道哪些具体的集合是可测的.本节要研究这个问题.由于我们是将测度作为长度、面积、体积该概念的扩充，因此凡可求长度、面积、体积的集合都应该是可测的.首先从区间 开始.,1口一引理4.1 设I是R中的开区间，则m*I m* I I .-e 1 n止理4.2 R中任何开区间I者B是可测的，且ml I .证明 由上面的引理1,只要证明I可测.设I (X,X2，Xn)|Ci Xi di, i 1,2, , n对任意TRn,要证明(1)m*T m*(T

24、I I) m*(T I I c)I (k)则当k充分大，(X1,X2，Xn)| ci1.1 . _、一Xdi 一，i 1,2,，nkkI (k)(严，Ic)从而(I(k)I T,IcI T) 0,由外测度的距离可加性，有m*T m*( I(k) U I c) I T)m*( I(k) I T)U ICI T)m*( I(k)I T) m*( ICIT),如果能证明lim m*( I(k) I T) m*( II T),则(1)式就可以通过前式取极限得到，因为0 m*( I I T) m*( I (k) I T)m*( I I(k)I T) m*( I.(k)、I )，现来证lim m*( I

25、I)0.令1(X1,X2，Xn)| G 7 kXi211G -,q - X di -,i2,3，nkkk它将I (k)在 X1。附近的点盖住了.其体积Jk3 nk (dik i 22)Ci2)M其中M是与k无关的正数.对I I(k)的其余部分，同样可分别作出与之类似的开区间盖住最终，I I(k)可用2n个体积不大于M的开区间覆盖.于 km*( I I(k)所以 lim m*( I I k2nM k , (k) 0.令k ,则有0 m*( I I T)lim m*( I(k) I T) 0注：从定理4.1可以看出，于是式成立，故I可测.Rn中任何区间与相应的开区间只差一个零测集.因此可以由此推出

26、Rn中任何区间都是可测的，且体积就是它的测度.下面研究在Rn中有哪些集合是可测的.用分割函数值域的方法作积分和时，出现了形如Ei x| yi i f (x) yi的点集.我们知道，连续函数是Riemann可积的，在新的积分中也应该可积因此，当f (x)连续时相应的Ei应该可测.Ei x| f(x) yi x| f(x) yii为两个开集之差.因此开集应该是可测的.下面证明，Rn中的开集是可测集.首先，给出Rn中开集的构造定理.ie1n引理4.3Rn中非空开集G都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭区间的并，即G = U Ji ,其中 i=1Ji ( Xi,X2, L , xn)| Cj(i)

27、xj dj(i),j 1,2, L,n且 Ji I Jk (i k).证明对每一个正整数k , Rn都可分解为可数多个形如(Xi,X2，xn)| m Xi mT，i 1,2, L , n(mi为整数)(2)的互不相交的左开右闭的区间.设k1时上述这些区间中完全包含在G内的是Ii，I2(1), L(有限个或可数个).对于k 1,用IiI2(1),L表示上述那些区间中完全被G包含，但不被任何Ii(l k 1)包含的区间(有限个或可数个).这样可以得到可数多个左开右闭的区间Ij(k),1 jtk,k 1,2, L .显然它们是互不相交的，UIj(k) G.现对任意x G ,k, j因为曲开集，故存在

28、 0,使得以x为中心的为半径的邻域 N(x, ) G.于是，当k充分大时，(2)式中那些区间中包含x的那个一定完全被包含在G内，从而x UI j(k),即k,jG U I j(k) . k,j定义4.11如果点集E是可数多个开集的交，则称E为G集.如果E是可数多个闭的并则称E为F集.由开集出发，通过取余集，作可数交、可数并而成的集合类称为Borel集类,其中的元素称为 Borel集.1 n正理4.4R中的开集、闭集以及任何Borel集都是可测的.证明 因为Rn中左开右闭区间是可测的，而开集又可以表为可数个左开右闭区间的并，从而开集是可测的.任何闭集都是开集的余集，故闭集也是可测的.由Borel

29、集的定义知任何 Borel集也是可测的.注： 从定理4.2可知，许多常见的集合都是可测的，比可求面积的(R2中)或可求体积的(R3中)的范围扩充了许多.但是上述的定理并不意味着每一个可测集都是开集、闭集或Borel集.事实上，存在非Borel集的可测集.(2)可测集与Borel集的关系-E 4定理4.5 设ERm,则存在G型集G,使E G,且mG m E .证明由外测度的定义知，对任意自然数n ,存在一列开区间Iin,使E Iin,且 | Iin | m*E 1, i 1i 1n记Gn=Ii(n),GGn,显然G为G型集，且E GGn ,i 1n 1所以m* E m*G mG mGn |Ii(

30、n) | m*E -,1 1n让n 得 mG m*E,证毕.、4定理4.6 设E Rm ,则下列关系等价：(1) E为可测集；(2)对任意0.存在开集G,使E G,且m(G E) ;(3)存在 G 型集 G ,使 E G ,且 mG m* E , m(G E) =0 .证明(1)当mE ,则由外测集的定义知对0,存在一列开区间In,使E In,且n 1|In| mE ，记G= In,显然G为开集，E G, n 1n 1且 mE mG 11 n | mE ,n 1所以 mG mE ，而 mE ,从而 m(G E) mG mE ,当mE 时，E必为无界集，但它总可表示成可数个互不相交的有界可测集的

31、并即£=En (mEn ).对每个En应用上面结果，存在开集Gn,使n 1EnGn,且 m(Gn En)七，记 GGn ,显然 G 为开集，E En Gn G ,2n 1n 1n 1且 G E UG UEn (UGn)I (UEn)c U(Gn I (UEn)c) U(GnI Enc) n 1 n 1n 1n 1n 1n 1n 1=U9n En), n 1从而 m(G E) m(Gn En).n 1n 1 2(2) (3)_1取-,n 1,2,，由(2)知，存在开集Gn使n1 、 一E Gn,且 m(Gn E),记G I Gn , nn 1显然E G, G为G型集，且G E GI E

32、c IGnIEcI(GnIEc)I (Gn E)GnE ,n 1n 1n 1 , 一- 一 一 1所以 m(G E) m(Gn E)-, n让 n 得，m(G E) 0从而 mG m(EU(G E) m*E.(3) (1)由(3)知 存在G型集G ,使E G ,且mG m* E , m(G E) 0 ,而 E G (G E),故E是可测集.注：此定理表明任意可测集总可表示成一个G与一个零测集的差集.、一 4定理4.7 设ERm,则下列关系等价(1) E为可测集；(2)对任意 0,存在闭集F,使F E,且m(E F)(3)存在F型集F ,使FE ,且 mF m* E, m(E F) 0 .证明(

33、1)(2).定理4.4E可测Ec可测对任意c0.存在开集G ,使EcGW m(G E )< .现令F=Gc,则F是闭集且FE.因为 E F G Ec,所以 m(E F)(1)(3)定理4.4E可测 Ec可测 存在G型集G使Ec 则 F 为F 型集，F E,E F EI Fc E I G GI (Ec)c G Ec,所以 m(E F) m(G Ec) 0,m* E m*( E F)U F) mF .定理证毕.例7 1 证明Rn中可测集经平移后仍为可测集 .证明 设E Rn是可测集，x0是Rn中的固定点.记E* X0 E % x|x E下证E *可测.因为E可测，由定理4.4,存在G集E G

34、 ,且m(G E)= 0 .记N G E ,则mN 0,E G N.由G 集的定义可设G Gk，其中Gk为开集.于是 k 1E*= I Gk* N*.k 1其中Gk*=X)Gk,N* Xo N,显然Gk*是开集，N*是零测集(由外测度的平移不变性)，即E*也是一个G集与零测集的差，所以E*可测.注：以上两个定理表明，只要有了全部的 G型或F型集(它们都是Borel集)和全部零测集，一切可测集都可以通过G型集与零测集的差集或 F型集与零测集的并集获得.推论11如果E是Rn中的可测集，则存在一个Borel集F和一个零测集 N ,使得E FUN.4推论2 设E Rn,则存在Rn中的G型集G,使G E

35、 ,且mG m* E .1例8 设A, B Rn, AU B是可测的，且m(AU B) ,若m(AUB) m* A m* B证明A、B皆是可测集.证明 由推论2:存在可测集 H、K,使得H A,K B,且mH m*A,mK m* B因为 A AU B, B AUB,所以 A H I (AU B) S,B KI(AUB) T,S,T 皆可测，且 S H ,T K .所以 S AU B,T AUB, SUT AUB .mH m* A mS mH m* AmS m* A,同理 mT m* B .由例 1, m(SUT) m(SI T) mS mT ,因为 m(AUB) m* A m* B ,所以 m

36、(SI T) 0.取 AI B 为基本集，S A SI Ac SIB SI T ,所以 0 m*( S A) m(SI T) 0,所以A S (S A)可测.同理B也可测.作为可测集与Borel集之间关系的应用，再给出乘积空间测度的计算公式-1CCC C定理4.8 设A、B分别为Rp和Rq中的可测集，记E A B,则E为Rpq中的可测集，且 mE mA mB.证明证明分两步(一)先证当A,B均有界时，结论成立.(1)当A,B都是区间时，由区间的体积公式知结论成立.(2)当A,B都是开集时，由开集的结构知A UIi, B UJj ,其中I- Jj分别为Rp和Rq中两两不交的区间.于是 i 1j 1E A B U Ii Jj,其中Ii Jj为Rp q中两两不交的区间. i,j 1所以E是可测集，且mE m(Ii J j) mIi mJj ( ml i)( mJj) mA mB .i,j 1i,j 1i 1j 1(3)当A,B都是G集时，则A I G： , B I G；,其中G1为有界开集，且