苏科版八年级数学下册第九章特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)(解析版)

1、特殊平行四边形动点及存在性问题（压轴题）选择题（共4小题）DM = 2,N是AC上的一动点,1.已知如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且 则DN+MN的最小值为（）8A. 9B. 10C. 11D. 12第1题第3题第4题2.在直角坐标系中，有4(-1, 1), B (3, 1), C (2, 4)三点，另有一点 D 与点 A、B、C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标不可能是（A. (1, 2)B. (-2, 4)C. (0, 2)D. (6, 4)P是对角线AC上的D. 2 K3 .如图，在菱形 ABCD中，AB = 4, /BAD=60° , E是AB的中点,一个动

2、点，则 PE+PB的最小值为（）A. 4B. 5C. 2.二：4 .如图，/ MON = 90° ,矩形ABCD的顶点A、B分别在边 OM , ON上，当B在边ON上 运动时，A随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1,运动过程中，点 D到点O的最大距离为（）A. 口+1BCqD.二二.填空题（共11小题）5 .已知：如图，O为坐标原点，四边形 OABC为矩形，A （10, 0）, C （0, 4）,点D是 OA的中点，点P在BC上运动，当 ODP是腰长为5的等腰三角形时，则 P点的坐标 为.6 .如图，矩形 OABC的边OA在x轴上，OA= 10

3、cm, OC在y轴上，且 OC=4cm, P为 OA的中点，动点 Q从C点出发，沿着CB以每秒1cm的速度运动（Q至U B点时停止运 动），当 OPQ是以OP为腰的等腰三角形时，点 Q的运动时间t=秒.7 .如图，矩形 OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B （8, 7）, D （5, 0）,点P是边AB 上的一点，连接 OP, DP,当 ODP为等腰三角形时，点 BP的长度为.A】'8 .如图，矩形 ONEF的对角线交于点 M, ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点， 点E的坐标为（4, 3）,则点M的坐标为.9 .如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90° ,

4、/ A=30° , AC= W3, BC 的中点为 D,将4 ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到 FEC, EF的中点为G,连接DG在旋转过程 中，DG的最大值是.10 .如图，在 RtABC中，ZACB=90° ,将 ABC绕顶点C逆时针旋车t得到 A B' C, M是BC的中点，P是A' B'的中点，连接 PM,若BC=2, /BAC = 30° ,则线段 PM 的最大值是.11 .如图，线段AB = 4, M为AB的中点，动点P到点M的距离是1,连接PB ,线段 PB绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最

5、大值是 .12 .如图，在 RtABC 中，/ A= 90° , AB = 4, AC=6,点 D 为 AC 中点，点 P 为 AB 上 的动点，将点 P绕点D逆时针旋转 90°得到点Q,连接CQ,则线段CQ的最小值 为.13.如图，已知 ABC是等腰直角三角形，/BAC=90° ,点D是BC的中点，作正方形DEFG,连接AE,若BC=DE = 2,将正方形 DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过 程中，当AE为最大值时，则 AF的值.14 .如图，在三角形纸片 ABC中，已知/ ABC = 90° , AB=6, BC=8.过点A作直线平行 于BC,折

6、叠三角形纸片 ABC,使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN,当点 T在直线l上移动时，折痕的端点 M, N也随之移动.若限定端点 M, N分别在AB, BC 边上移动(点 M可以与点A重合，点N可以与点C重合)，则线段AT长度的最大值与 最小值的和为 (计算结果不取近似值).15 .如图，已知菱形 ABCD中，/ ABC=60° , AB=8,过线段 BD上的一个动点 P (不与 B、D重合)分别向直线 AB、AD作垂线，垂足分别为 E、F.(1) BD的长是;(2)连接PC,当PE+PF + PC取得最小值时，此时 PB的长是.三.解答题(共25小题)16 .在矩形 ABC

7、D中，AB=6, BC=8, G为边AD的中点.(1)如图1,若E为AB上的一个动点，当 CGE的周长最小时，求 AE的长.(2)如图2,若E、F为边AB上的两个动点，且 EF = 4,当四边形 CGEF的周长最小时，求AF的长.17 .如图，在矩形 OABC中，已知A, C两点的坐标分别为 A (4, 0), C (0, 2), D为OA 的中点.设点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2)当点P运动到与点B的距离最小时，求 P的坐标；(3)已知E (1, - 1),当点P运动到何处时， PDE的周长最小？求出此时点 P的

8、坐标和 PDE的周长.18 .如图，在平面直角坐标系中，AB/OC, A (0, 12), B (21, 12), C (16, 0). 一动点P从点A出发，在线段 AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B运动；动点Q从点。出 发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，点P、Q分别从点A、O同时出 发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒).(1)设APQC面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2)当t为何值时，四边形 PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；(3)当t为何值时， PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.动，运动速度为每秒

9、 3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停 止运动，设运动时间为 t秒(1)当t为何值时四边形 ABPQ为平行四边形？(2)当t为何值时， AQP是以AQ为底边的等腰三角形？20.如图，四边形 ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是(0, 0), B 点坐标是(3, 4),矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别 在AD、AB上，且F点的坐标是(2, 4).(1)求G点坐标；(2)求直线EF解析式;(3)点N在x轴上，直线EF上是否存在点 M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由

10、.21.如图，四边形 ABCD为矩形,A (0, 0), B (4, 0), D (0, 8),将矩形 ABCD 沿直线DB折叠，使点A落在点A'处.(1)求证 DE = BE;(2)求直线DE的函数表达式；(3)在y轴上作点F (0, 2),连接EF,点N是x轴上一动点，直线 DE上是否存在点 M,使以M, N, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由.5A22 .如图，在平面直角坐标系中，直线 11的解析式为y=x,直线12的解析式为y=-(3)P的坐标；在y轴右侧有一动直线平行于 y轴，分别与11, 12交于点m、N,且点M在点N的下方，

11、y轴上是否存在点 Q,使 MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条 件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图，已知直线 y=- 2x+8与x轴、y轴分别交于点 A、C,以OA、OC为边在第一象 限内作长方形OABC.(1)求点A、C的坐标；(2)将 ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D,求直线CD的解析式；(3)在(2)的条件下，坐标平面内是否存在点P (除点B外)，使得 APC与4ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.24 .如图，平面直角坐标系中一平行四边形 ABCO,4), AC与BO交于点E, AB与y轴交于点 G,直线

12、EF交y轴于点F且G为线段FO的中占I 八、爸用图(1)求出直线EF的解析式.(2)若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点 P作PH，x 轴，垂足为H,连接FP, QH.问FP + PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点 P 的坐标；如果没有，请说明理由.(3)点M是直线EF上的一个动点，且满足 OM: OF = 1:也,在坐标平面内是否存在 另一点N,使以O、F, M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.25 .如图，在 RtAABC 中，/ B=90° , AC = 60cm, / A= 60°，

13、点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度 向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D, E运 动的时间是t秒(0VtW15).过点D作DFLBC于点F,连接DE , EF.(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(2)当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.26 .如图1,在 ABC中，AB=BC=5, AC = 6. ECD是 ABC沿BC方向平移得到的, 连接AE、AC和BE相交于点O.(1)判断四边形 ABCE是怎样的四边形，说明理由

14、；(2)如图2, P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合)，连接PO并延长交线 段AE于点Q, QRXBD,垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点 P的运动而发生变 化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形 PQED的面积.27 .如图，等腰三角形 OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点 A的坐标为(6, 8), OA = OB,动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点 B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点 Q作x轴 的平行线分别交 OA, AB于E, F,设动点P, Q同时出发，当点 P到达点B时，点Q 也停止运动，

15、他们运动的时间为 t秒(t>0).(1)点E的坐标为 , F的坐标为 ;(2)当t为何值时，四边形 POEF是平行四边形；(3)是否存在某一时刻，使 PEF为直角三角形？若存在，请求出此时 t的值；若不存 在，请说明理由.28 .如图1,等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90° , CB = CA,直线DE经过点C,过A 作ADLDE于点D,过B作BEXDE于点E,则A BECA CDA,我们称这种全等模型 为“K型全等”.(不需要证明)【模型应用】若一次函数 y=kx+4 (kw 0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.(1)如图2,当k= - 1时，若点B到经过原点的

16、直线l的距离BE的长为3,求点A到 直线l的距离AD的长；(2)如图3,当k=-方时，点M在第一象限内，若/ ABM是等腰直角三角形，求点 M 的坐标；(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90。得 到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值.29 .如图，平行四边形 AOBC的顶点O是坐标原点，OB在x轴的正半轴上，点 D为BC的中点，点A、D在反比仞函数y=(k>0, x>0)的图象上，已知：/ AOB = 60° .(1)求他的值；0B(2)当OA = 8时，过点D作直线l平行于x轴，点P是直线l上的动点，点 Q是平面内任意一点，若以 B、

17、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有点Q的坐标.32.1030 .如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰 OAB的顶点A在第一象限，底边 OB在x轴的正半轴上，且 AO = AB=10cm, OB = 12cm.动点C从点A出发，沿 AO边向。点运 动(不与O点重合)，速度为1cm/s,运动时间为ts.过点C作CD / OB交AB于点D.以 CD为边，在点 A的异侧作正方形 CDEF .(1)若正方形CDEF与 OAB重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数关系式，并写出 自变量t的取值范围；(2)连接OF,当t为何值时，31 .如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, / B= 90&

18、#176; , AD = 16cm, AB = 12cm, BC=21cm, 动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点 Q从点A出发，在 线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点 Q 运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t (秒).(1)当t为何值时，四边形 PQDC是平行四边形.(2)当t为何值时，以C, D, Q, P为顶点的梯形面积等于 60cm2?(3)是否存在点P,使4PQD是等腰三角形(不考虑 QD = PD) ?若存在，请求出所有针旋转120°到CQ,连接DQ.A34(1)如图 1,求证： BCPA

19、 DCQ;(2)如图2,连接QP并延长，分别交 AB、CD于点M、N.求证：PM = QN;若MN的最小值为2V与，直接写出菱形 ABCD的面积为.33 .如图1,已知等腰 RtABC中，E为边AC上一点，过E点作EFLAB于F点，以为边 作正方形，且AC=3, EF=V3.(1)如图1,连接CF,求线段CF的长；(2)将等腰RtAABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE, M点为BE的中点，连接MC , MF,求MC与MF关系.St图234 . (1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足/ EAF=45° , 连接EF.将4ADE绕点A顺时针旋

20、转90°得到 ABG,易证 GAFA EAF,从而得到 结论：DE+BF = EF.根据这个结论，若 CD = 6, DE = 2,求EF的长.(2)方法迁移：如图，若在四边形 ABCD中，AB = AD, /B+/D=180° , E、F分别是 BC、CD上 的点，且/ EAF=/BAD,试猜想DE, BF, EF之间有何数量关系，证明你的结论.(3)问题拓展：如图 ，在四边形 ABCD中，AB = AD, /B+/ADC = 180° , E、F分 别是边BC、CD延长线上的点，且/ EAF =曰/BAD,试探究线段 EF、BE、FD之间的 数量关系，请直接写

21、出你的猜想(不必说明理由)35 .如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC, / B= 90° , AD= 16cm, AB= 12cm, BC= 21cm.动 点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到 C点返回，动点Q从点A 出发，在线段 AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发， 当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为 t (秒).(1)当0v tv 10.5时，若四边形PQDC是平行四边形，求出满足要求的t的值；(2)当0vtv10.5时，若以C, D, Q, P为顶点的四边形面积为 60cm2,求相应的t的 值；(3)

22、当10.5Wt<16时，若以C, D, Q, P为顶点的四边形面积为 60cm2,求相应的t 的值.36 .如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段 OA、OB的长(OAVOB)是方程组J?范 的解，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC3x-y=6上，OD= 2V5.(1)求直线AB的解析式及点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点 Q,使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.37.如图，在平面直角坐标系中，矩形OBEC的顶点E坐标为(12, 6),直线l: y

23、 =x与对角线BC交于点A.(1)求出点A的坐标；(2)如果点D是线段OA上一动点，当 COD的面积为12时，求直线CD的函数表达 亡；(3)在(2)的条件下，设 P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q,使以O, C,P, Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.38 .如图，在平行四边形中，对角线ACXBC, AC=BC = 2,动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点 P分另1J作PM / AB交BC于M , PN / AD交DC于N.连结 AM .(1)四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由(2)当AP = 1时，试求出四边形 PMCN的面积.对角

24、线AC, BD相交于点O,39 .如图，平行四边形 ABCD 中，ABXAC, AB=1, BC=V5将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 BC, AD于点E, F.(1)证明：当旋转角为 90。时，四边形 ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 AC绕点O顺时针旋转的度数.40 .如图，？ABCD中，ABXAC, AB = 1, BC=k/5,对角线AC、BD相交于点 O,将直线AC绕点。顺时针旋转 a ,分别交直线 BC、AD于点E、F.(1)当“=时，四边

25、形 ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时a的值；如果不能，说明理由；(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由.答案与解析选择题(共4小题)1 .已知如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且 DM = 2, N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为()A . 9B. 10C. 11D. 12【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点 N的位置.根据正方形的性质：正方形的对 角线互相垂直平分. 知点D的对称点是点B,连接MB交A

26、C于点N,此时DN+MN最小 值即是BM的长.【解答】解：根据题意，连接 BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值，在 RtABCM 中，BC=8, CM=6根据勾股定理得：BM =?十32 =10,即DN+MN的最小值是 10;故选：B.踪"凸k12 .在直角坐标系中，有 4(-1, 1), B (3, 1), C (2, 4)三点，另有一点 D与点A、B、 C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标不可能是()A. (1, 2)B. (-2, 4)C. (0, - 2)D. (6, 4)【分析】根据平行四边形的性质，分别从 AC, BC, AB为对角线，去分析求解即可求得 答案.【

27、解答】如图：二四边形ABCD是平行四边形，若以BC为对角线，则 CD = AB=4,点D1的坐标为(6, 4);若以AC为对角线，则 CD = AB=4,，点D2的坐标为(-2, 4);若以 AB 为对角线，则 AD/BC, BD/ AC,且 AC=BD, AD=BC,，点D3的坐标为(0, - 2),综上所述，符合条件的点 D的坐标有：(6, 4), (-2, 4), (0, -2).故选：A.3.如图，在菱形 ABCD中，AB = 4, /BAD=60° , E是AB的中点，P是对角线 AC上的 一个动点，则 PE+PB的最小值为（）3A. 4B. 5C, 2nD. 2月【分析】

28、找出B点关于AC的对称点D ,连接DE交AC于P,则DE就是PB+PE的最小 值，求出即可.【解答】解：连接DE交AC于P,连接DB,由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB, .PE+PB= PE+PD=DE, 即DE就是PE+PB的最/、值. . / BAD = 60° , AD= AB=4,. .ABD是等边三角形， AE= BE,DE ± AB （等腰三角形三线合一的性质）.在 RtAADE 中，DE ="人口2 _比 2=，/ -2之=2f .即PB+PE的最小值为2。！.故选：C.4.如图，/ MON = 90° ,矩

29、形ABCD的顶点A、B分别在边 OM , ON上，当B在边ON上 运动时，A随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1, 运动过程中，点 D到点O的最大距离为（）A.距+1B.粥CD.1【分析】取AB的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边 可知当O、D、E三点共线时，点 D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.【解答】解：如图，取 AB的中点E,连接OE、DE、OD, . ODWOE+DE,当O、D、E三点共线时，点 D到点O的距离最大，此时，: A

30、B=2, BC=1,-.OE= AE=AB=1,2DE = VaD2+AE2=四OD的最大值为：V2+1 .故选：A.二.填空题（共5.已知：如图,11小题）O为坐标原点，四边形 OABC为矩形,A （10, 0）, C （0, 4）,点 D 是5的等腰三角形时，则 P点的坐标OA的中点，点P在BC上运动，当 ODP是腰长为OP=OD三种情况，根据题意【分析】 分PD=OD （P在右边），PD = OD （P在左边）画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ,然后根据图形写出P的坐标即可.【解答】解：当OD = PD （P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示:DPQ 中

31、，PQ = 4, PD=ODOA=5,根据勾股定理得：DQ = 3,故 OQ = OD+DQ = 5+3=8,则 Pi （8, 4）; 当PD = OD （P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：BQD过P作PQ，x轴交x轴于Q,在直角三角形 DPQ中，PQ = 4, PD=OD = 5,根据勾股定理得： QD = 3,故 OQ = OD - QD = 5-3=2,则 P2 （2, 4）; 当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ，x轴交x轴于Q,在直角三角形 OPQ中，OP = OD=5, PQ = 4,根据勾股定理得：OQ = 3,则P3 （3, 4）,综上，满足题意的 P

32、坐标为（2, 4）或（3, 4）或（8, 4）.故答案为：（2, 4）或（3, 4）或（8, 4）6 .如图，矩形 OABC的边OA在x轴上，OA= 10cm, OC在y轴上，且 OC=4cm, P为 OA的中点，动点 Q从C点出发，沿着CB以每秒1cm的速度运动（Q至U B点时停止运 动），当 OPQ是以OP为腰的等腰三角形时，点 Q的运动时间t=2或3或8 秒.1八OP A r【分析】分OQ = OP和OP=QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可.【解答】解：二四边形 OABC为矩形,OCQ = 90° ,. OA= 10, OC = 4, P 为 OA 的中点， .OP=

33、 5,当 OQ = OP=5 时，CQ=VoQ2-OC2 =Vb2-42 = 3，t= 3;当OP=QP时，如图，作PHBC于H, 若点Q在点H左侧， . / POC=/ OCH = /CHP = 90° , 四边形POCH为矩形，ph= OC = 4, CH=OP = 5,qh=Vpq2.CQ=CH- QH = 5-3=2,即 t = 2;若点Q在点H右侧，同理可得， CQ = 5+3 = 8,即t=8.7 .如图，矩形 OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B (8, 7), D (5, 0),点P是边AB 上的一点，连接 OP, DP,当 ODP为等腰三角形时，点 BP的长度为

34、3 .C隹【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论. 【解答】解：二四边形 OABC是矩形，B (8, 7),.OA=BC=8, OC = AB=7,- D (5, 0),.OD=5,点P是边AB的一点，.-.OD = DP=5,AD= 3,哈椁匚券4，PB=3故答案为：3.8.如图，矩形 ONEF的对角线交于点 M, ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点,点E的坐标为(4, 3),则点M的坐标为(2, 1.5)【分析】先根据四边形 ONEF是矩形，由矩形的性质可知点M是对角线OE的中点，根据线段的中点坐标公式即可得出M点的坐标.【解答】解：二四边形 ONEF是矩形， .OM

35、 = ME,即点M是对角线 OE的中点,- O (0, 0), E (4, 3),.M(J2±4, 即(2, 1.5).22故答案为：(2, 1.5).9.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90° , / A=30° , AC=BC 的中点为 D,将4ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到 FEC, EF的中点为G,连接DG在旋转过程C、【分析】解直角三角形求出 AB、BC,再求出CD,连接CG,根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半求出 CG,然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解. 【解答

36、】解：.一/ ACB=90° , / A=30° ,AB= AC cos30 = 4fH+=8,BC= AC?tan30° =4代X遮3=4,.BC的中点为D,.CD =X 4=2, 2连接CG,ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到FEC, EF的中点为G,.CG =AB =2由三角形的三边关系得，CD + CG > DG ,D、C、G三点共线时 DG有最大值， 此时 DG = CD+CG = 2+4=6.故答案为：6.A B' C,10.如图，在 RtABC中，/ACB=90° ,将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到4M是BC的中点，P是A

37、' B'的中点，连接 PM,若BC=2, /BAC = 30° ,则线段 PM 的最大值是 3 .【分析】连接PC.首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC = 2,然后再依据三角形的三边关系可得到 PMWPC+CM,故此可得至ij PM的最大值为PC+CM.【解答】解：如图连接 PC.在 RtABC 中，/ A=30° , BC=2, AB=4,根据旋转不变性可知，A' B' =AB=4, .A' P= PB',PC = -!a，B' = 2, .CM = BM= 1,又 PM< PC+CM ,即 PM<

38、;3, PM的最大值为3 （此时P、C、M共线）.故答案为：3.11.如图，线段AB = 4, M为AB的中点，动点P到点M的距离是1,连接PB ,线段PB绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是【分析】以。为坐标原点建立坐标系，过点 C作CDy轴，垂足为D,过点P作PEL DC,垂足为E,延长EP交x轴于点F,设点P的坐标为（x, y）,则x2+y2= 1 .然后证 明ECPFPB,由全等三角形的性质得到 EC=PF = y, FB=EP=2-x,从而得到点C (x+y, y+2-x),最后依据两点间的距离公式可求得AC=VW+8y ,最后，依据当 y=1时，A

39、C有最大值求解即可.【解答】解：如图所示：过点 C作CDy轴，垂足为D,过点P作PEL DC,垂足为E, 延长EP交x轴于点F.O F. AB=4,。为AB的中点， ,A (- 2, 0), B (2, 0).设点P的坐标为(x, y),则x2+y2= 1 . . Z EPC+Z BPF = 90° , / EPC+/ECP=90° , ./ ECP=Z FPB.由旋转的性质可知：PC=PB.在 ECP和 FPB中，rZECP=ZFPB& ZPEC=ZPKB, . ECPA FPB.EC= PF=y, FB = EP = 2- x.C (x+y, y+2 - x).

40、 AB=4,。为AB的中点，AC=A/(x-Fy+2)(y+2-x)= V22y8y+8-x2+y2=1, AC=8y., - 1<y< 1,AC的最大值为718=3/2当y=1时，AC有最大值, 故答案为：3叵12.如图，在 RtABC 中，/ A= 90° , AB = 4, AC=6,点 D 为 AC 中点，点 P 为 AB 上 的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q,连接CQ,则线段CQ的最小值为 3 .AP【分析】 过Q作QELAC于E,易证 DAPQED,可得QE = AD = 3,再根据当= DE=2时，DE=DC,即点E与点C重合，即可得出

41、线段 CQ的最小值为3.【解答】 解：如图所示，过 Q作QELAC于E,则/ A=/ QED = 90° , 由旋转可得，DP = QD, /PDQ = 90° ,ADP = Z EQD,在 DAP和 QED中，irZAEP=ZEQD& ZA=ZQED ，I DP=QD . DAPA QED (AAS),.-.QE= AD = A.AC=3,2.点Q的运动轨迹是平行 AC的直线，当点E与点C重合，CQ的值最小，CQ的最小值为3,故答案为：3.13.如图，已知 ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90° ,点D是BC的中点，作正方形DEFG,连接AE,若BC

42、=DE = 2,将正方形 DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则 AF的值【分析】根据旋转可得，当 A, D, E三点在一条直线上，且点D在线段AE上时，AE的长有最大值，在 RtAAEF中根据勾股定理求得 AF的长.【解答】解：如图，当A, D,最大, ABC是等腰直角三角形,E三点在一条直线上，且点 D在线段AE上时，AE的长BAC = 90°，点 D 是 BC 的中点，BC=2,AD =rBC=1此时，AE=AD+DE= 1+2=3,正方形 DEFG 中，/ E=90° ,.,.在 RtA AEF 中，AF = +EF = 3+2,故答案为：

43、Vis.14 .如图，在三角形纸片 ABC中，已知/ ABC = 90° , AB=6, BC=8.过点A作直线平行 于BC,折叠三角形纸片 ABC,使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN,当点T在直线l上移动时，折痕的端点 M, N也随之移动.若限定端点 M, N分别在AB, BC 边上移动（点 M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为142阴_ （计算结果不取近似值）【分析】首先确定 AT取得最大及最小时，点 M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段 AT长度的最大值与最小值的和.【解答】解：当点M与点A重合时，AT取得

44、最大值，由轴对称可知， AT=AB=6;当点N与点C重合时，AT取得最小值，过点C作CD，l于点D,连结CT,则四边形 ABCD为矩形，.-.CD = AB=6,由轴对称可知，CT=BC = 8,在 RtCDT 中，CD = 6, CT=8,则 DT = JctZ-CD '=2，AT=AD - DT = 8- 2/7,综上可得：线段 AT长度的最大值与最小值的和为14-2/7.故答案为：14-2".15 .如图，已知菱形 ABCD中，/ ABC=60° , AB=8,过线段 BD上的一个动点 P (不与 B、D重合)分别向直线 AB、AD作垂线，垂足分别为 E、F.

45、(1) BD的长是 8网 ；(2)连接PC,当PE+PF + PC取得最小值时，此时 PB的长是_4后_.C【分析】(1)连接AC,交BD与点O,因为菱形 ABCD中，/ ABC =60° ,可知 ABC 为等边三角形，AC = AB = 8,根据菱形性质求出 AO长，OB = OD, ACXBD,根据勾股 定理求出BO,即可求出BD;(2)延长FP交BC于点M, FM ± BC .根据角平分线的性质求得 PM=PE,由菱形的面 积求得FM的长度，所以要使 PE+PF+PC取最小值，只要 PC取最小值.当 CPXBD, 即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小，求出此时

46、 PB的长即可.【解答】解：(1)连接AC,交BD与点O,C .四边形 ABCD是菱形，/ ABC = 60° , .ABC为等边三角形， AC=AB=8,根据菱形性质得： AO= CO = -1-AC = 4, OB=OD, ACXBD,根据勾股定理得：BD=2OB = 2X 后匚蠢=8M ；(2)延长FP交BC于点M,则FM XBC. PM =PE,PE+PF= PF+PM= FM ,又 S 菱形abcd =AC?BD= BC?FM 2 -Lx 8X8,m=8?FM,即 FM = 4代，要使PE + PF + PC取最小值，只要 PC取最小值.当CPLBD,即点P与点。重合时，P

47、E+PF+PC的值最小.此时 PB=BO= DO = =BD=4百.故答案为：8/屈烟.三.解答题(共25小题)16.在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8, G为边AD的中点.(1)如图1,若E为AB上的一个动点，当 CGE的周长最小时，求 AE的长.(2)如图2,若E、F为边AB上的两个动点，且 EF = 4,当四边形 CGEF的周长最小时，求AF的长.【分析】(1)如图，作G关于AB的对称点M,连接CM交AB于E,那么E满足使 CGE的周长最小.接着利用 MAEs MCD即可求出AE的长度；(2)如图，作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH = 4,然后连接HM交AB于E, 接着在E

48、B上截取EF=4,那么E、F两点即可满足题目要求，最后利用相似三角形的性 质即可求出AF的长.【解答】解：(1) E为AB上的一个动点， .作G关于AB的对称点M ,连接CM交AB于E,那么E满足使 CGE的周长最小； .在矩形 ABCD中，AB=6, BC = 8, G为边AD的中点，,-.AG= AM=4, MD = 12, 而 AE / CD,AEMA DCM , .AE: CD = MA: MD,AE =OD 乂 MAMD(2) E为AB上的一个动点，.如图，作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH = 4,然后连接HM交AB于E,接 着在EB上截取EF = 4,那么E、F两点即可满足

49、使四边形 CGEF的周长最小.在矩形 ABCD中，AB=6, BC = 8, G为边AD的中点，,-.AG= AM=4, MD = 12,而 CH=4,DH =2,而 AE / CD,AEMA DHM.AE: HD = MA: MDft17.如图，在矩形 OABC中，已知A, C两点的坐标分别为 A (4, 0), C (0, 2), D为OA 的中点.设点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点 O重合).(1)试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2)当点P运动到与点B的距离最小时，求 P的坐标；(3)已知E (1, - 1),当点P运动到何处时， PDE的周长最小？求出此时点

50、P的坐标和 PDE的周长.D点坐标为(2, 0),则【分析】(1)由A (4, 0), C (0, 2), D为OA的中点，得到OC=OD,而点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点 O重合)，根据角平分线的性 质有ZCOP = Z DOP = 45° ,再根据三角形全等的判定方法易得POCA POD,则PC =PD;(2)过B作BP垂直/ AOC的平分线于 P点，过P点作PNx轴于N,交BC于M点, OP交BC于H点，易得 PHM、 COH和 PON都是等腰直角三角形， PHB是也等 腰直角三角形，得到PM垂直平分BH,而CH=CO=2,则BH=2,得到PM=-BH = 1,于是

51、有ON = PN=1+2=3,根据坐标的表示方法即可得到P点坐标；(3)连CE交/AOC的平分线于 P点，连PD、CD, ED,由OC=OD, OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD,则PC=PD,得到PD+PE=PC+PE=CE,根据两点之间线 段确定此时 PDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=- 3x+2,根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为(日,再利用勾股定理分别计算出CE=32 + l2=V10, DE = 7 12 + 12=V2,即可得到此时 PDE 的周长.【解答】(1)证明：: A (4, 0), C (0, 2), D为OA的中点, ，D点坐标为(

52、2, 0),.OC=OD,又.点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)， ./ COP=Z DOP = 45° , . POCA POD,PC= PD,即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；(2)解：过B作BP垂直/ AOC的平分线于 P点，过P点作PNx轴于N,交BC于M 点，OP交BC于H点，如图， . OP 平分/ AOC, ./ COP=Z NOP =45 ° , . PHM、 COH和 PON都是等腰直角三角形, . PHB是等腰直角三角形， PM垂直平分BH , .-.CH = CO=2,-.BH=4-2 = 2,. PM =-BH =1,.-.ON

53、=PN=1+2=3,.P点坐标为(3, 3);(3)解：连CE交/AOC的平分线于 P点，连PD、CD, ED,如图,. OC=OD, OP 平分直角 AOC, OP垂直平分CD,PC= PD,PD+PE= PC+PE=CE,此时 PDE的周长最小，设直线CE的解析式为y=kx+b (kw0),把 C (0, 2)、E (1, - 1)分别代入得，b=2, k+b= 1,解得 k= - 3, b= 2, 直线CE的解析式为y= - 3x+2,而P点的横纵坐标相等，设P (a, a),把P点坐标代入 y= - 3x+2得，a= - 3a+2,解CE=DE = J2+2 = 血, 此时 pde的周

54、长=Vs+Vni.18.如图，在平面直角坐标系中,AB / OC, A (0, 12) , B (21, 12) , C (16, 0). 一动点P从点A出发，在线段 AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B运动；动点Q从点。出 发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，点P、Q分别从点A、O同时出 发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为 t (秒).(1)设APQC面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当t为何值时，四边形 PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标;(3)当t为何值时， PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出X 12- P点纵坐标为- S=

55、X 12X12,(16 t) = - 6t+96 ;P、Q两点的坐标.(2)由题意得：AP = 2t, QO = t,则：PB=21-2t, QC= 16-t, 当PB = QC时，四边形PQCB是平行四边形, .21 -2t=16- t,解得：t=5, P (10, 12), Q (5, 0);(3)当 PQ=CQ 时，过 Q作 QNXAB, 由题意得：122+t2= (16t) 2,解得：t=_L,故 P (7, 12) Q (看,0),当PQ=PC时，过P作PMx轴,由题意得：QM = t, CM = 16-2t,t= 16- 2t,解得：t=，2t谭故 P (结,12) Q 3，0).3319.四边形 ABCD在坐标系中的坐标为 A (8, 0) , B (6, 4) , C (0, 4) , 0(0, 0), P点 在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒 2个单位；Q点在A0上从A点向。点运 动，运动速度为每秒 3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停 止运动，设运动时