空间直角坐标系-解析几何

1、返回目录返回目录 1.空间直角坐标系的概念 （1）OABCDABC是单位正方体是单位正方体.以以O为原点，为原点，分别以射线分别以射线OA,OC,OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单位长，建立三条数轴的长为单位长，建立三条数轴:x轴轴,y轴轴,z轴轴.也就建立了一个空间直角坐标系也就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，其中点，其中点O叫做叫做坐标原点，坐标原点， 叫做坐标轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做的平面叫做 ,分别称为分别称为xOy平面平面,yOz平平面面,zOx平面平面.x轴轴,y轴轴,z轴轴 坐标平面坐标平面 返回目录返回目

2、录 (2)在平面上画空间直角坐标系在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使时，一般使xOy= ，yOz= .(3)点点P在各坐标平面内的特点在各坐标平面内的特点若点若点P在在xOy平面内，则平面内，则P的坐标为的坐标为 ;若点若点P在在xOz平面内，则平面内，则P的坐标为的坐标为 ;若点若点P在在yOz平面内，则平面内，则P的坐标为的坐标为 .(4)点点P在坐标轴上的特点在坐标轴上的特点若点若点P在在x轴上轴上,则则P的坐标为的坐标为 ;若点若点P在在y轴上，则轴上，则P的坐标为的坐标为 ;若点若点P在在z轴上，则轴上，则P的坐标为的坐标为 .135 90 (x,y,0) (x,0,z) (

3、0,y,z) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 返回目录返回目录 2.空间两点间的距离公式 设设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，则，则d(P1,P2)= 特别地，特别地，P(x,y,z)到原点到原点的距离的距离d(O,P)= . 3.空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式 (1)已知已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则则P1P2的中点的中点P的的坐标为坐标为 . (2)已知已知ABC的三顶点的三顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则则ABC的重心的重心G的的坐标为坐标为 .2 21 12

4、22 21 12 22 21 12 2) )z z- -(z(z) )y y- -(y(y) )x x- -(x(x+2 22 22 2z zy yx x+2 2z zz z, ,2 2y yy y, ,2 2x xx x2 21 12 21 12 21 1+3 3z zz zz z, ,3 3y yy yy y, ,3 3x xx xx x3 32 21 13 32 21 13 32 21 1+返回目录返回目录 在四棱锥在四棱锥 PABCD中中 ， 底面底面ABCD是一直角梯形，是一直角梯形，BAD=90, ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面底面ABCD，PDA=30,AEPD于

5、于E.试建立适当的坐标试建立适当的坐标系，求出各点的坐标系，求出各点的坐标.由题意易知，由题意易知，AP，AB，AD两两互相垂两两互相垂直，故以直，故以A为坐标原点，以为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分所在的直线分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系.返回目录返回目录 如图所示，以点如图所示，以点A为坐标原点，以为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系坐标系. AB=BC=a，点点A（0，0，0），）， B（a，0，0），）， C（a，a，0）. AD=2a，D（0，2a，0）.

6、 PA底面底面ABCD，PAAD.又又PDA=30,PA=ADtan30= a.故点故点P(0，0， a).面面PAD面面ABCD，过，过E作作EFAD于于F，则，则F为为E在底面在底面ABD内的射影，在内的射影，在RtAED中，中，EDA=30,AE= AD=a,故故E(0， ， a).返回目录返回目录 3 33 32 23 33 32 22 21 12 2a a2 23 3返回目录返回目录 在建立空间直角坐标系求点的坐标时，在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上

7、行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.设正四棱锥设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为的所有棱长均为a,建立适当的建立适当的坐标系坐标系,求点求点S,P1,P2,P3和和P4的直角坐标的直角坐标.以底面中心作为坐标原点以底面中心作为坐标原点,棱棱P1P2,P1P4分别垂直于分别垂直于Oy轴和轴和Ox轴轴(如图如图).正四棱锥正四棱锥SP1P2P3P4如图所如图所示示,其中其中O为底面正方形的中为底面正方形的中心心,P1P2Oy轴轴,P1P4Ox轴轴,SO在在Oz轴上轴上.返回目录返回目录 d(P1,P2)=a,而而P1,P2,P3,P4均在均在xOy平面上平面上,P1( , ,0),

8、P2( , ,0).又又P3与与P1关于原点关于原点O对称对称,P4与与P2关于原点关于原点O对称对称,P3( , ,0),P4( , ,0).又又d(S,P1)=a,d(O,P1)= a,在在RtSOP1中中,d(S,O)=S(0,0, ).返回目录返回目录 2 2a a2 2a a2 2a a- -2 2a a2 2a a- -2 2a a- -2 2a a- -2 2a a2 22 2a a. .2 22 22 2a a- -a a2 22 2=a a2 22 2返回目录返回目录 正方形正方形ABCD，ABEF的边长都是的边长都是1，而且平面，而且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直

9、，点互相垂直，点M在在AC上移动，点上移动，点N在在BF上移动，若上移动，若CM=BN=a（0a ）.（1）求）求MN的长；的长；（2）求）求a为何值时，为何值时，MN的长最小的长最小. 条件中存在两两垂直的三条直线，故可条件中存在两两垂直的三条直线，故可以建立空间直角坐标系以建立空间直角坐标系.2 2返回目录返回目录 面面ABCD面面ABEF， 面面ABCD 面面 ABEF=AB,ABBE, BE面面ABC.AB，BC，BE两两垂直两两垂直. 以以B为原点，以为原点，以BA，BE，BC所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴和轴和z轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系建立如图所示空间直角坐标

10、系. 则则M( a，0，1- a),N( a , a，0). |MN|= 当当a= 时时,|MN|最短最短,为为 ，此时，此时,M，N恰为恰为AC，BF的中点的中点.返回目录返回目录 2 22 22 22 22 22 22 22 22 21 1) )2 22 2- -( (a a1 1a a2 2- -a a0 0) )- -a a 2 22 2- -1 1 ( (a a) ) 2 22 2 - -0 0( (a a) )2 22 2- -a a2 22 2( (2 22 22 22 22 2+=+=+2 22 22 22 2利用空间两点间距离公式求线段利用空间两点间距离公式求线段MN的长的长

11、度，再利用二次函数求线段度，再利用二次函数求线段MN长的最小值，这也是最长的最小值，这也是最基本的方法基本的方法.返回目录返回目录 返回目录返回目录 在正四棱锥在正四棱锥SABCD中，底面边长为中，底面边长为a，侧，侧棱长也为棱长也为a，以底面中，以底面中心心O为坐标原点，建立为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐如图所示的空间直角坐标系，标系，P点在侧棱点在侧棱SC上，上，Q点在底面点在底面ABCD的对的对角线角线BD上，试求上，试求P，Q两 点 间 的 最 小 距 离两 点 间 的 最 小 距 离 . 由于由于SABCD是正四棱锥，所以是正四棱锥，所以P点在底面上的射点在底面上的射 影影R在

12、在OC上，又底面边长为上，又底面边长为a，所以，所以OC= a，而侧棱长，而侧棱长也为也为a，所以，所以SO=OC，于是，于是PR=RC，故可以设，故可以设P点的坐标点的坐标为为(-x，x， a - x)（x0）,又又Q点在底面点在底面ABCD的对的对角线角线BD上，所以可设上，所以可设Q点的坐标为（点的坐标为（y，y，0），因此），因此P，Q两点间的距离为两点间的距离为 d= 显然当显然当x= ，y=0时时d取得最小值，取得最小值，d的最小值等的最小值等于于 ，这时，这时，P恰好为恰好为SC的中点，的中点，Q恰好为底面的中心恰好为底面的中心.返回目录返回目录 2 22 22 22 22 24

13、 4a a2y2y) )4 4a a - -4(x4(xx)x)2 2- -a a2 22 2( (y)y)- -x x( (y)y)- -(-x(-x2 22 22 22 22 22 2+=+4 4a a2 2a a返回目录返回目录 如图所示如图所示,以棱长为以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系标轴建立空间直角坐标系,点点P在正方体的对角线在正方体的对角线AB上上,点点Q在棱在棱CD上上.(1)当点当点P为对角线为对角线AB的中点的中点时时,点点Q在棱在棱CD上运动时上运动时,探探究究|PQ|的最小值的最小值;(2)当点当点P在对角线在

14、对角线AB上运动上运动,点点Q在在棱棱CD上运动时上运动时,探究探究|PQ|的的最小值最小值.返回目录返回目录 (1)因为因为B(0,0,a),A(a,a,0),P为为AB的中点的中点,所以所以P( , , ). 又因为又因为Q在在CD上运动，所以可设上运动，所以可设Q（0,a,z0),其中其中z00,a,因此因此 |PQ|= 可知可知,当当z0= 时时,|PQ|取最小值取最小值 a.先写出相关点的坐标先写出相关点的坐标,再根据两点间距离再根据两点间距离公式求最值公式求最值.2 2a a2 2a a2 2a a, ,2 2a a) )2 2a a - -(z(z ) )z z- -2 2a a

15、( (a)a)- -2 2a a( (0)0)- -2 2a a( (2 22 20 02 20 02 22 2+=+2 2a a2 22 2 (2)显然显然,当当P在在AB上运动时上运动时,P到坐标平面到坐标平面xOz,yOz的的距离相等距离相等,且且P在第一象限在第一象限,所以可设所以可设P(t,t,a-t),t0,a,又又Q在在CD上运动上运动,所以可设所以可设Q(0,a,z0),z00,a, 所以所以|PQ|= 当且仅当当且仅当z0=t= 时时,|PQ|取最小值取最小值 a.返回目录返回目录 2 2a a+ +) )2 22(t-2(t-+ +a)a)t-t-+ +(z(z= = )

16、)z zt-t-(a-(a-+ +a aat+at+2 2- -t t2 2= = ) )z zt-t-(a-(a-+ +a)a)(t-(t-+ +0)0)(t-(t-2 22 22 20 02 20 02 22 22 20 02 22 22 22 22 2返回目录返回目录 (1)解决这类题的关键是正确地写出相关解决这类题的关键是正确地写出相关点的坐标，否则就会出现错误的答案点的坐标，否则就会出现错误的答案. (2)就本题而言就本题而言,从表面上看从表面上看,是用变量表示了是用变量表示了|PQ|,求出了求出了P,Q两点距离的最小值两点距离的最小值,事实上事实上,从几何角度上看从几何角度上看,第

17、第(1)问中问中,P,Q的最小距离也就是定点的最小距离也就是定点P到定直线到定直线CD的的距离距离.第第(2)问中问中,P,Q的最小距离就是异面直线的最小距离就是异面直线AB与与CD间的距离间的距离.因此因此,本题也可以用立体几何知识证得本题也可以用立体几何知识证得,当当P,Q分别为分别为AB,CD的中点时的中点时,PQ就是就是AB与与CD的公垂线段的公垂线段,这时的这时的|PQ|就是就是|PQ|的最小值的最小值,从而可知空间两点的距从而可知空间两点的距离公式在立体几何有关距离的问题中有很大用途离公式在立体几何有关距离的问题中有很大用途.返回目录返回目录 (1)若点若点P(x,y,z)到到A(

18、1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等两点的距离相等,则则x,y,z满足的关系式是满足的关系式是 ;(2)若点若点A(2,1,4)与点与点P(x,y,z)的距离为的距离为5,则则x,y,z满足的满足的关系式是关系式是 ;(3)已知空间两点已知空间两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3).在在z轴上有一点轴上有一点C,它到它到A,B两点的距离相等两点的距离相等,则则C点的坐标是点的坐标是 .返回目录返回目录 (1) 2x+2y-2z-3=0(2) (x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25(3)(0,0, ) (1)由由|PA|=|PB|得得 即即(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2. 化简得化简得2x+2y-2z-3=0.2 23 3, ,z z1 1) )- -( (y y2 2) )- -( (x x1 1) )- -( (z zy y1 1) )- -( (