第一章初等函数的连续性

1、初等函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.

2、1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)(成立成立

3、恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意义意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，接取在内层，.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 注注1.定理的条件：定理的条件：内层函数有极限，外层函数内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2例例1

4、1.)1ln(lim0 xxx 求求解解xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln . 1 例例2 2.1lim0 xexx 求求解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy 原式原式yyy10)1ln(1lim . 1 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 定理定理4 4.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0

5、,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基

6、本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .注意注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限

7、的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例3 求求xxsinlnlim2 解解是是初初等等函函数数xysinln 它的一个定义区间是它的一个定义区间是), 0( ), 0(20 x而而2sinlnsinlnlim2 xx0 例例4 4.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 例例5 求求)1arcsin(lim2xxxx 解解 都都和和时，时，当当221xxxx不能应用差的极限运算法则，须变形不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限先分子有理化，然后再求极限)1(lim2xxxx xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 )1arcsin(lim2xxxx )1(limarcsin2xxxx 621arcsin 四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性反函数的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.思考题思考题思考题解答思考题解答21)(xxg 0, 10