平面向量的坐标表示

1、7.2.2 平面向量的坐标表示7.2.3 共线向量的坐标表示课 型： 新授课 课 时：1 课时 一、教材分析1. 前面学习了平面向量的坐标表示 , 实际是平面向量的代数表示 .在引入了 平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化 ,将数与形紧密结合起来 , 这就可以 使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算 .2. 本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律 , 推导两个向 量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算 . 推导的关键是灵活运用向量线性 运算的交换律、结合律和分配律 .3. 引进向量的坐标表示后 , 向量的线性运算可以通过坐标运算来实现 , 一个 自然的想法是向量的某些关

2、系 , 特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研 究呢?前面已经找出两个向量共线的条件 （如果存在实数 ,使得 a b,那么 a与b共线）, 本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示 . 这种转化是比 较容易的 ,只要将向量用坐标表示出来 , 再运用向量相等的条件就可以得出平面 向量共线的坐标表示 .要注意的是 ,向量的共线与向量的平行是一致的 . 二、教学目标1、知识与技能目标进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、 减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件 .2、过程与方法 在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行

3、 的坐标表示；最后通过讲解例题， 巩固知识结论， 能利用两向量共线的坐标表示 解决有关综合问题，培养学生应用能力 .3、情感态度与价值观 通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识 事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神 .、教学重点、难点 重点 ：平面向量的坐标运算 .难点 ：对平面向量共线的坐标表示的理解 .四、教学过程1、创设情境前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标 运算。这就为解决问题提供了方便。 我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一 个实数 ,使得 a b，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 复习引入

4、：平面向量的坐标表示分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得a xi yj把 (x, y)叫做向量 a的(直角)坐标，记作 a (x,y)其中 x叫做 a在x轴上的坐标， y叫做 a在 y轴上的坐标， 特别地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0). 因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。2、新知探究(1)问题 1：我们研究了平面向量的坐标表示 , 现在已知 a (x1, y1),b (x2, y2),你能得出 a b,a b, a 的坐标表示吗 ?活动: 教师

5、让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、 减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤 .可得:a b (x1iy1j)(x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j即a b (x1x2,y1y2)a b (x1i y1j) (x2i y2j) (x1 x2)i (y1 y2)ja (x1i y1 j) x1i y1 j 即 a ( x1, y1)结论 : 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于数乘上向量相应坐标的积 .例 1：已知 ar =(2 ,1) ， b =(-3 ,4) ，求 ar +b ，ar - b，3ar +4b.解： a b (2,

6、1) ( 3,4) (2 3,1 4) ( 1,5)a b (2,1) ( 3,4) (2 ( 3),1 4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) (6 12,3 16) ( 6,19) r r r r r r练习：已知 a=(-2 ,4) ，b=(1 ,2) ，求a+b，-3 a-2b.(2)问题 2：如何用坐标表示两个共线向量 ?若 a (x1,y1),b (x2, y2), 那么y1 y2 是向量 a,b 共线的什么条件 ?活动: 教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系 .此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨 : 设a (

7、x1,y1),b (x2,y2),其中 b 实数 , 使得 a 如果用坐标表示 ,可写为(x1,y1)0.我们知道 , a,b共线,当且仅当存在 b(x2, y2).x1x2y1y2消去 后得x1y2 x2 y1 0.这就是说 , 当且仅当 x1y2 x2y1 0时向量 a,b ( b 0) 共线.又我们知道 x1y2 x2y1 0与 x1y2 x2 y1x 是等价的 ,但这与 y1 y2 是不等价的 . x1 x2因为当 x1 x2 0 时, x1y2 x2y10成立,但 y1y2均无意义.x1x2因此 y1 y2 是向量 a,b 共线的充分不必要条件 x1 x2注：1消去 时不能两式相除

8、, y1, y2有可能为 0,而b 0,x1,y2中至少有一 个不为 0.abx1y2 x2 y1 02充要条件不能写成 y1 y2 ( x1,x2有可能为 0). x1 x23从而向量共线的充要条件有两种形式 : a b (b 0)3、典型例题例1已知a (4,2) ， b (6,y)，且ab，求 y. 解： ar /br ， 4y 2 6 0 y 3点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解 .变式训练：已知平面向量 a (1,2) ，b ( 2,m) ，且a/b，则2a 3b等例2: 已知A( 1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，试判断A 、 B 、 C三点之间的位置关系解:

9、在平面直角坐标系中做出 A、 B、C 点共线，下面给出证明 .uuur uuur AB (1 ( 1),3 ( 1) (2, 4) ， AC 又 2 6 3 4 0，uuur uuur AB/ AC .直线 AB 、直线 AC 有公共点 A 点评: 若从同一点出发的两个向量共线 变式训练 2：若 A( x，-1)例 3：设点 P是线段 P1P2 上的一点B（1 ，3） ，C（2 ，5）P1、点，观察图形我们猜想 A、 B、C 三(2 ( 1),5 ( 1) (3,6) ， A ， B ， C 三点共线则这两个向量的三个顶点共线 .三点共线，则 x 的值为 P2 的坐标分别是 (x1,y1),(

10、x2,y2).(1) 当点 P是线段 P1P2 的中点时，求点 P的坐标； (2) 当点 P是线段 P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标 .x解：（1）如图（1）由向量的线性运算可知 OP12 (OP1 OP2)x1 x2 y1 y2所以，点 P的坐标为 x12x2,y12y2P 是线段2）如图，当点P1P2 的一个三等分点时，有两种情况，即P1P 1 PP2 或P1P212PP2 .如果 P1P 1 PP2 (图22）, 那么OP OP1P1POP113P1P2OP1(OP2OP1)2OP1 1OP23 1 3 22x1 x2 2y1y2即点 P 的坐标为：2x1 x2 2y1 y233同理，如果 P1P 2PP2时（图（3），那么点 P的坐标为： x1 32x2 , y1 32y2点评: 此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式 .4、课堂小结熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；