《数学物理定解问题》ppt课件

1、第三篇第三篇 数学物理方数学物理方程程1.; 所谓数学物理方程数学物理方程，主要是指物理学和工程科学与技术中导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程(和积分方程). 本篇主要介绍三类典型的二阶线性偏微分方程：波动方程、热传导方程和稳定场方程及有关定解问题的几种常见解法 基本概念2第九章第九章 数学物理定解问题数学物理定解问题 偏微分方程作为一门数学分支，它是人们在对一些物理问题，如弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导等物理现象进行研究后总结出来的. 人们通过研究这些物理现象，总结它们的物理规律，并将物理规律转化为数学的形式，就得到了偏微分方程. 由于偏微分方程是从物理问题中归结出来的，所以也称之

2、为数学物理方程数学物理方程，简称数理方程数理方程.在数学上，也称数理方程为泛定方程泛定方程.3 由于偏微分方程反映的是同一类物理现象的共同规律，所以仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性.就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，即初始条件初始条件和边边界条件界条件.在数学上，初始条件和边界条件合称为定解条定解条件件. 偏微分方程用来描述同一类物理现象的共性，是解决问题的依据，定解条件则反映了具体问题的个性，指出了问题的具体情况. 泛定方程和定解条件合为一体，就称为数学物理定解问题数学物理定解问题.数学物理方程这一部分的任务就是：在定解条件下，求解泛定方

3、程.49.1 数学物理方程的导出9.2 定解条件9.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简9.4 行波法和DAlembert公式章节安排5第一节 数学物理方程的导出 一、一、 波动方程波动方程假设有一根均匀且柔软的弦，沿水平方向紧绷，给它一个很小的横向扰动，使弦在铅直平面内作微小横振动，求弦上各点的振动情况，即弦上任意一点在任意时刻的横向位移.弦的振动是一种机械运动，机械运动的基本定律是质点力学的 ，然而弦并不是质点，所以对整根弦并不适用. 但是，如果我们把整根弦细分为许多极小的小段，并将每个小段抽象为一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。amF 1. 均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横

4、振动 6 为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量的弦.129.1.1( , )( ,)( , )xu x ttxx xdxBdsF x tBTT如图所示，去弦的平衡位置为 轴，并以表示弦上任意一点，在某个时刻 沿垂直于 方向的位移，把弦细分为许多极小的小段，并任意选取一段区间上的小段 ，其长为，设是弦的线密度，没单位长度弦所受横向外力为，弧度 的两端所受邻段的张力分别为 和 。7Bt由于弦是柔软的且具有弹性，所以在任一点处，张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。现在考虑弧段 在某一时刻 的受力情况。图图9.1.1 均匀弦的微小横振动均

5、匀弦的微小横振动8ttxBBuu在沿 轴方向，由于弧段 没有纵向的运动，所以作用于 段的纵向合力为零。在 方向（横向）上，弦的横向加速度记为，22112211:coscos0(1):( , )sinsin()(2)t tFmaBTTF x t dsTTds u按照，弧段 的纵向和横向运动方程为纵向横向121211220,0cos1,cos1,sin,sin,.xxxx dxtgutgudsdx由于弦的振动是微小的，因此，从而21210(3)( , )()(4)xx dxxxttTTF x t dxT uTudx u这样，（1）式和（2）式可以简化为 921.TTxBdsdxdsBtT因此，弦中

6、张力于点 的位置无关，另外，由于，由于弧段 在振动过程中的每个时刻都有，即长度不随着时间而变，因此作用于 段的张力与时间 无关，从而，张力只能是常数，记作则（4）式化为( , )() (5) xx dxxxttF x t dxT uuu dx2( , )( , )xx dxxxxxxxxttttxxdxuuuxdxu dxF x tTuuBua uf x t 由于取得很小，所以（5）式简化为 （6）两端同时除以 ，并适当移项，得 段的运动方程为 （7）10( , )( , ).aTf x tF x ttx其中，表示振动在弦上的传播速度，表示力密度，即 时刻作用于 处单位质量上的横向外力由于B段

7、是任选的，所以方程（7）适用于弦上各点，（7）式即为整根弦的微小横振动方程，我们称之为弦的受迫振动方程受迫振动方程 如果弦在振动过程中是自由的（即不受外力作用），从而得到弦的自由振动方程自由振动方程02xxttuau（8） 11方程(7)与(8)的差别在于(7)的右端多了一个与未知函数无关的项,这个项称为自由项自由项.含有非零自由项的方程称为非齐次方程非齐次方程,自由项恒等于零的方程称为齐次方程齐次方程. 方程(7)为一维非齐次波动方程, 方程(8) 为一维齐次波动方程 .122杆的纵振动杆的纵振动假设有一根均匀且具有弹性的杆，杆的每单位长度上单位横截面积所受纵向外力为 ，杆在此力的作用下做微

8、小纵振动，求杆上各点的振动情况.),(txF图图9.1.2 杆的纵振动杆的纵振动139.1.2( , )xBBu x tdx如所示，以杆的纵向振动位移为研究对象，取杆长方向为 轴，在杆上去长为的一个小段 ， 段足够小，可看作质点.B|Young.xxxx dxxxdx ACxYuxdxYuY对 点进行受力分析：它在两端点 及处受邻段（ 段和 段）张应力的作用，根据胡克定律， 端单位面积上所受张应力为：，端单位面积上所受张应力为：，其中 为杆的模量|( , )( , )ttxx dxxxxxBS dxuY SuY SuF x t S dxY Su dxF x t S dx于是，根据牛顿第二定律，

9、 段的运动方程为 S其中 为杆的横截面积， 为杆的密度.1422( , )( , )( , )ttxxS dxua uf x tYF x taf x t上式两边同除以，并适当整理，得 ， (9)其中，这就是杆的受迫纵振动方程杆的受迫纵振动方程 2( , )00ttxxF x tua u如果杆在振动过程中是自由的，则杆的自由纵振动方程为 （10） 虽然杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们所满足的偏微分方程的形式却是完全一样的，这是因为他们满足同一类物理规律.我们将用来描述所有连续介质（弦、杆、膜、气体、电磁场等）振动过程的方程统称为波动方程波动方程，换句话说，波动方程可用来描述振动过程

10、.15弦的横振动方程和杆的纵振动方程中的空间坐标是一维的，更一般的，三维空间中的波动方程为),(2tzyxfuautt（11） 其中,2222222zyx（12） 为Laplace算符 16二二 热传导方程热传导方程 假设有一块热的物体，如果体内各处的温度是不均匀的，那么热量就会从温度高的地方向温度低的地方传递，这种现象就是热传热传导导.由于热量的传递过程总是表现为温度随着时间和点的位置的变化而变化，所以，解决热传导问题就要归结为求物体内温度的分布. 热传导方程的推导方法和波动方程的推导方法是类似的，不同之处只是在于具体的物理规律不同.这里要用到的是热学方面的两个基本规律：能量守恒定律能量守恒

11、定律和热传导的热传导的Fourier定律定律 首先简单介绍一下Fourier定律定律 17( , , )( , , ).u x y zx y ztxxq设有一块连续介质，表示介质内点在 时刻的温度如果沿方向存在温度差，当温度变化不大时，单位时间内通过垂直于 方向的单位面积的热量 与温度的空间变化率成正比，即xukq（13） , ,qkkx y zqu其中， 称为热流密度， 称为热传导系数， 与介质的材料有关，对于三维各向同性介质，如果在三个方向上都存在这温度差，则热流密度矢量 与温度梯度成正比ukq（14） 即 xukqxyukqyzukqz负号表示热流方向与温度的变化方向相反 18现在我们来

12、研究三维各向同性介质中的热传导方程 图9.1.3 热传导 9.1.3.( , , , )Fourierx y zF x y z tcktx 如图所示，在介质中分离出一个小的立方体，其体积为设介质内各点都是热源，单位时间内单位体积产生的热量为，介质密度为 ，比热为 ，热传导系数 为常量.根据定律，时间内沿 方向流入立方体的热量为：19tzyxxuktzyxutzyxukdQdxxxx22)(ty同理，时间内沿 方向流入立方体的热量为：tzyxyukdQy22tz 时间内沿 方向流入立方体的热量为:tzyxzukdQz2220t因此，时间内流入立方体的总热量为zyxdQdQdQdQ根据能量守恒定律

13、, tuzyxctzyxtzyxFtzyxzuyuxukt),(222222并得热传导方程),(2ttzyxfuau如果介质内没有热源 ，则热传导方程简化为02uaut（17） 21与热传导类似，由于物质浓度的不均匀而导致粒子扩散的输运过程也可以通过方程（16）或（17）来描述，我们称这一类方程为热传导方程热传导方程或输运方程。输运方程。 从物理的观点来看，输运方程是用来描述输运过程的，当我们研究热的传导、粒子的扩散、粘性液体的流动等物理现象时，就会得到输运方程.22三三 稳定场方程稳定场方程在热传导问题中，在一定条件下，当物体的温度达到稳恒状态（不随时间的变化而变化）时 ，温度分布所满足的热

14、传导方程就会转化为Poisson（泊松）方程（泊松）方程0tu 或者Laplace方程方程 ),(tzyxfu （18） 0u（19） Poisson方程和Laplace方程统称为稳定场方程稳定场方程. 稳定场方程可以用来描述一切稳定的物理状态，如稳定的电场和磁场、不可压缩液体的位流、稳定热场等等.23最后指出，量子力学中描述微观粒子运动的薛定谔方程Vuumuit22（20） 也是一种线性偏微分方程，其中表示波函数，表示势能.不过我们无法推导薛定谔方程，它的正确性是从它所推断出的结论与实验结果符合得较好而被证实的.注意，它的左端有一个虚数，因此它的性质与经典的热传导方程有很大区别.24第二节

15、定解条件定解条件 上一节中推导出的偏微分方程，可以用来描述具有某种共同物理规律的一类物理现象，但并不能惟一地、确定地描写某一个具体的物理过程.为了完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就要构成一个定解问题，即除了微分方程，还必须有初始条件和边界条件. 25一初始条件一初始条件 初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任意一点的状态分布情况意一点的状态分布情况.振动问题振动问题 从物理的角度考虑，对于波动方程，应该给出初始时刻的“位移”和“速度”；从数学的角度看，由于波动方程关于时间的偏导是二阶的，因此需要列出两个初始条件：)()(00 xu

16、xuttt26例例1 有一根长为 的两端固定且紧绷的弦，用手将弦的中点横向拨开距离 ，如图9.2.1所示，然后轻轻放手任其振动，试写出初始条件.lh图图9.2.1 27解解：显然，弦的振动满足波动方程，初始时刻就是轻轻放手的那个瞬间，初始条件就是放手瞬间弦的位移和速度.由于是轻轻地放手，所以初速度为零，即0|0ttu初始位移为lxlxllhlxxlhut2,)(220,2|0而不能写成 hut0|28输运问题输运问题 对于热传导方程，由于方程中只出现了未知函数关于时间的一阶偏导数，所以只需要给出初始温度 一个条件即可 )(0 xut稳定问题稳定问题 对于稳定场方程，由于方程中不出现关于时间的偏

17、导数，与时间无关，因此不需要初始条件 29二边界条件二边界条件我们知道，超距作用在物理学中是不存在的，研究对象总是通过边界与外界相接触，所以外界对研究对象的作用只能通过边界来进行，对于具体的物理问题，我们就必须清楚边界所处的物理状态，即边界条件. 边界条件应该完全描写边界上各点在任意时刻（边界条件应该完全描写边界上各点在任意时刻（ ）的状态分）的状态分布情况布情况. 0t常见的线性边界条件通常分为三类：第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件 30第一类边界条件第一类边界条件 直接给出所研究的物理量在边界上的数值的边界条件称为第一类边界条件，即),(| ),(000),(000tzyxftz

18、yxuzyx边界（1） 20 xxl例 在弦的横振动中，若弦的两端和始终是固定的，则边界条件为0|, 0|0lxxuu（2） 31其中（2）中的函数值为零，称为第一类齐次边界条件；（3）中的函数值不为零，称为第一类非齐次边界条件。00( )xUxlf t例3 在细杆导热问题中，若杆的一端与一恒温热源接触，另一端的温度始终按一直规律变化，则边界条件为)(|,|00tfuUulxx（3） 32第二类边界条件第二类边界条件 直接给出所研究的物理量在边界外法线方向的方向导数的边直接给出所研究的物理量在边界外法线方向的方向导数的边界条件称为第二类边界条件界条件称为第二类边界条件，即 （4） ),(|00

19、0),(000tzyxfnuzyx边界其中，n表示外法线方向 3340( ).xxlf t例 在杆的纵振动问题中，若杆的一端是自由的，另一端受沿杆长方向外力的作用，单位横截面积上所受力为，试写出其边界条件图图9.2.29.2.2 :9.2.2xlFma解 靠近端点处截取一个长度为 的小段，如图所示，根据，对小段进行受力分析，得ttlxxusstfuYs)(34Ytfulxx)(|（5） 0( )0 xf t特别地，若端是自由的，即，则有0|0 xxu（7） 0( )xf t同理，若在端有沿外法线方向的外力的作用，则边界条件为Ytfuxx)(|0（6） 0 xl令，即得端的边界条件为3550(

20、).xxlf t例 在细杆导热问题中，若杆的一端绝热，另一端有热流沿该端点外法线方向流出，试写出边界条件xl根据热传导定律，端的边界条件为( )|( ),|nx lxx lf tkuf tuk 即（8） 00|0|0nxxxkuu，即（9） 36第三类边界条件第三类边界条件 第三类边界条件既不直接给出所研究物理量在边界的函数值，也不直接给出所研究物理量在边界外法线方向的方向导数的函数值，而是给出二者的线性组合在边界上的值线性组合在边界上的值，即 ),(| )(000),(000tzyxfHuuzyxn边界（10） xl例6 在杆的纵振动中，若杆端受到由弹簧提供的弹性作用力则根据胡克定律，有|,

21、()|0 xx lx lxx lYSYSukuuuk 即（11） 377xlxl例 在细杆导热问题中，若端自由冷却（杆端和周围介质(温度为 )按牛顿冷却定律交换热量），则端的边界条件为|( |),()|xx lx lxx lkkuh uuuh即（12） kh其中 为热传导系数， 为热交换系数38其他条件其他条件 现实世界中的物质系统一般都是有限的，存在着边界，比如任意一根弦都是有限长的，存在两个端点.但是，当我们着重讨论靠近某一端的那段弦时，在不太长的时间里，另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说在无限远处，这样，有限长的弦就抽象成半无界的弦了，自然不需要提出另一端的边界条

22、件.如果我们着重讨论不靠近两端的那段弦，在不太长的时间里，两端的影响都还没来得及传到，不妨认为两端不存在或者说两端都在无限远处，这样，有限长的弦就抽象成无界的弦了，当然不需要提出边界条件.这就是无界条件无界条件和半无界条件半无界条件. . 39 一般来说，由泛定方程和定解条件构成的定解问题一定可以求出特解，但是必须指出的是：如果我们所研究的系统是由不同特性的几种介质组成的，那么在定解条件中除了初始条件和边界条件外，在两种介质的交界面（或交界线、交界点）上还应当有衔接条件衔接条件.401212128( , )|( , )| ,| .ssxsxsYYsu x tux tYSuY Su例 在杆的振动

23、中，若杆是由两种不同材料的杆（杨氏模量分别为 、 ）构成的，其交界面为 ，则由于材料不同会导致杆的传播速度不同，从而两段杆上的振动方程也是不一样的，而且在交界面出根本无法写出微分方程，只能以衔接条件代之，衔接条件为 （位移相等，否则会断裂） (张应力相等) 41129s例 在静电场问题中，若空间由两种介质构成（介电常数分别为 、 ）交界面为 ，则在交界面上，电势应当连续，从而有衔接条件ssuu|21（15） 12DD DEu 另外，电位移矢量和 （）的法向分量也应该连续，从而有衔接条件snsnuu|21（16）42 在某些情况下，出于物理上的合理性等原因，要求解为单值、有限等条件，提出所谓的自

24、然边界条件自然边界条件，如Euler方程0) 1(22 yllyxyx的通解为)1( llBxAxy00, xay在区间上，物理上总是要求解有限，从而有自然条件 有限Euler0, .layAx因此方程在区间上的解为43三定解问题的适定性三定解问题的适定性 由物理模型建立的定解问题能否反映客观规律性，这需要依靠实践的检验.然而，从数学上可以由以下三个方面加以论证：第一，定解问题的解是否存在，即解的存在性存在性问题；第二，定解问题的解是否只有一个，即解的惟一性惟一性问题；第三，当定解条件发生微小变化时，定解问题的解的变化是否也是微小的，即解的稳定性稳定性问题.44 解的存在性和惟一性很容易理解，

25、下面简单介绍一下解的稳定性问题.解的稳定性问题主要是讨论当定解条件发生微小变化时，相应的解该如何变化.我们在研究物理现象时,定解条件是通过测量得到的,而测量就不免有误差.如果定解条件的微小误差导致解的极大变化,那么我们所考虑的定解问题就不能正确地反映实际的物理问题,因而求得的解是无意义的.相反地，如果定解问题的解是稳定的,那么,只要定解条件的误差在一定的范围之内,我们所得到的解就必然近似于所要求的解. 定解问题的解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性适定性.如果一个定解问题的解是存在的惟一的而且稳定的,我们就说,该定解问题是适定的.45第三节第三节 二阶线性偏微分方程的分类与化简二阶

26、线性偏微分方程的分类与化简 一二阶线性偏微分方程一二阶线性偏微分方程 在数理方程的建立过程中，我们主要讨论了三类典型的偏微分方程：波动方程、热传导方程和稳定场方程这三类方程描写了不同的物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点，但是从形式上它们都属于二级线性偏微分方程. n一个含有 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为fcuxuBxxuALuniiinjijiji11,2（1） 12, ,i jinAB c fxxxu其中都只是自变量的已知函数，与未知函数 无关46二叠加原理二叠加原理线性偏微分方程（9.3.1）具有一个非常重要的特征，我们称之为叠加原理叠加原理，即若

27、 是线性偏微分方程 iuiifuL, 2 , 1i（2） 1iiiucuu的解，而且收敛，并且能够逐项两次微分，则 一定是方程iiifcuL1（3） 的解。 471,2,iu i 特别地，若（）是二阶线性齐次偏微分方程0uL（4） 1.iiiucuu的解，则只要级数收敛，并且能够逐项两次微分， 一定也是该方程的解需要注意的是，叠加原理仅适用于线性问题，对非线性问题并不适用. 48第四节 行波法和DAlembert公式 我们在解常微分方程时，总是首先求出方程的通解，然后再利用附加条件确定通解中的常数系数，从而得到方程的确定解，这就是所谓的通解法通解法.现在我们利用通解法来尝试求解无限长的弦的自由

28、横振动问题. 一一DAlembert（达朗贝尔）公式（达朗贝尔）公式 49)(x)( x例例1 1 设有一根无限长的弦作自由横振动，弦上各点的初始位移为 初速度为，求弦上各点的振动情况 解：解： 列出定解问题列出定解问题 弦的自由横振动属于波动，因此可以用齐次波动方程来描述.由于弦是无限长的，在有限的时间内，当弦的两个端点的影响还没来得及传到时，不妨认为没有边界条件.因此，可以列出下面的定解问题2000(1)( ),( ) (2)ttxxtttua uux uxx 简化泛定方程简化泛定方程 泛定方程（1）为即 0)(uxatxat（3） 50作变量代换：令)(21)(21atx，即 atxat

29、x则在此变换下有1()21()2txatxatxtxatxatx （4） 51从而（1）简化为02u（5） 求泛定方程的通解求泛定方程的通解 方程（5）很容易求解：先对积分，有 求泛定方程的通解求泛定方程的通解 方程（5）很容易求解：先对积分，有)(fu( )f其中为 的任意函数；再对 积分，得到)()(21ffu（6） 12.ff其中 和 分别为 和 的任意函数52xatxat将和代入（6）式，即得泛定方程（1）的通解)()(),(21atxfatxftxu（7） 利用初始条件确定待定函数利用初始条件确定待定函数1f2f和和 为了使通解（7）满足初始条件（2），将（7）式代入（2）式，得 )()()()()()(2121xxf axf axxfxf0 xx对上式中的第二式第二式从到01210201( )( )( )()()xxf xfxdf xfxa 53于是001102021020111( )( )( )()(),22211