材料力学第10章-材料力学中的能量法要点

1、第10章材料力学中的能量方法几何法确定结为氏移的复杂性为了计算B点沿加力方向的位移，需要首先计加4杆 的伸长京和的缩短量r然后建立这些常与加力点的位移d 之间的关系.通过计算杓件或结构的应变能，可以确定杓件或结杓 在加力,极处沿加力方向的位移.但是，根据机械施守恒定律，难以确定构件或玷构上任 意点沿任意才向的位移，也不能确定构件或结杓上各点的位 移函数.第10章材料力学中的能量方法应用更广泛的能量方法，可以磷走：构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移: 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数.第10章材料力学中的能量方法本章桥介绍：功和能的基本概

2、念；虚位移原理；莫尔积分；计算莫尔积分的图乘法;t点是去本机念和田泉兴0第10章材料力学中的能量方法口基本概念 互等定理 口应用于弹性杆件的虚位移原理 计算位移的莫尔积分 直杆莫尔积分的图乘法 O 结论与讨论 基本概念第10章材料力学中的能量方法基本概念 作用在弹性杆件上的力所作的 常力功和变力功 杆件的弹性应变能 叠加原理的应用限制第10章材料力学中的能量方法基本概念作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功第10章材料力学中的能量方法基本概念作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，在这种情形F,力所作的功为变力功.对于材料清足朗克定律、又在小变形条件下工作的弹

3、性杆 件，作用在杆件上的力与位移成货性关系.这时，力所作的史力功为弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡. 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变,作用在弹性 体上的力.由于加力点的位移.也作功.但不是费力功.而是常力功:需要指出的是,上述功的表达式中.力和位移都是广义的.。,可以是一个力.也可以是一个力偈；当场是一个力时,对应 的位移和都是线位移，当6是一个力例时，对应的位移和 ,都是角位移.第10章材料力学中的能量方法基本概念杆件的弹性应变能杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变 为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有 对外作功的能力.这种能量称为弹性应变能，简

4、称 应变能 ©asUc energy).考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力 和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式, 然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式.第10章材料力学中的能量方法基本概念对于件和质明杵件,微段 的应变能为d匕二5"八（小）拉伸和压缩杆件的应变能为，72EA第10章材料力学中的能量方法基本概念MM忽略剪力影响，微段的应变能为代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式d”_Wd0一其中d。为微段两截面绕中性轴相对转过的 角度.EI咫于未受扭转的宣硒微段的应变能为也叫手,“其中dp为徽段两截面绕杆轴线的相 对扭转角；代入上式积分后，得到圆轴

5、扭转时 的应变能表达式第10章材料力学中的能量方法基本穗念在小变形的情形下，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时,由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因 而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和.于是有V=FJ/*1 2办 IE! 2；/p对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计区 然后相加：v -yl”J 2EA 乙 2E1 V 2矶成者采用积分计算：3衾.仪若泣!提第10章材料力学中的能量方法基本概念第10章材料力学中的能量方法基本微含上述应变能表达式必须在小变形条件下,并且 在弹性范围内加载时才适用第10章材料力学中的能量方法基本概念1=/11+ |7第10章材料力

6、学中的能量方法基本概念线弹性，近与 可以 先施，但应变熊不熊叠加M第10章材料力学中的能量方法基本概念第10章材料力学中的能量方法基本概念第10章材料力学中的能量方法基本概念不同的内力分量引起的应变能，在什么条件下才能叠加？第10章材料力学中的能量方法第10章材料力学中的能量方法互等定理线谭性 K 与可以总加，但应支能不能叠加第10章材料力学中的能量方法互等定理应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的 互等定理与位移互等定理.第10章材料力学中的能量方法互等定理功的互等定理位移互等定理“s系统心系统第10章材料力学中的能量方法互等定理功的互等定理(reciprocal theorem of w

7、ork)功的互等定理，一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。功的互等定理的证明F§系统a系统匕=7八+,4+ ；小、十g G/Si十：十十J FjK第10章材料力学中的能量方法互等定理功的互等定理的证明小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载 顺序无关.而应变能只与最后的变形状态有关。功mi互等定理的证明+ %1劭 + Fp2dsp2 + fp/Fp/spi + Fp/sp?十+ Fp/5P 僧=/4si+% j44s”功的互等定理；一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的

8、力在这一 个力系弓I起的相应的位移上所作之功。第10章材料力学中的能量方法互等定理顼的立等定理-特殊滑形第10章材料力学中的能量方法互笠定理第10章材料力学中的能量方法互等定理位移互等定理第10章材料力学中的能量方法互等定理若一个力与另一个力数值相等，则一个力在 另一个力作用处引起的位移，数值上等于另一个 力在这一个力作用处引起的位移.力是广义的，位移也是广义的.第10章材料力学中的能量方法虚位移原理返回©月更返回第10章材料力学中的能量方法虚位移原理 虚位移原理 应用虚位移原理计算各种受力形式 下的内力虚功 虚位移模式的多样性 虚位移原理的应用条件虚位移原理第10章材料力学中的能量

9、方法虚位移原理刚体的成伍移原理对于作用在刚体上的平衡力系，当给刚体一微小 虚位移时，如果仍然保持平衡，则该力系中所有的力 （包括力偶）在各自的虚位移上所作之功之和等于零。% 之0第10章材料力学中的能量方法墟位移原理作用在刖体上的力为耳已£各加力点的虚位移分别为， 心,包,e外力在虚位移上所作之功为，对于刚体，虚位移原理的表达式为叱=工4芭=。第10章材料力学中的能量方法虚位移原理叱=£个月=。为了计算力所作之功，格力和位移均分解为X和V方向两 个分量：号;凡及此67a则各个力的分量在各自的位移分量上所作之总功为于是，得到刚体虚位移原理的分量表达式.“/k以，产。第10章材

10、料力学中的能量方法虚位移原理需要指出的是；虚位移并不是任意的，首先它必须是微小的. 其次它必须是约束条件所许可的.此外，还必须注意，在应用虚位移原理计算力在虚位移上作功 时，这个虚位移是在力系使系统处于平衡状态下给出的（保持力不 变所以这是一个常力作功的过程,所以，力在虚位移上所作之功 均为力与虚位移的乘积。变形体的虚T比移原理对于在平衡力系作用下的变形体，当给其与约束条件一致 的虚变形时,如果依然保持平衡，则外力在虚位移上作的虚功 与内力在其相应虚变形上所作虚功之和为零.W,+ 吗=0需要注意的是,虚变形必须自平衡位置开始，而且与约束 条件（内部约束与外部约束）一致。成五秒时过理也是张羚力不

11、及.改变泣杼。第10章材料力学中的能量方法虚位移原理应用虚位移原理计算各种受力形式下 的内力虚功第10章材料力学中的能量方法虚位移原理1.对于只歹物向力作用的小膏形； 于是作用在系统2微段上的力瓦所作之虚功为&Aik= && dx -8IV 下EA根据61V-%=0cFK l，N得到微段内力虚功积分后，使得到杆件在轴向力作用的内力虚功第10章材料力学中的能量方法虚位移原理2.对亍只我比矩作用的喳形：这时，将做段两值截面上的扭矩作行为外力.将任意扭矩M所引起的截面相对扭转角作为虚位移，心还叫则微段上财,所作之虚功为Kd伊=乜 =%1 " Cii®P第1

12、0章材料力学中的能量方法厘位移原理2 .阿亍只灵指电作用的情形：沅加也4=叫G/p a%根据dw- +bw O =o得到微段内力虚功积分后，得到杆件内力在虚位移上所作之虚功=4也瓦出必！叫3 .对亍只天驾炬佗用的情将士这时，将微段两侧截面上的弯矩行作为外力,而将任 意寿矩M所引起的截面相对传角作为虚位移，则该段上万所作之虚功为川“二誓ck二此.第10章材料力学中的能量方法虚位移原理3.对于只有雪瓶作用的曙形:则微段上A，所作之虚功为MAO = dv =3卬工 EI&根据6% +西=0 得到徜:段内力虚功MM dv£/积分后，得到杆件内力在虚位移上所作之虚功MM dv虚位移模式

13、的多样性第10章材料力学中的能量方法虚位移原理虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件）可以是与真实位移有关的位移，也可以 与真实位移无关.H 打以是另外一个与m箱女的宽豌的耳实凌心第10章材料力学中的能量方法虚位移原理虚位移原理的应用条件W所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡问题0区虚位移原理既适用于线性物性关系也适用于非线性 物性关系.a虚位移原理的应用条件仅为小变形。第10章材料力学中的能量方法计算位移的莫尔积分第10章材料力学中的能量方法计算位程的莫尔积分应用虚位移原理,可以得到直接用于计算弹性系统或杆件 任意点沿任意方向位移的积分表达式，称为“莫尔积分” 用 莫尔积分确定位

14、移的方法就是“莫尔方法” 苫先需要作两件事，一是建立一个与原结构完全相同的结构，并在所要求的点以 及所求的位移方向施加广义用位力（力或力偶的数值都等于1）, 这样所得到的系统称为“航位载荷系统” 而原来的系统称为 “教荷系统”，二是将裁荷系统的真实位移，作为单位栽荷系统的虚位移. 然后.对单位或荷系统应用虚位移原理第10章材料力学中的能量方法计算位尊的莫尔积分载荷系统单位裁荷系统对单位教荷系统应用虚位移原理，We+ 叱=0取位载荷系统上的外力即值位力 在教荷系统A点、沿i方向位移上所作 的外力虚功叱=1 * 4, = 4,电位载荷系统上的外力即单位力 在载荷系统1点.沿访向位移上所作 的内力成

15、功W =-* dv1 U，EA El )第10章材料力学中的能量方法计算位移的莫尔枳分= dv + dLi上EA L EfzM, 载荷系统的内力分量小嬴单位鼓荷系统的内力分量第10章材料力学中的能量方法计算位律的莫尔积分还需要指出的是，莫尔法可用于确定直杆和曲 杆及其系统上任意点，沿任志方向的线位移和角位 移，但杆件的材料必须满足胡克定律，并且在弹性 范围内加栽，这是因为在导出莫尔积分的过程中， 利用了弹性变形与弯矩、叔矩' 轴力的线弹性关系 式.第10章材料力学中的能量方法计算位程的莫尔积分例题1,F半径为R的四分之一圆孤形平曲曲杆，/端固定，5箱承受班垂 平面内的教荷的作用，如图n

16、所示. 曲杆弯曲刚度为"若"、R、F 等均为已知.g求* 8点的垂直位移与水平位 移.”（不考虑轴向力和剪力的影响）第10章材料力学中的能量方法计算位移的莫尔积分2 建立威荷与单位力引起的内力 衰达式:采用敲面法确定沿弧长方向变化的B 弯短方程,包括原我荷系统和单位我荷 系统所引起的弯矩方程.规定：使曲杆曲率减小的弯矩为正； 使曲杆曲率增加的弯矩为负.也可以规定原找荷引起的内力一律 给以正号，而单位力所引起的内力与载荷 引起的内力方向相同者为正，反之为负.第10章材料力学中的能量方法计算位移的莫尔积分第10章材料力学中的能量方法计算位程的莫尔积分计算位移的莫尔积分第10章材

17、料力学中的能量方法计算位移的莫尔积分第10章材料力学中的能量方法计算位建的莫尔积分尔才班小:1 .建立单位歌荷系统或单位力系统，井在所求位移的点沿所求位 移方向加广义单位力如果所要求的是线位移,则加单位集中力i 若为角位移，则加单位集中力偶.2 .写出载荷系统或教荷系统在给定的外部载荷作用下.各部分任 意戴面上的内力分的表达式，以及单位做荷系统在广义单位力作 用下，各部分任意被面的内力分量的表达式。3 .计算各部分的莫尔积分.若为刚架、梁、轴等主要承受弯扭的 构件,则可略去其中与轴向力和剪力的有关的积分；若为桁架，则 莫尔积分中就只包括与轴向力有关的项.4 .根据计算结果，判断位移的实际方向.若所得计算结果为正， 则所求位移的方向与施加的单位力方向相同；若为负.则二者反向.直杆莫尔积分的图乘法第10章材料力学中的能量方法直杆莫尔积分的图乘法 前提 方法与结论 应用条件第10章材料力学中的能量方法直杆莫尔枳分的图乘法前提第10章材料力学中的能量方法直杆莫尔积分的图乘法等截面直杆（E4, G/p、E7=const.）,反而熊等为直线图形当 E/=C。115t时rMM .(Lt=以弯曲问题为例_ J El当点等为线性函数时E1% Ei EI J，4是什么？皈又是什么?M "NUina| A, Ef £/&q