数字通信第10章-tc 差错控制编码

1、第第 10 章章 差错控制编码差错控制编码 10.1 概述概述 10.2 常用的几种简单分组码常用的几种简单分组码 10.3 线性分组码线性分组码 10.4 循环码循环码 10.5 卷积码卷积码 *10.6 网格编码调制网格编码调制 10.1 概概 述述 10.1.1 信道编码信道编码 在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码信源编码和信道编码信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性有效性以及为了使模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射

2、功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。10.1.2 差错控制方式差错控制方式 图 10-1 差错控制方式 发端纠错码收端前向纠错FEC发端检错码收端检错重发ARQ判决信号发端检错和纠错码收端混合纠错HEC判决信号 1. 检错重发方式检错重发方式 检错重发又称自动请求重传自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信道

3、，译码设备简单，对突发错误突发错误和信道干扰较严重信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。 2. 前向纠错方式前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。 3. 混合纠错方式混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠

4、错能力， 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。 按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随随机信道机信道、突发信道突发信道和混合信道混合信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式。 10.1.3 纠错码的分类纠错码的分类 (1) 根据纠错码各码

5、组信息元和监督元的函数关系，可分为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方程式，则称为线性码线性码，否则为非线性码非线性码。 (2) 根据信息元和监督元的函数关系涉及的范围，可分为分组码分组码和卷积码卷积码。分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码检错码和纠错码纠错码。检错码以检错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能检错。 10.2 纠错编码的基本原理纠错编码的基本原理 1. 分组码分组码- n个码元成一组，称为一个码字。 分组码一般可用(n,k)表示。其中，n

6、是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长码长, k是每组二进制信息码元的数目。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元， 组成长为n的码字。在二进制情况下，共有 个不同的信息组，相应地可得到 个不同的码字，称为许用码组。其余 个码字未被选用，称为禁用码组。 2k2k22nk 在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量汉明重量， 简称码重码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明汉明(Hamming)距离距离， 简称码距码距。例如 11000 与 10011之间的距离

7、d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离码的最小距离，用d表示。最小码距最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。 2. 检错和纠错能力检错和纠错能力 例如：重复码重复码-若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的简单重复。 重复码是一种简单实用的检错码， 并有一定的纠错能力。 (2,1)重复码重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现01、10禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。(3,1)重复码重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个

8、错误，或者该码可以检出两个错误。 码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d02t+1; (3) 纠正t个同时检测e(t)个随机错误，则要求码的最小距离d0t+e+1。 3. 编码效率编码效率 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 实

9、际中要根据具体指标要求， 保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。 10.3 常用的几种简单分组码常用的几种简单分组码10.3.1 奇偶监督码奇偶监督码 奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码系统分组码。奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。 设码字A=an-1,an-2,a1,a0，对偶监督码有 00121aaaann 奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即满足条件 1021aaann而检错能力检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为 nnR/ ) 1(

10、 10.3.2 水平奇偶监督码水平奇偶监督码（克服不能检测突发错误的缺点） 110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100信息码元监督元10.3.3 行列监督码行列监督码（克服不能发现偶数个错误的缺点）图 10-2 (66,50)行列监督码 11001010000010000110100111100001110011100000101010101011100011110010.3.4 群计数码群计数码 将信息码元中“1”的个数用二进制表示，放在信息元后面作为监督元。如1010111，有5个1，监督元为101，

11、所以群计数码为101011110110.3.5 恒比码恒比码 码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比码又称等重码等重码，定定 1 码码。这种码在检测时，只要计算接收码元中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。 目前我国电传通信中普遍采用 3 2 码，又称“5 中取 3”的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。许用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 10 - 1 所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。 表表 10-3 3 2 恒比码恒

12、比码 10.4 线线 性性 分分 组组 码码 线性分组码：每个监督元都是某些信息元的模二和。如：(7,4)分组码。设其码字为A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元。 346035614562aaaaaaaaaaaa10.4.1 基本概念基本概念（10-4）表表 10-4 (7,4)码的码字表码的码字表 10.4.2 汉明码汉明码 一种用来纠正单个错误的线性分组码，监督元个数r与码字长度n之间满足关系：21rn 10.4.3 监督矩阵监督矩阵H(10-4) 其中,P为rk阶矩阵，Ir为rr阶单位矩阵

13、。可以写成H=P Ir形式的矩阵称为典型监督矩阵。 HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据。 并简记为 将(10-4)补充为下列方程 10.4.4 生成矩阵生成矩阵G 可改写为矩阵形式 1101000101010001100101110001GQIGkTPQ110101011111典型生成矩阵10.4.5 伴随式伴随式(校正子校正子)S和检错和检错 设发送码组A=an-1,an-2,a1,a0，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=bn-1,bn-2,b1,b0，则收发码组之差定义为错误图样错误图样E， 也称为误差矢量， 即 ABE其中E=en

14、-1,en-2,e1,e0，且 10ie当bi=ai 当biai (10 - 23) 式(10 - 23)也可写作 EAB令S=BHT，称为伴随式或校正子。 TTTEHHEABHS)(表表 10-7 (7,4)码码S与与E的对应关系的对应关系 汉明码的生成步骤：1.确定k和r2.选择校正子S和错误图样E的对应关系3.列出r个监督方程4.求监督元（或者生成矩阵）10.5 循循 环环 码码 表表 10-8 (7,3)循环码的全部码组循环码的全部码组 10.5.1循环特性循环特性 在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码字。表示码字。(n,k)循环码的码

15、字，其码多项式循环码的码字，其码多项式(以降幂以降幂顺序排列顺序排列)为为 012211)(axaxaxaxAnnnn10.5.2 生成多项式及生成矩阵生成多项式及生成矩阵 如果一种码的所有码多项式都是多项式如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。在为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式循环码中任意码多项式A(x)都是最低次码多项式的倍式。如表都是最低次码多项式的倍式。如表 10-4 的的(7,3)循环码中，循环码中， 1)()(2341xxxxAxg)()()()()() 1()()(0)(27320 xgxxAxgxxAx

16、gxxAxgxA其它码多项式都是其它码多项式都是g(x)的倍式，的倍式， 即即 循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示 1)(111xgxgxxgrrr)()()()()(21xgxxgxgxxgxxGkk例如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4, 其生成多项式及生成矩阵分别为 10.4.2 监督多项式及监督矩阵监督多项式及监督矩阵 为了便于对循环码编译码，通常还定义监督多项式， 令 1)(1)(111xhxhxxgxxhkkkn其中g(x)是常数项为 1 的r次多项式，是生成多项式；h(x)是常数项为 1 的k次多项式，称为监督多项式。同理，可得

17、监督矩阵H )(*)(*)(*)(1xhxxhxhxxHkn是h(x)的逆多项式。例如(7，3)循环码，g(x)=x4+x3+x2+1，则 其中 1)(*12211xhxhxhxxhkkkk1)(*1)(1)(3237xxxhxxxgxxh1)(324235346xxxxxxxxxxxxH1101000011010000110100001101H10.6 卷卷 积积 码码 10.6.1 基本概念基本概念 图 10-7 卷积码(2,1,2)编码器 m1m2数据输入码字输出S1S2S3C1C2S1等于当前输入数据，而移位寄存器状态等于当前输入数据，而移位寄存器状态S2S3存储以前的数存储以前的数据

18、，输出码字据，输出码字C由下式确定由下式确定 3123211SSCSSSC表 10-6 (2,1,2)编码器的工作过程 10.5.2 卷积码的描述卷积码的描述 1. 树状图树状图 图图 10-6 (2,1,2)码的树图码的树图 a1100abb0110cdc0011abd1001cd0010a1101ba0011a1100abb0110cdc0011abd1001cd1101c0010db1001a1100数码起点状态a00b01c10d11上半部下半部数码11012. 状态图状态图 图 10 -10 (2,1,2)码的状态图 a00b01c10d11cbad01011111001000103. 格图格图 图 10-8 (2,1,2)码的格图 a00起点aaaaaabbbccccbbcbddddd