一元二次方程根的两个特性及简单运用

1、一元二次方程根的两个特性及简单运用我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此，一元二次 方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系 数为 1 的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般 形式下的一元二次方程ax2bx 0(- 0)的两根之和、两根之积与系数的关 系。例 1、先阅读，再填空解题：(1) 方程：x -4x-12=0 的根是：Xi=6, x2=-2，贝UXI+X2=4,xi X2=-12;(2) 方程2X2-7X+3=0的根是：xi=-, x2=3,则 Xi+X2=7, xi x2=-;2 2 2(3) 方程3X2+6X

2、-2=0的根是：xi=, x2=.贝Uxi+X2=_ ,Xi X2=_ ；根据以上(1)(3)你能否猜出：如果关于 X 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0 且 a、b、c 为常数)的两根为 X1、X2,那么 X1+X2、X1X2与系数 a、b、c 有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。解析：方程3X2+5X-2=0的根是：xj x2=-2。则 X1+X2=-5, X1 X2=-2。333能猜出：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0 且 a、b、c 为常数) 的两根为 X1、X2,那么 X1+X2-b、X1X2= E。理由如下：ax2+bx+c=0 (a 0

3、且 a、b、c为常数)的两根为:x 的一元二次方程根据求根公式可知，关于-b b2-4acX1一2a，-b -pb2-4acX2一2a-b b2-4ac -b-；b2-4ac+2a-b+lb2-4ac-b - Jb2-4ac cX1X2=2a2a也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程， 这个方程的两个根与系 数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商.下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。例 2、计算并观察下列一元二次方程根的特点：(1)X2-X-3=0(2)2X2-8X+5=0(3)X2-3X+1=0观察

4、以上(1)(3)的解，你能否猜出：如果关于X的一元二次方程mX+nx+p=O (m 0 且 m n、p 为有理数，.n2_4mp 为无理数)的两根为 xi、X2, 那么Xi与 X2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。解析：方程：X2-X-3=0的根是：Xi=- -13,X2=丄一二3；2 2 2 2方程2X2-8X+5=0的根是：Xi=26, X2=26;2 2(3)方程X2-3X+1=0的根是：xi=35,X2=-5。2 2 2 2能猜出：如果关于X的一元二次方程 mX+nx+p=O(mO 且 m n、p 为有理数，.n2-4mp 为无理数)的两根为 xi、X2，那么 Xi与 X2之间的

5、关系是：两根均a b和a -k、.b，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。理由如下：根据求根公式可知，关于X的一元二次方程 mX+nx+p=O (m O 且 m n、p 为有理数，；n2-4mp 为无理数)的两根为：n 丄 Yn2_4mpn Jn2_4mpXi，X22m 2m2m 2m两根均为a k , b和a-k、.b的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互 为相反数。下面我们运用以上性质来巧解一题。所以X 计2a例 3、如果一个有理系数的一元二次方程 x2+bx+c=O 的一个根为 2 3，求 b+c的值。解析：因为有理系数的一元二次方程 x2+bx+c=O 的一个根为2 3，则该方程的另一