3锐角三角函数的应用教案

1、解直角三角形的应用举例适用学科 初中数学适用年级初三卜 I - I - I I - I I - I 卜IIIIII适用区域1新人教版i课时时长（分钟）i 120I-! _ - -» - j:知识点、仰角，俯角i,:2、坡角、坡度,：3、方位角，方向角教学目标 1、了解仰角、俯角、坡角、方位角的概念2、能够解决有关俯角、仰角的实际问题，体会数形结合的思想和转化的思 想方法:3、深刻体会在生产和生活中很多事是可以相互转化的II II - I- I 1I - II - I I教学重点 1、仰角，俯角2、坡角、坡度3、方位角，方向角教学难点1、仰角，俯角2、坡角、坡度【教学建议】在运用解直角

2、三角形的知识，灵活、恰当地选择关系式解决实际问题的过程中，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力建议教师在教学过程中多与实际相结合.【知识导图】解直角三角形的应用教学过程一、导入I小玲家对面新建了一栋图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以通过解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线和水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）m?13/BAC与/ DAC在测量中叫什么角 ？二、复习预习上节课我们学习了解直角三角形，直角三角形的边角关系：在 中，/ C=90

3、76; , a,b,c 分别为/ A,/B, / C的对边.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）两锐角之间的关系：A B =90边角之间的关系： sin A =9 ,cos A =b, tan A =a ,sin B =- ,cos B = ,tan B =-. cc b cc c本节课我们继续探究其如何应用于实际问题中.进行解决实际问题.三、知识讲解考点1仰角、俯角如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线 OA与水平线OC所形成 的/AOC为仰角；把视线O*水平线OC所形成的/ BOCW为俯角.在视线与水平线所成的 角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线

4、所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时， 视线与水平线所成的角叫做俯角.水平线知识拓展：仰角与附角都是视线与水平线的夹角考点2坡角、坡度如图；BC表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面 AB与坡面BC所形成的/ ABC称为坡角.DC./IK30A一般地，线段BC的长度称为斜坡 AB的水平宽度，线段 AC的长度称为斜坡 AB的铅垂高度. 如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度L的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作，坡度通常写成1: m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作.于是 - ，显然，坡度越大， 越大，坡面就越陡.知识拓展：（1）坡度也叫坡比，即一般写成1: m的形式（比的前项是 1,后

5、项可以是整数，也可以是小数或根式）（2）坡度和坡角的关系为（3）坡角越大，坡度越大坡面越陡 .考点3方位角、方向角方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫方位角.如图；/ NOA / NOB / NOCTB是方位角.如图；目标方向 OA表示的方位角为北偏东 30 ;目标方向OB表示的方位角为南偏东45 :目标方向OC表示的方位角为南偏西 60 口方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方向角.如图；/ NOA/SOB / NOD / SOCTB是方向角.知识拓展：解决实际问题时，可利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形来求解 .四、例题精析类型

6、一仰角、俯角例题1济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往楼的方向前进 60m至B处，测得仰角为60° ,若学生的身高忽略不计，一1.7,结果精确到1m,则该楼的高度 CD是多少？【解析】解：根据题意得：/ A=30° , / DBC=60 ,DM AC,/ ADB=/ DBC- / A=30° ,/ADB4 A=30° ,BD=AB=60m .CD=BD?sin60 =60X =-=51（m） .答：该楼的高度大约 51米.【总结与反思】 由题意易得：/

7、A=30° , / DBC=60 , DC! AC,即可证得 ABD等腰三角 形，然后利用三角函数，求得答案.类型二坡角、坡度例题2一个公共房门前的台阶高出地面示，则下列关系或说法正确的是A.斜坡AB的坡度是101.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡， 数据如图所 )C. AC=1.2tan10° 米D. AB=一7kB.斜坡 AB的坡度是tan10【解析】 解：斜坡AB的坡度是tan100,故B正确;【总结与反思】 根据坡度是坡角的正切值，可得答案.类型三方位角、方向角例题3如图，一艘海轮在 A点时测得灯塔C在它的北偏东42。方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处

8、，此时灯塔 C在它的北偏西55。方向上.(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1 );(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55 ° =0.819, cos55° =0.574, tan55 ° =1.428, tan42 ° =0.900,tan35 ° =0.700, tan48 ° =1.111)【解析】 解：(1)如答图，过点 C作CDL AB于点D,依题意彳导:/ ACD士 CAE=42° , / BCDh CBF=55° ,设CD的长为x海里， 在 R

9、tAACD, tan42 ° = 一，则 AD=x?tan42° ,在 RtABCD, tan55 ° = 一，贝U BD=x?tan55° ,. AB=80, . . AD+BD=80.，x?tan42 ° +x?tan55 ° =80,解彳导:x=34.4答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里.(2)在 RtBCD中,cos55° =，. . BC=-=60 海里.答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里.【总结与反思】(1)过点C作CDLAB于点D,则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(2)在R

10、tBCD中，卞据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离.五、课堂运用基础1 .如图，滑雪场有一坡角“为20 °的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到)°C.200sin20米D.200cos20 ° 米2 .已知B港口位于A观测点北偏东45。方向，且其到A观测点正北风向的距离 BM的长为km, 一艘货轮从B港口沿如图所示的 BC方向航行 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75。方向，则此时货轮与 A观测点之间的距离 AC的长为（）km.9C. 6A. 8B.3.已知一个斜坡的坡度D.i=1 :一，那么该斜坡的坡角的度数是度

11、.4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部 B处的仰角为30° ,看这栋楼底部C处的俯角为60° ,热气球A处与楼的水平距离为 120m,则这栋楼的高度是多少?IGGkfof"币二一阳=二11- 苣SCTImffLrE? EcftnJQgr口 T.-巴0 E?WW-L2*二.二二金百一 a必仃90nfLL-3田 t?答案与解析1 .【答案】C【解析】解：sin /C=-, . AB=AGsin Z C=200sin20 ° ,故选：C.2 .【答案】A.【解析】解：.一/ MAB=45 , BM=10/2，.AB= =20km过点B作BDL

12、 AC,交AC的延长线于 D,在 RtADB中，/ BAD=/ MAG / MAB=75 - 45° =30 tan / BAD- ,.AD= -BD, bD+aD=aB 即 BD2+ ( BD) 2=202,.BD=10,AD=10在 RtBCH中,bD"+cD=bC, BC=4 ",.CD=2 ",AC=AD- CD=10 - - 2 一=8 -km,故选：A.3.【答案】30°【解析】解：= tan a =1:=,，坡角=30° .4 .【答案】160 m.AD=120m【解析】解：过点 A作AD! BC于点D,则/ BAD=3

13、0, / CAD=60,在 RtMBD中,BD=A?tan30 °=120X =40 (城,在 RtAACD, CD=ADtan60 °=120X -=120 ( n), .BC=BD+CD=160-(巧.巩固1 .如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角”是45。，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1 ： 一，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据:1.41 ,11.73,、2.45)C . 37.9D . 39.4£第2题1.【答案】D.142 .如图，

14、为了测量某建筑物 MN的高度，在平地上 A处测得建筑物顶端 M的仰角为30°,向N 点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端 M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等 于（）A. 8 （ 一 ）m B. 8 （ 一 ） m C. 16 （ 一 ）mD. 16 （ 一 ）m3 .如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在 C处测得A, B两点的俯角分别为 45°和30° .若飞机离地面的高度 CH为1200米，且点H, A, B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）.4 .如图，在航线l的两侧分别有观测点 A

15、和B,点B到航线l的距离BD为4km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点 A南偏东74°方向的C处, 沿该航线自东向西航行至观测点 A的正南方向E处求这艘轮船的航行路程 CE的长度.（结 果精确到 0.1km）（参考数据： =1.73 , sin74 ° 0.96 , cos74 ° 0.28 , tan74 ° 3.49 ）答案与解析【解析】延长 AB交DC于H,彳EG，AB于G如图所示：贝U GH=DE=1*,EG=DH .梯坎坡度 i=1 ： ",BH: CH=t 一,设BH=x米，贝U CH

16、= -x米，在 RtBCH中,BC=12米，由勾股定理得：x2+ （ x） 2=12：解得：x=6,. BH=6米，CH=6一米，.BG=Gh+ BH=15- 6=9 （米）,EG=DH=CH+CD=6+20 （米）, / «=45°, ./ EAG=90- 45 =45°, . AEG是等腰直角三角形，.AG=EG=6-+20 （米）, .AB=AG+BG=6+20+9=39.4 （米）；故选： D.【解析】设 MN=xm在RtBM", / MBN=45,BN=MN=x在 RtAAMNJ, tan / MAN-, tan30 °=，解得：x=

17、8 （+1）,则建筑物MN的高度等于8（ 一+1） m；故选A.3.【答案】1200 （ - - 1）.【解析】解：由于 CD/ HB, / CAHh ACD=45 , / B=Z BCD=30在 RtACH中， / CAH=45 .AH=CH=120稣，在 RtAHGIB tan / B=.HB= -=1200 (米).AB=HB- HA=1200 - 1200=1200 ( - - 1)米4.【答案】20.9km.【解析】解：如图，在 RtBDF中，. / DBF=60 , BD=4kmBF=-=8km, .AB=20km.AF=12km / AEF=/ BDF, / AFE=Z BFD

18、. AED BDR.AE=6km在 RtAEF中，CE=A?tan74 ° 20.9km.故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km.B拔高161 .如图，两建筑物的水平距离为 a米，从A点测得D点的俯角为“，测得C点的俯角为3 ,则较低建筑物的高为（）A. a 米 B. acot a 米 C. acot 3 米 D. a (tan 3 tan a )米2 .在若太阳光线与地面成 a角，30。V a <45° , 一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取一 ）.3 .为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有一座

19、山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB行驶.已知BC=80千米，/ A=45° , / B=30° .（1）开通隧道前，汽车从 A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：=1.41 , 一1.73 ）答案与解析【解析】解：作 D吐AB于点E.在直角 AED中,ED=BC=a / ADE=a. tan / ADE,.AE=DRtan Z ADE=<?tan a .同理 AB=a?tan 3 .DC=BE=AB AE=a?tan 3 a?tan

20、a =a （tan 3 tan a ）故选：D.2.【答案】5.7 <h<10.【解析】解：AC=10.当/ A=30° 时，BC=ACtan30 =10X= 5.7 .当/ A=45° 时,BC=ACtan45 =10. .5.7 <h<10.3.【答案】（1） 136.4千米；（2） 27.2千米.【解析】解：（1）过点C作AB的垂线CD垂足为D,. AB± CD sin30 ° =一，BC=80千米,，CD=BCsin30 ° =80X-=40 （千米）,AC=一-二 一（千米），AC+BC=80+4040 X 1

21、.41+80=136.4 （千米）,答：开通隧道前，汽车从 A地到B地大约要走136.4千米;（2） cos30 ° =一，BC=80（千米）, . BD=BC?cos30 ° =80 X 一（千米）,. tan45 ° = 一，CD=40 （千米）, '-AD= （千米）, .AB=AD+BD=40+40、40+40X 1.73=109.2 （千米）,109.2=27.2 （千米），汽车从 A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC- AB=136.4答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为 27.2千米.六、课堂小结1 .知识结构及要点小结（1）仰角，俯

22、角解决实际问题（2）坡角，坡度解决实际问题(3)方向角，方位角解决实际问题2 .解题方法及技巧小结(1)解有关仰角，俯角的问题时，一般以水平线和建筑物的高分别为直角边，以视线为 斜边，构造直角三角形.(2)解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三 角形(3)解有关坡角，坡度的问题时，要注意求坡度不是求角度，而是求坡角的正切值七、课后作业基础1 .如图.在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离八8为()A. 5cosa2.如图，港口 A在观测站C . 5sina D航行一段距离后到达 B处，此时从观测站 O处测得该船位于北

23、偏东 60。的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A. 3 -kmB. 3 -kmC. 4 km D . （ 3 - - 3） km3 .某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1:，堤坝高BC=50m则AB=m.4 .将点如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm,灯罩BC长为32cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的/ BAD=60 .使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30° ,此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE是多少cm?（结果精确到0.1cm,参考数据：-1.732 )答案与解析1 .【答案】B.【解析】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，

24、坡角为a ,则两树在坡面上的距离 AB=一.故选：B.2 .【答案】A.【解析】解：作 ACL OB于点C,如右图所示,由已知可得，/COA=30 , OA=6km .AC± OR Z OCAh BCA=90 , .OA=2AC / OAC=60 , .AC=3km / CAD=30 , . / DAB=15 ,/ CAB=45 , / CABW B=45° ,BC=AC-ab=",故选：A.【解析】解：由图可得，BC: AC=1:,BC=50m.AC=50 m . AB=100 ( nrj).4.【答案】54.4cm .【解析】解：由题意得：CDLAE,过点B作

25、BML CE, BF, EA灯罩BC长为32cm,光线最佳时灯罩 BC与水平线所成的角为.CML MB即三角形 CM助直角三角形，sin30 ° =, .CM=16cm在直角三角形 ABF中，sin60 ° = 一,解得：BF=21 一，又/ ADCh BMDW BFD=90 , 四边形BFDMK/矩形， .MD=BF . CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+2" 54.4cm.答：此时灯罩顶端 C到桌面的高度CE是54.4cm .巩固1 .如图，某水渠的横断面是梯形， 已知其斜坡AD的坡度为1:1.2,斜坡BC的坡度为1:0.8, 现测得放水前的水面

26、宽 EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 6米.则放水后水 面上升的高度是（）米.第1题第3题2 .聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点 O是摩天轮的圆心，长为 110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33。，测得圆心 。的仰角为21。，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan33 °0.65 , tan21 °0.38)()28A. 169 米 B. 204 米C. 240 米D. 407 米3 .如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，

27、当它行驶到A处时，发现它的北偏东 30。方向有一灯塔 B.轮船继续向北航行 2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60。方向.若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？()4 .在数学实践活动课上， 老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点 C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45。.问:该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值.)答案与解析1.【答案】1.1 .【解析】过点 E作EM/L GH于点M,过点F作FN GQ点N,可得四边形EFNM矩形，贝U MN=EF设 ME=FN=x在 RtAGME, 斜坡AD

28、的坡度为1 : 1.2 , .ME GM=1 1.2 , .GM=1.2x, 在 RtNHF中, 斜坡BC的坡度为1 : 0.8 , .NF: NH=t 0.8 ,.NH=0.8x,贝U GH=1.2x+0.8x+3.8=6 , 解得：x=1.1 .A2 CD=°°3.【答案】A.【解析】作BD± AC于D,如下图所示：2.【答案】B.【解析】根据解：过 C作CD! AB于D,在 RtMCD, AD=CDtan Z ACD=CDtan33 °,在BCO, OD=CDtan Z BCO=CDtan21 °,. AB=110rmAO=55m.A0=AD- OD=CDtan33 CD?tan21 °=55m, = 204m,故选 B.易知：/ DAB=30, / DCB=60,则/ CBDhCBA=30.AC=BC, ,轮船以40海里/时的速度在海面上航行, .AC=BC=2 40=80 海里，.CD=BC=40 海里.故该船需要继续航行的时间为40+40=1小时.故选 A.北小东4.【答案】（2+2 一）米.【解析】解：如图，过点C作CD，AB,交AB延长线于点D,设CD=x米， / CBD=45 , / BDC=90 , .BD