常微分方程平衡点及稳定性研究

1、长春理工大学本科毕业论文2本文给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义 之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳 定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要 我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定 性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用，并且利用相关的差分方程的全局吸引性 研究了具时滞的单种群模型N t -r t N t1-N t-.1 -

2、cN t-.的平衡点X=1的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论 关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by anal

3、ytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed t

4、he stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability

5、of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium x = 1 of the following delay single population model1-N t -N t =r t N t 1-cN t-is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Ke

6、y Words: autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity目录摘要IAbstractI目录II第1章引言1.第2章微分方程平衡点及稳定性分析32.1 平衡点及稳定性定义3.2.2 自治系统零解的稳定性42.2.1 V 函数4.2.2.2 Liapunov稳定性定理52.3 非自治系统的稳定性8.2.3.1 V函数和k类函数 8.2.3.2 零解的稳定性102.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 1 42.4.1 相关定义1.42.

7、4.2 判定平衡点稳定性的方法1.42.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 1 52.5.1 相关定义1.52.5.2 判定平衡点稳定性的方法1.5第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 1 73.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 1.73.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 1.9第4章常微分方程稳定性的一个应用23第5章结论25参考文献27致谢29长春理工大学本科毕业论文第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动 力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学(如物理 化学生物天文)和社会科学(如工程经济军事)中的大量问题都可以

8、用微分 方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间 (空间)而演变的过程， 分析它的变化规律，预测它的未来形态时， 要建立对象的动态模型，通常要用到 微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程， 而建模的目的是研究时间充 分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪5060年代，在美国贝尔曼(R. Bellman)、莱夫谢茨(S. Lefschetz) 及拉萨尔(J. P. LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发 展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可

9、观 的研究队伍。叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问 题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、 最小特征数的上、下稳定性和特征数的重 合等问题。对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。 同时研究了李雅普诺夫 稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如d%t定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的

10、引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量 V函数将微分方程稳定性的研究转化为以 V 函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念， 在实际应用中往往要考虑全 相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把 李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于 自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了 “不变性原 理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。 通过对

11、V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了 5060年代发展起来 的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等 继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题， 也可应用于研究解的有界性、振 动性等。吉泽太郎(T. Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、 有界性。 同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微 分方程

12、、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的 稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chao§和分形(Fractals附f究中也起着重 要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、 偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科 学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。26第2章微分方程平衡点及稳定性分析2.1平衡点及稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题dx一.一一_ 八=ax x(0) =X0 t 0 % 之 0(2-1)dt的解为x(t) =x0eat.x=0是(2-

13、1)的一个解，我们称它为零解。当a>0时，无论x0 多小，只要飞1 =0,当tT + 笛时，总有x(t)T 8 ,即初始值的微小变化会导致 解的误差任意大；而当a<0时，x(t)=%eat与零解的误差不会超过初始误差 %, 且随着t的增加很快就会消失，所以当x0很小时，x(t)与零解的误差也很小。这 个例子表明a>0时(2-1)的零解是“不稳定的”,而当a <0时(2-1)的零解是“稳 定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程dx = f (t, X) , x(t°) = X0 , x w Rn(2-2)dt满足解的存在惟一性定理的条件，其

14、解X(t)=x (t,t0, X 0)的存在区间是(口,"),f (t, X)还满足条件f(t,0) =0(2-3)(2-3)保证x(t) =0是(2-2)的解，我们称它为零解。定义2.1若对任意给定的名>0,者B能找至I (="邛。)，使得当|x 0| <6时(2-2) 的解X(t,t0, X0)满足|x (t,t0, x 0)卜 3 t 认(2-4)则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径 s，总能在Rn中找到一个以 原点为中心、半径为6的开球B6,使得(2-2)在t=t0时刻从B

15、67;出发的解曲线当 t >t0时总停留在半径为名的开球Bg内。注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个% > 0,使得对任意的0 >0 ,在开球B台内至少有一个点x0和一个时刻t1 >t0 ,使得|x(t,t0, x0)|之名.0注3对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若x=x(t,t0, x )是 (2-2)的一个解，为了考察其他解x(t) = x(t,t。, x0)和它的接近程度，我们就可以令y(t)=x(t)-x(t),带入(2-2)得dy(t),_,_与=f(t,y(t) x(t)- f(t, x(t)(2-5)dt这样一来，(2-2

16、)解x(t)的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。所以在本文的 讨论中，我们仅研究(2-2)零解的稳定性。定义2.2设U是Rn中包含原点的一个开区域，对所有 x0U和任意给定的 WA0,总能找到一个T =T(%t0, x0),使得当tAt°+T时，有|x(t,t。，x0)卜君成立， 我们就称U是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。U是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有x %U ,均有 limx t(to x00.即从U中出发的解趋于0。 t定义2.3若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的； 如果(2-2)的零解的

17、吸引域是整个Rn,则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。定义2.4若定义2.1中的6与to无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定 义2.2中的T与to和x0无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一 致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。定义2.5若有正数a ,对任意给定的£>0,有6 >0 ,使得当| x0| <6时有 | x (t,t0, x 0)卜鸵一5 则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。2.2自治系统零解的稳定性前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义 之间的区别和联系。这些例子都是

18、通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳 定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，Liapunov直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入 V函数的定义，然后再给出Liapunov稳定性 定理。2.2.1 V函数设函数V(x)在Rn中原点的某邻域U中有定义，V(x)在U中连续可微，且 满足 V( 0) =0。定义2.6若除原点外对所有xw U均有V( x )>0(V( x)<0),则称V( x)为正定 函数(负定函数)；若对所有x WU均有V( x)至0(V( x) < 0),则称V( x)为半正

19、定函 数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若U中原点的任一邻域内V(x)既可取 正值，也可取负值，则称V(x)为变号函数。例如，V(x) =x2 +x2 +x；是R3中的正定函数，V(x) = x2 +x；是R3中的半正 定函数，而V(x) =Xi2 x2是R3中的变号函数。由定义2.6看出，V(x)正定时必是半正定的。另外正定和平正定与空间的维 数和邻域U的大小有关。例如V(x) = x12+x；是R2中的正定函数，而它在R3中仅 是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数V(x) = x12 + x； + x14 x：在R2 中的区域x2 +x2 <%中是正定函数，而在x2 +

20、x； <2中却不是正定函数。最常用的V函数是二次型V(x) = x"Ax,因为二次型的表达式简单，其符号 类型可以利用线性代数中有关 A的特征值理论来判定，且一些复杂的V函数往往 可以通过对二次型的修改得到。一般V函数的符号判断十分困难，通常是把 V(x)在原点展开为Taylor级数 V( x)= Vm( x) Vmi( x)其中Vm(x), Vm+(x)分别是x的m次、m+1次齐次函数，根据V(x)展开式中的 最低次项，在许多情况下就可以确定 V(x)在原点邻域内的符号。对正定函数V(x),容易证明当CA0充分小时，V(x)=c是Rn中包围原点的 闭曲面，且随着c趋于零，V(

21、x)=c缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义 可知，在U内的闭曲面1x=6上，V (x)有正的下界z ,当0<c<e时，在连接原 点与| x| = 6任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点x0 ,使V(x0) = c ,所以V( x) =c是包围原点的闭曲面。2.2.2 Liapunov稳定性定理设n维自治微分方程dx一一-x = f( x), f (0) =0(2-6)dt的解为x(x(t),x2(t)川|,xn(t)。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时V(x(t)的变化情况。将V(x(t)视为t的复合函数，关于t求导得dV(x)二以强 卫E 川 以四 Cn 他8

22、 fk(x) -V(x) (2-7) 出二x1 dt cx2 出二xn dt km cxk(2-7)为函数V (x)沿着(2-7)轨线的全导数。定理2.1若有原点的邻域U和一个正定(负定)函数V ( x )，使得V* (x )是半 负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得V( x)负定(正定)时，(2-6) 的零解是渐近稳定的。定理2.1的几何意义是函数V(x)正定时，V(x) =c是包围原点的闭曲面族，且随着c的减少而缩向原点。当全导数 V(x)半负定时，在t=t0时过x0的轨线 x = x上，V(x(t)的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在V(x)=V(x0)内，所以原

23、点是稳定的。当V* x)负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族V(x)=c中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。 该几何意义也正是我们证明定理 2.1的基本思想。证 设V( x)正定，对任意给定的s>0(不妨假设闭球Bx,| x|W外在U 中)，取m = min V (x) > 0 ,II x =；则当l <m时，V(x) <l的点x必全部位于原点的6邻域内。由V(x)的连续性知，必有0 >0 ,使得当H x <6BV(x)<l。由于V(x) <0,当|x0卜8时，对一切t*有，所以V(x(t) <

24、V(x°)<l,当t同时，|x(t)|<。这就说明了 V(x)半 负定时，(2-6)的零解时稳定的。当V*( x)负定时，(2-6)的零解稳定，只要lim x(t) = 0,即可证明(2-6)的零解 t 二1渐近稳定。利用反证法，设(2-6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述_一原点的a邻域内某点出发的解x(t),使得lim x(t) #0。由于V( x)负定，故V( x (t)单调下降，从而由V的正定性知必有lim V( x(t)=V*A0,且t之tV( x (t)之V* t .由V(x)的连续性知，必存在0<“<"使得t"时|x(

25、t) A”。又由于V(x)是负定的，必有0 >0 ,在区域刈<|x|<名内，V(x)<-a <0 ,由(2-7)式得dV( x(t)dt<-«t -t0(2-8)对(2-8)式两边积分得0V(x(t)<V(x )-： (t-t。)(2-9) ，.，.、r_*>-，_八一 一 (2-9)表明limV( x(t) =*,这与V( x(t)之V A0矛盾。故(2-6)的零解是渐近稳定 的。,2.Udx x=0例2.1讨论系统dt2dt零解的稳定性. X2 =解令 dt ,将该方程化为等价的微分方程组dxiX2dt(2-10)dx2标=-x1

26、- x2令V (Xi,X2 ) = 3x；+2X1X2+2x2 ,显然 V (x1,x2 )是正定函数，容易求得 V(x1,x2)沿 (2-10)轨线的全导数为V(xi,x2 )=-2(xj+x；),它是负定函数，由定理2.1知该系 统的零解是渐近稳定的。应当注意，如果取V (x1, x2 ) = g(x12+x2 ),那么，所求得的V(x1,x2 )= -x；, V(x1,x2 )是半负定的，由定理2.1只能得到(2-10)的零解稳定这一结论，得不到 渐近稳定性。这表明构造适当的V函数是非常重要的。当一个系统的零解事实上 是渐近稳定时，我们有可能构造出 V函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定

27、的。 也可能所构造出V函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出V函数，连零解 的稳定性也无法得到。例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，V(x )负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2.2,它降低了 V(x)负定这一条 件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。定理2.2设在原点的邻域U内存在正定函数1,它沿着(2-6)轨线的全导数V (x)是半负定的，如果集合M =*x|V x =0)内除原点x=0外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。证 由定理2.1知，在定理2.2的条件下(2-6)的零解是稳定的。于是对给定 的务>0(不妨假设B&

28、; = x | |x| E7含在U内),可以找到0 >0,使得|x 0| <6时，(2-6)满足 x (t0) =x0 的解 x (t) = x (t,t0, x °);当 tt0 时满卜(t)|且由 V 40易见V (x(t )是t的单调非增有界函数，故V (x(t )必有极限，令. * .tlim.V x t =V 一0由于x (t,t。, x0 )的正半轨有界，故它的6极Bgc；非空，若Vxw。0,则VG) =V*, V*&) = 0.这表明xw M ,从而有C0uM。由于。；是由(2-6)的整条轨线组成， 而在M中除x = 0外不再包含(2-6)的其他轨线

29、，故有 建：=。于是有lim x(t,to,x0 )=0。零解的渐近稳定性得证。例2.2讨论非线性振动系统dx1=X2(2-11)dx2 .dt-f x1- g x2dt零解的渐近稳定性。其中f (X )和g(X向是连续函数，且满足下列条件(1) f(0)=0,%f(Xi )0(Xi#0),(2) g 0 =0,X2g X20 X2 =01 cX1斛 选取V(X1, x2)=万*2 + J0 f (X1 dX1 ,由条件(1)知，V(X1, x2)是正止函数。 计算V(K,X2)沿着(2-11)的轨线的全导数得V(X1,X2) =-X2g(X2 ).由(2)知V(X1,X2) 是半负定的。又因

30、为集合JT,XM = x，X2 i| V (x，X?) = 0 = 1 x，X2 i| X2 = 0 j由(2-11)可见x2 =0时，满足方程组的解必有X1=0,从而集合M内除(0,0)外不 再包含(2-11)的其他轨线，所以(2-11)的零解是渐近稳定的。2.3非自治系统的稳定性这一节研究非自治系统d x_ _了 = f t,x , f t,0 =0(2-12)dt零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。2.3.1 V函数和k类函数设1= k0,y)，U是Rn中包含闭球Bh = x|x| W h的一个邻域，V(t, x)是I MU上定义的连续可微函数， W(x)是U上定义的连续可微函数

31、。定义2.7若有正定(负定)函数W( x),使得V(t, x) -W(x) V t, x <W(x)在I MU上成立，且V(t,0)=0,则称V(t, x)是I MU上的正定(负定)函数。若V (t, x户0(V (t, x )«0 ),则称V (t, x促半正定函数(半负定函数)o注：分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明 的关键所在，即|国”时，V( x沱l >0 ( |x| “时V (x)< -l <0)。对于V(t, x) 而言，若仅要求V(t,0) = 0, V(t, x)>0(I x| =0),则上述性质不一定能保

32、持。 例如V(t,X1,X2产上32+x2 )。这就是为什么要通过V( x)的正定性来定义V(t, x) 正定的原因。例如 V (t, x1,x2 )=(1 +e，X x12 +x；)是 I M R2 的正定函数，而 V (t,x1,x2 )=e二(xi2 +xj)仅是半正定函数。定义2.8若W(x)是Rn的正定函数，且|四才川(x) =2 ,则称W( x)是Rn上 的无穷大正定函数。定义2.9若有正定函数 皿(x ),使得V (t, x | <Wi( x ),则称V(t, x )具有无穷 小上界；若有无穷大正定函数 W2( x),使得V(t, x户W2( x),则称V(t, x)具有无

33、 穷大下界。例如对 V(t,xi,x2 )=(1 +e上 Xx； +x2 ),可以取 Wi(xi,x2 )=(1 +eA 1 x2 +x2 ), Wi (x1,x2 )=(1+eXx2+x2),所以有四(4x2<V , t,x)x(WV，)X 却V (t, x, ,x2 )是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。函数V(t,x )具有无穷小上界的特征是当V(t,x)至l A0时，必有正数6 ,使得 II x| > 6 ,即|x|充分小时，V(t, x )可以充分小。当V (t, x) = V( x)时，这就等价 于V (0)=0, V (x)连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而

34、V(t, x)具有 无穷大下界的特征是当| x充分大时，V(t, x)可以任意大。定义2.10设中(r)是R+t R+的连续函数(F"r |r圭0),且中(0)=0,中(r ) 严格单调递增，则称叫r)是k类函数，记为中(rK。若巴r)还满足 l_im(r ) = 0 ,则称中(r )为无穷大k类函数。k类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十 分密切的关系。引理2.1 (1) W( x )是正定函数的充分必要条件是有 巴(r),中2(r)wK,使 得%(|x| 卢W (x 产中2(|x| )(2-13)(2)若有*(r卢K,使得V(t, x庐|x| ),则V

35、(t, x)必是正定函数，反之亦 直.(3)若有中2(r产K ,使得V(t,x ) <92(3 ),则V(t,x)具有无穷小下界，反 之亦真；(4)若有无穷大k类函数中(r ),使得V(t, x卢邛(|x ),则V(t, x)是具有无穷大 下界的函数，反之亦真。证 由于引理2.1的(2)( 4)又可以从定义和引理2.1的(1)直接推出，故在此 仅证明(1)。若有邛i(r ),啊(r)wK,使得(2-13)成立，则显然有 W(0)=0和 W (x)A0( X ¥0),故W (x)为正定函数，充分性得证。反过来，若 W (X)是正定 函数，则可以定义函数中i(r) = ；m%W(X

36、),由亚(x)的正定性和连续性知，Q(r) 连续，叼(0 ) = 0,且r A0时，叼(r)>0.又当0M |x|wh时，Ill|x|l%(X )= min *W( y)< min W( y) <W( x)lx涧讨 hllxhyll今当 0 < r1 < r2 时，rrr。1 r1 = min W x < min -W x : min 2W x = 1(r)1 1ri x|h2 x|hr2-招 h1')这表明叼(r)是严格单调递增的函数，且满足 中1dxi)<W( x ).同理可定义2(r) = maxW x r x| -r.按前面类似的过程可

37、以验证 中2(r)是满足中2dx ) >W( x)的k类函数。所以(2-13) 式成立，必要性得证。2.3.2零解的稳定性设V(t, x )是I mU上定义的连续可微函数，x (t) = x(t,t0, x 0)是(2-12)的解。定 义V(t, x)沿着(2-12)解的全导数为dV(t, x) _ V (t, x) 八 -V (t, x) fk(t, x)=V(t, x)dt二t k m ： Xk利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理。定理2.5 (1)若有正定函数V(t,x)，使得V(t, x)半负定，则(2-12)的零解稳定；(2)若V(t, x)正定且有无穷小上

38、界，V(t, x)半负定，则(2-12)的零解一致渐近 稳定。证 定理2.5证明思路是利用k类函数的性质：当穴r)<9(&)时必定有r <8. 其证明过程就是利用k类函数的这些性质对任意给出的s寻找满足相应稳定性定义的6 ,而给出6时要反复利用引理3.1中V函数与k类函数的关系。(1)由于V(t,x )是正定函数，由引理 2.1得，有k类函数Q(r),使得 V(t, x )*1 |(x| ) Vs>0( e<h), M(8)>0,由 V(t。, 0)=0 及 V(t, x)的连续性知, 必有6=&(t0,9>0,使得当|x °卜6时

39、，V(t0, x°)(中1仔).由于V(t,x )<0,故当t之to时有叫 x (t,to, x 0)|) <V(t, x (t,to, x 0) <V(to, x 0)(叼由k类函数的单调性知，|x (t,t0, x°)|名.所以，(2-12)的零解是稳定的。(2)当V(t, x)是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有k类函数中i(r)和中2(r),使巴(| x) <V(t, x)«%(| x)V®>0 ,取 6 =%(？(£) >0,当 |x °|<6 时，由 V(t,x )E

40、0 得-i( x(t,t0, x0) ) <V(t, x(t,t0, x0) <V(t0, x0)£ 2( x0 )”2()-2 (1(；=1(；)由k类函数的单调性知，|x (t,t0, x°)| %.故(2-12)的零解是一致稳定的。(3)当V(t, x)正定，且有无穷小上界，V(t,x)负定时，由(2)知，(2-12)的零解 致稳定，下面仅证明(2-12)的零解一致吸引。由引理2.1知，必有k类函数%(r),(2-14)%(r)和%(r),使得;i( x ) <V(t, x) < 2( x )V(t, x) < - ( x )对任意给定的

41、e a 0 (6< % ) , 36 >0 ,使得当| x 0| < 6时，对一切t >t0有 |x(t,t0,x0)|<k% .取 T = 2d Us .由于名<% ，故 3 ( 2 ( v)0<%町<中2(町<*2(%),且当中1 EvE中2(%)时，CP3(<P2J(v)>0,所以T 是一个有限正数。由于dV t, x t,t0, x00二 V t, x t,t0, x dtM-；3 x t,t0, x0m32' V t, x t,t0, x0对上式两边积分得V(t, x (t,t0, x 0)dV.V(t0,x。

42、)3( ：2"(v) ' _(t -t0)即(2-15). V(t0, x°)dv(t T0)_ V(t,X(t,t0,X0):3( ;2(v)dv再由/仰2丸v)的非负性和(2-14), (2-15)得(2-16)2(| X0|)- 1(1 x(t，to,x0)|)3( 2J(v)所以当x0<6 , tt0T 时，由(2-16)得dv2(h2)1(|x (t,t0, x0)dv1()1(|x(t0,xdvdv¥ «2%)2(h2)"«2%)(2-17)dvdv- i(|卜(tbx0)|) :3( :2J(v)由v>

43、;0得中3(%(v) >0 ,再由上式得2(h2)一 F)92(v)最后由Q(r)的单调性知,x(t,t0, x°<S是(2-13)零解的一致吸引域，故(2-13)的零解是 例2.3讨论方程致渐近稳定的。dx1“.- NX _X2dt零解的稳定性。解取V (t, x1, x2 )=x2 +dx2 .dt(2-18)x2 -：；2 sin t x12X22 sin t4 2sint cost -2 <0°2 sint(2-19)V(t,x,x2 )沿(2-18)解的全导数为 V(t,x1,x2 )=-x22因为""X2)"2十X

44、2,所以，VC是具有无限小上界的正定函数，V(t,xnx2 )半负定，由定理2.5知，(2-18)的零解是一致稳定的。例2.4讨论dx.2t二x1 一 e x2dtdx2一 二Xi _ x2.dt 12零解的稳定性。解 取V(t,x1,x2 )=x2 +(1+e't )x；,显然有 x2+x；EV(t,x,X2)Wx2+(1 +ea )x2。所以V(t,Xi,X2 )是具有无限小上界的正定函数，又因为V t，X2)= -2-x1x2 +(1 +2et )xf I22三-2 X1 - x1x2x2222=- x1x2- x1 - x2即V&.x?)是负定的，所以由定理2.5知，(

45、2-19)的零解是一致渐近稳定的。dx=-2x(x-1)(2x-1)例2.5讨论系统d dt的平衡点及其稳定性町-2ydt1解:根据定乂平衡点为 P(0,0), P2(1,0), E(,0)。21 .间接法：用Mathematica数学软件的Dsolve求解功能解出系统的两组解 为：2t c C1t 22t "C1小 e -4e -e ve -4ex(t) =2tc2(e2t-4ec1)j。)。-2te2t -4ec1 - g Je2t -4ec1% (t) =o/ 2t/ C12(e -4e )2(t)=C2e2t再用Mathematica数学软件的Limit求极限讨论系统解的变化

46、趋势，可以得出，当tT十如时，系统的解x(t)T 0,y1T 0,x2(t)T 1, y2(t)T 0 ,所以1P(0,0P2(1,四系统的稳定的平衡点，P3(-,0)为系统的不稳定的平衡点 22 .直接法：根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有 ： 在点P(0,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为：Ai =,p=4,q=4故R(0,0)是系统的稳定的平衡点；在点P2(1,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为：'-20、<0 -2>,p=4,q=4故P2(1,0)是系统的稳定的平衡点；1在点P3(1,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为：2门 0 ) A

47、3' J - "2 一 1故R(-,0)是系统的不稳定的平衡点。22.4判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法2.4.1 相关定义定义2.11右端不显含自变量的微分方程称为自治方程(自治系统)在这里我们仅讨论右端不显含自变量的一阶微分方程形如X(t) = f(x)(2-20)定义2.12代数方程f (x) =0的实根x =x。称为微分方程(2-20)的平衡点。定义2.13从小某邻域的任意值 出发，使方程(2-20)中的解x(t)满足li mx (:户为，则称x。是渐近稳定的，否则是不稳定的。 t 二2.4.2 判定平衡点稳定性的方法1 .间接法：从小某邻域的任意值出发，使方程 (

48、2-20)中的解x满足 ltim x (:尸为，则称x°是渐近稳定的，否则是不稳定的。这样的判断方法称为问 -接法；2 .直接法：不求方程式(2-20)的解x(t)的方法，成为直接法。方法：将f (x)在小 处作泰勒展开，只取一次项，有微分方程(2-20)可近似为KtLx-xJ(2-21)称为(2-20)的近似线性方程小也是(2-21)的平衡点，(2-21)式的解为x(t) =x0 Cef'(x)t(2-22)一，x f '(x ) <0因为lim x(t)=4 00,所以有下列定理t.，: f '(x0) 0，定理2.6关于方程(2-20)的平衡点的稳

49、定性，有如下结论： 一'1 .若f (x) <0,则刈称为万程(2-21)和(2-22)的稳定的平衡点 ' 、 一、一 一 一、.一 .2 .若f (x) >0,则x0称为万程(2-20)和(2-22)的不稳定的平衡点例2.6讨论Logistic模型的平衡点的稳定性解：1 .间接法：根据定义2, Logistic模型的两个平衡点为：x = 0, x=xm,模型x的解为：x(t)=m,则根据定义2.13,当tT + 8时，总有x(t)T xm,1 ( x -1)e-rtxm则平衡点x=xm是稳定的平衡点，平衡点x = 0是不稳定的平衡点x2x2 .直接法：f (x)

50、=r (1 )x ,则有 f '(x) = r(1 ),则 f (x)x = r > 0 ,则根 xmxmix = r < 0, x = xm是稳定的平衡点 x -xmx = 0处趋 xm.符合(2-23)Po(xo, y°)称据定理2.6, x=0是不稳定的平衡点；f'(x) 1分析：从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量Logistic模型的假设2.5判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法2.5.1 相关定义定义2.14右端不显含自变量的微分方程组x(t) = f (x, y),y(

51、t)=g(x, y)是二阶自治方程(系统)，二阶方程可以表示为两个一阶方程组定义2.15代数方程组1f (x,y)=0的实根x = %,y = y0组成的点 g(x,y)=0为自治系统(2-23)的平衡点或奇点。定义2.16对于自治系统(2-23)的平衡点B(x0,y0)若以所有可能的初始条件 出发的解x(t), y(t),满足ljmjd尸x 0,limy(t)=y 0，则称平衡点p0稳定；否则称p0不 稳定。2.5.2 判定平衡点稳定性的方法为了用直接法讨论系统(2-23)平衡点的稳定性，要先研究线性常系数微分方 程组(2-24)x(t); ax byy(t); cx dy的平衡点及其稳定性

52、。2(x0, y0)是(2-24)式的唯一的平衡点，它的特征方程是det -A)=0,则(2-24)式的特征根为 % = ("-4q) , (2-24)式的一般解的形式为c1e/lt+c2e加( #%)或Ge't+c2e"('-1 =%)，所以根据稳定性的定义 2.16可得下列定理定理2.7:关于(2-24)的平衡点的稳定性，有如下结论：1 .若p >0Hq>0 ,则(2-24)式的平衡点P(0,0)稳定;2 .若p<0或q<0,则(2-24)式的平衡点P(0,0)不稳定；那么对于系统(2-23)式平衡点8(x02。)的稳定性，也是用

53、线性近似方法来判断，将f(x,y),g(x,y)在点Po(Xo,yo)处作泰勒展开，只取一次项，得 (2-23)在 E(Xo, y0)的线性近似方程为:.x(t)= fx(Xo, y°)x fy(Xo,y°)y(2-25).J(t) =gx(x0,yo)x + gy(x。，y0)y微分方程(2-25)的讨论跟(2-24)是一样的，并且有下列的结论成立：在非临界 的情况下(即p,q=0), (2-23)平衡点R(%, y°)的稳定性与(2-24)式平衡点 P)(x0,y。)的稳定性相同，而在临界的条件下(p,q=0),二者可以不一致，比如 说，线性近似方程的平衡点为

54、中心时，要用其它的方法来判断 (2-23)平衡点的稳 定性。N t =r t N t1-N t -1 -cN t-N t，f Mt < 0其中(3-1)(3-2)(3-3)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性考虑单种群增长模型一阶非线性时滞微分方程及初始条件j工1 ,nil）r （t 产 c（ 0产> 0严）>*（t 产 c&0 ,. 0,- < I c0 :二 cec，c三 0,1 , .0,二方程（3-3）详细的生物学意义和研究该方程的实际作用7o当c = 0时，方程（1）退化为下述著名的Logistic微分模型N t）：=r t N ”11-N t-

55、.（3-4）方程（3-4）解的各种性态已被广泛研究15LKuang, Zhang和Zhao研究了方程（3-1）和（3-2）解的有界性和全局吸引性7, 证明了 ：如果0 r 丁 d匚二且存在0 >0和T >0使得j J（日 d6 <6 <1-ce6, t >T则（3-1）与（3-2）的每个整体解（存在区间为0, oo）趋向1。 在此首先研究与方程（3-1）相关的一个差分方程1 -XnXn+=exp «n = 0, 1, 2.1-收1的平衡点x=1的全局渐近稳定性，其中1:0,二，-0,1 ,X00-然后应用于方程（3-1）,获得其平衡点N =1全局吸引（即

56、所有解趋向 件，该条件改进了（3-6）式。3.1差分方程（3-7）的全局渐近稳定性引理3.1假设条件（3-8）成立，(3-5)(3-6)(3-7)(3-8)1)的充分条(3-9)：- -1则方程(3-7)有唯一平衡点x =1。引理3.2假设条件(3-8)和(3-9)成立，定义映射g(x ) = exp a1 -x1- Px ,(3-10)1. .1则映射g将区间(0,五)映为(o,五)引理3.1、3.2容易直接验证，详细证明略。引理3.3假设条件(3-8)和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点x = 1是局部渐近 稳定的。证 方程(3-7)在平衡点x=1处线性化方程为工书=,工，当品 =1

57、时，11由线性化稳定性理论知方程(3-7)的平衡点x = 1是局部渐近稳定的8，推论131,当- =1时，g(x)在x =1处的Schwarzian导数 :-12g'''(x) 3ig''(x) sg(x):g'(x) 2lg'(x)J是渐近稳定的，(3-7)的平衡点x=1亦是局部渐近稳定的 朋70，证毕。引理3.4假设(i) f将某个区间I映到自身；(ii) x是f在I上唯一不动点；(iii)在I上f的Schwarzian导数为负;(iv) f在I上单调递减。如果差分方程41 =f x(3-11)的平衡点x是局部渐近稳定的，则x也是全局渐近稳定的8】。