第三章优化设计的数学基础

1、第三章优化设计的数学基础一 等值（线）面目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1 维空间中描述出来。为了在 n 维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。对于可计算的函数 f(x) ，给定一个设计点 X(k) ，f(x) 总有一个定值 c 与之对应；而当 f(x) 取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i) （i=1,2, ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。目标函数 F(x)的等值面（线）数学表达式为：F(x)=C当 c 取 c1,c2, 等值时，就获得一族曲面族，称为等值面

2、族。等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心” ，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点” （须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；严重非线性函数病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。二 方向导数与梯度1 方向导数二元函数在点 x0 处沿某一方向

3、 s 的方向导数Flim F ( x10x1, x20x2 ) F (x10 , x20 )s x0S 0s方向导数是偏导数概念的推广。方向导数与偏导数之间的数量关系是FFFcos 2s x0x1 xcos 10x2x0n 元函数在点 x0 处沿 s方向的方向导数FFcos 1Fcos 2x0x0x 0sx1x2nFcos ix 0i 1xi2 梯度二元函数的梯度x2Sxsx2x20x0x121Ox10x1Fcos nx 0xnFs x0F (x0 )Fcos 1Fx1 xcos 20x2 x0FFcos 1x1x2x0cos 2FTx1FFFx1x2 x0x2x0F(x0)为函数 F( x1

4、， x2 ) 在 x 0 点处的梯度。cos 1设scos 2FFFcos 1sx1x2cos 2F TsFs cos F, ss 方向和梯度方向重合时，方向导数值最大。梯度的模：F22FFx1x2cos设 scos1为单位向量2则有Fx 0F ( x0 )T sF ( x0 ) cos( F , s)s梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。x2f(x0)最速上升方向x0f(x0)上升方向最速下降方向变化率为零的方向下降方向Ox1多元函数的梯度F ( x0 )Fnx0si 1梯度 F(x0)的模Fx1Fx2Fxnx 0Fx 0cosxiF ( x0 )FFTFx1x

5、2xn x0iF ( x0 )T sF ( x0 ) cos(F , s)1nF2()2x0i 1xi函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过 x0 的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。梯度两个重要性质：（搜索方向问题）性质一：函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直；性质二：梯度方向是函数具有最大变化率的方向。x2f(x0)最速上升方向x0f(x0)上升方向最速下降方向变化率为零的方向下降方向Ox1例题 1：求函 f ( x) x12x224x14 数在点 3,2 T 的梯度。解：ff ( x)x12 x14f2x2x2在点 x(1) =3,2T 处的梯度为：f ( x(1) )2x1422x2x(1)4例 2：试求目标函数fx1, x224x1 x22X 0T3x1x2 在0,1点处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一单位长度后新点的目标函数值。fX6x1fX4x1 2x2解：由于x14x2 ,x2则函数在X 0T处的最速下降方向是0,1fXPf X 0x16x14x2X4x12x2 x1f0x2x10x2