中线倍长法及截长补短经典讲义

1、几何证明中常用辅助线（一）中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。巳知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < -（AB+ 匚AC）小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它 可以将分居中线两旁的两条边AB、.AC和两个角NBAD和NC.AD集中于同一个三角 形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法ABC 中AD是BC边中线AO3,求中线AD的取值围例3、ABC 中，AB=5,方式1：延长AD到E,使 DE=AD,连接BE方式2：间接倍长例4、于F,已知在ABC中，且DF=EF,求证:AB二AC, D在AB上，E

2、在AC的延长线上，DE交BCBD=CE课堂练习：已知CD二AB, NBDA二NBAD, AE是ABD的中线, 求证：ZC=ZBAE作业:1、在四边形ABCD中，AB/7DC, E为BC边的中点，NBAE=NEAF, AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论图4-12、已知：如图，ABC中，C=90 , CM AB于比AT平分BAC 交CM于D,交BC于T,过D作DEAB交BC于E,求证：CT=BE.3：已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC,延长BE交AC于F, 求证：AF二EF(-)截长补短法教八年级上册课本中，在全

3、等三角形部分介绍了角的平分线的 性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法” 又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形 下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例L已知，如图1T,在四边形月坑中，BOAB, AN DC, BD''平分/力比：求证：NA1必N庆女180° .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺 少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补 短法”来实现.E证明：过点。作DE垂直班的延长线于点发作为优于点尸，如图1-2)、:BD平分/ABC, ：.D

4、EDF,在 Rt4ADE 与股 CDF 中、/kDE=DF/卜'ADCD8 图 F c1-9:.Rt4ADERt4CDFHD , A 4DA方4DCF.又N囹乐NONE二 180° , /员1 分N叱 180” ,例2.如图2T,49a；点£在线段/山上，/ADE-/CDE, ZDCEZECB.求证：CAARBC分析：结论是必分因 可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在上截取华儆 只要再证伫%即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取C4BC,如图2-2在旌与腔中，CF = CB< ZFCE = ZBCECE = CE，

5、此匡8" (%S) , A Z2=ZL又*：ADBC, N/14N86ZM80* , ：./DCE+/CDE=9c , N2+N3=90° , N1 + N4=90° , AZ3=Z4.在丛FDE与A ADE中,ZFDE=ZADEDE = DEZ3 = Z4：.FDEADE (ASA) , J.DFDA.*：CFD>Ca :.C2ANBC例3.已知，如图3T, Z1=Z2> P为BN上一盗,且PDLBC于点氏®BO2BD.求证：/物aNa片1800.分析：与例1相类似，证两个角的和是180。，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证睨/BCP二

6、/EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点尸作PE垂直BA的延长线于点发 如图3-2VZ1=Z2,且 PD工BJ ：.PPD.在 RtABPE与 RtBPD中,PE=PDBP=BP:Rt4BPERtABPDHD，:.BE;BD.:A阱盼2BD, :BaDOBABE, ：/济叱BE即 DOBE-AB-AE.在 RtdAPE与 RtXCPDPE=PD< /PEA=NPDCAE=DC，放/仍感应9(SAS)，二/PA臣乙PCD又TN物4N处后 180°，:./BAR/BC六 1800图3-1E例4.已知：如图4-1,在/仍。中，4c=24B, Z1 = Z2.求

7、证：止AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长至？使毋, 或在月8上截取证明：方法一（补短法）延长力。到£,使叱能於4CDE=4CED,如图4-2八：.4ACB=2 4 E、/尸、,:乙ACB=24B、：.4B=4E,/在 AABD 与 4AED 中,/Z1 = Z2/B = /ED 图4-2AD=AD:4B厘AAED (AAS) , ：.AB-AE.又 AACaAC+DC, ：. AB-AO DC.方法二（截长法）在/仍上截取力/MC,如图4一3/ 在力短?与水刀中，AF = AC/< Zl = Z2-1BDAD=AD图 4-3，XAFI省X

8、ACM SAS）, ：. D后DC, AFD= ZACD.大,： /ACB=2/B,:/FDB=/B,:F加FB.: AFARFaAC/FD, ：.AB-A&CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进 行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。AA |F-1 .作业：1、已知：如图，月809是正方形，/FAA/FAE.求证：BaD氏AE.2、五边形川波中，AB-AE. BC+DaCD, /ABO/A吩 180° ,求证：AD平分4CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取

9、相等的线段，构造全等三角形。 例1、如图1：已知AD为ABC的中线，且N1 = N2,N3=N4,求证：BE+CFAEF.DI冬112、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2： AD 为aABC 的中线，且N1 = N2, Z3=Z4,求证：BE+CF>EF.练习：已知AABa AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形 外作等腰直角三角形，如图4,求证EF=2AD。匚、3、延长已知边构造三角形：|例如：如图 6：已知 AC=BD, AD_LAC 于 A , BC_LBD 于 B, j 求证：AD=BC4、连接四边形的对角线,把四边形的问

10、题转化成为三角形来解决。例如：如图 7： ABCD, ADBC 求证：AB=CD。6、连接已知点，构造全等三角形。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 8：在 RtZXABC 中，AB=AC, ZBAC = 90° , 长于E o求证：BD = 2CE.图IO例如：已知：如图9； AC、BD相交于0点，且AB=DC, AC=BD,求证NA=ND.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB=DC, ZA=ZD 求证：ZABC=ZDCB.截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=DC, E为AD中点，连接BE, CE(1)

11、求证：BE=CE；(2)若NBEC=90。，过点B作BF_LCD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证：BG=DG+CD.2.如图，UABCD中,£是外边的中点，连接力区F为CD边上一点、,且满足N用二2N历 (1)若NZM05。，N%伫35。.求NQL?的度数； (2)求证：A用CACF.3、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC, NB=90° , ND=45° .(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面积;(2)若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点，且满足 EF=GH, ZEFH二ZFHG, 求证：HD=BE+B

12、F.4、如图，梯形 ABCD 中，ADBC,点 E 在 BC 上，AE=BE,且 AF_LAB,连接 EF.(1)若 EFJ_AF, AF=4, AB=6,求 AE 的长.(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE-AD.5 .在0 A88 中，对角线BDLBC, G为8。延长线上一点且AA8G为等边三角形,/BAD、NC83的平分线相交于点E,连接A£交8。于尸，连接GE.g(1)若口A8C3的面积为9/,求AG的长；/“(2)求证：AE = BE + GE./ 6 .已知：如图，在矩形A8C。中，AC是对角线.点P为矩形外一点且满足万丑=尸号也APLPC. PC交AD于点、N ,连接。尸，过点P作。尸。交AO于 A(1)：若AP =求矩形A8CQ的面积；31/(2)：若 CD = PM ,求证：AC = AP + PN.B9题图7、如图，在正方形ABC。中，点P是A3的中点，