九年级数学中考第一轮复习和不等式冀教版知识精讲0001

1、九年级数学中考第一轮复习一方程和不等式冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：复习三：方程和不等式1. 整式方程和分式方程.2. 二元一次方程组.3. 一元一次不等式（组）.4. 方程与不等式的应用问题.二、知识要点：1. 等式及其性质表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数 或同一个等式，所得的结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）, 所得结果仍是等式.2. 不等式和不等式的基本性质用不等号连接起来的式子叫做不等式.不等式的基本性质：不等式两边都加上（或减 去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式两边都乘以（或除以）同一个正 数，

2、不等号的方向不变.不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3. 一元一次方程（1）在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的方 程叫做一元一次方程.“x+b=0 （“H0）是一元一次方程的标准形式.（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1.4. 一元一次不等式（组）的解法解不等式和解方程的步骤基本一样，相同点是：去分母，移项，合并同类项.不同点是: 当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，要注意改变不等号的方向；在数轴上表示不等式 的解集时，要注意包括的点用实点，不包括的点用虚点.解不等式组的步骤：（1）分别求岀各个不

3、等式的解集：（2）借助数轴确左不等式的公共 解集.5. 二元一次方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.任 何一个二元一次方程都有无数个解.二元一次方程组的常用解法是：代入消元法和加减消元法.6. 分式方程的解法解分式方程去分母时，方程两边要同时乘务分母的最简公分母，确泄最简公分母时，如 果分母能够因式分解的要先分解，这样才能确保公分母为最简；去分母时要注意防I匕漏乘不 含分母的项.解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若能使最简公 分母为0,则该解是原方程的增根；否则，该解是原方程的解.7. 一元二次方程（1）泄义：只含有一个

4、未知数，并且未知数的最髙次数是2的整式方程就是一元二次 方程，其一般形式为“W+bx+c=O （“H0）.（2）解法： 直接开平方法：其理论依据是平方根的泄义,这种方法适合解左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的方程，即形如（x+加）舁SMO）的方程 配方法：英理论依据是完全平方公式.一般步骤是：（“）二次项系数化为1,也就是 在方程左右两边同除以二次项系数；（b）移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常 数项：（C）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（A-+/M）2 = n 的形式；（）开方，若"20,则用直接开平方法求解；若"V0,则原方程

5、无解. 公式法：该方法由配方法推导而来,一元二次方程“x2+/,t+c=0 （“H0）的求根公bylb24ac当b2-4<u >0时，方程有两个不相等的实数根：当b2-c=0时，方程有两个相等的实数根；当夕一组“<0时，方程没有实数根. 分解因式法：英理论依据是几个数的积为0,那么这几个数中至少有一个为0. 般 步骤是：（“）将方程右边化为0： （b）将方程左边分解成两个因式的积：（c）令每个因式分 别为0,得到两个一元一次方程：（）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.三. 重、难点：解方程或不等式是本讲的重点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是本讲的难 点.

6、四、考点分析：本讲内容一直是中考的热点和重点，以方程和不等式的概念、解法为基本考点，多以填 空题、选择题的形式出现：而考査方程和不等式的应用时多以解答题的形式出现，且与一次 函数.二次函数等知识紧密结合，难度较大.今后几年中考仍会延续这一趋势.【典型例题】例1.选择题：（1）关于X的方程启+5.上+=0 立是（）A. 世是一元二次方程B. 定是一元一次方程C. 一定是整式方程D也可能是分式方程分析：当“H0时，方程忌+5*+“=0是一元二次方程；当“=0时，方程ax2+5x+b =0是一元一次方程，因为一元一次方程和一元二次方程都是整式方程，所以原方程一泄是 整式方程.故选C（2）已知关于x的

7、方程徐一3加=2的解是则加的值是（A. 2B一2小2、2CyD解析：由方程的解的定义知，把x=/H代入方程徐一3加=2中，=2.故选A（3）已知方程组,A. 4faxby=4./ 的解为 s+by=2B6y=2'则2a_3b的值为(Lv=iC6D. 一42cib=4c丄，c，再求出""选2ci+h=2解析:将方程组的解代入方程组中转化为关于a.b的方程组,B.（4）不等式一兀一5W0的解集在数轴上的表示正确的是（）««61««««A1>«-505-505-505-505ABCD解析：解不等式

8、一X-5W0,得尤2 5,故选B（5）已知关于x的一元二次方程（加一2） 2工+ （2加+1） x+l=0有两个不相等的实数根，A3一4)加H2 D.加豪扌且皿H2解析：方程有两个不相等的实数根,则沪一4“c>0.即（加+1） 24 （加一2） 2X1>0.解得m>l，又二次项的系数（加一 2） 2工0,SH2.加的取值范围是加> 扌且皿H 2故选C.B.3-4> H例2.填空题：3 + 2x21（1）已知不等式组“ 无解，则"的取值范围是xa<0解析：由不等式3+2xMl,得xM-l,由不等式x-a<0,得xVg依据不等式组解集的确左法则，

9、可知“W-1.解不等式组要熟记其确左法则（大大取大：小小取小：大小小大取中间：大大小小取不了）.（2）已知方程14-x22=有增根，贝弘=1k解析：方程+2=有增根由4一*=0或a-2=0得其增根可能为xi=2,X2=2,分别将xi=2, X2=-2代入1 + 8*=一 （x+2）中，知当x=2时，等式不 成立.=一2不是增根，.方程的增根是x=2. ：.k=（3）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由 两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此 4项工程所需天数的卫由甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成需天.4解析：设

10、甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需§.丫天，根据 题意得¥+苧=1.解这个方程得x=25.经检验：a-=25是所列方程的根.当x=25时，寺 5X= 20.所以甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天和20天.例3若0是关于x的方程（7/1 2） a2+3x+a?2+2w 8=0的解，求实数m的值,并讨 论此方程解的情况.解：由题意知，（?一2） （P+3X0+加丄+ 2加一8=0,/./n2 + 2/?i 8=0 即（加+4） （/n2） =0./ ni = 一4» 加2 = 2,当m=2时，原方程为3x=0,此时方程只有一个解，为0： 当

11、加=4时，原方程为一6x2+3x=0.即 3入（-2x4-1） =0.A'l =0t X2 = 2»即此时方程有两个解，分别为0, 2-评析：这是一道易错题，既确左选定系数加，又讨论方程解的情况，不要一看到方程解 的情况，就考虑沪一4m,而应审明题意，当已知方程的一个解时，往往以把解代入原方程 作为切入点.例4.已知加、"为两圆的半径（加知）,是两圆的圆心距,且方程x2 2rnx-in1=cl （n 一皿）有两个相等的实数根，求证：这两个圆相外切.证明：方程疋一加x + “2 = （“一皿）有两个相等的实数根，该方程整理，得x2 沪+ （/nn） d=0,护_仏=（

12、2m） 24X 1 X /r+J=4/?24?24 （mn） =0,即 4 （mn） （m+nd） =0.又 V即加一“HO,/.J=0» 即 d=?+小两圆相外切.评析：证明两个圆相外切，就是证明两圆圆心距等于两圆半径之和，即d=m+n,根据 题意可由b24ac=0来证明d=m+n.例5晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A. B两种型号的轿车，用300万元可购进 A型号轿车10辆，B型号轿车15辆；用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18 辆.（1）求A、B两种型号轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型号轿车可获利8000元，销售1辆B型号轿车可获 利5

13、000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这 两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中， 该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？分析：本题中的问题（1）应用方程组解答.（2）中应根据条件，用不等式组的整数解 来解答.解:（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元. flO.v+15y=3OO根据题意，得仁丄J的8.v+18y=300x=15lv=10 所以A、B两种型号的侨车每俩分別为15万元、10万元.（2）设购进A种型号轿车"辆，则购进B种型号轿车（30“）辆.根据题意，

14、得15"+10(30-“)W400O.86/+O.5 (30-6/) $20.4解此不等式组得18W“W20,“为整数，“=18、19、20. A有三种购车方案.方案一：购进A型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆: 方案二：购进A型号轿车19辆，购进B型号轿车11辆;方案三：购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆. 汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案一获利 18X0.8+12X0.5=20.4 (万元):方案二获利 19X0.8+11X0.5 = 20.7 （万元）；方案三获利20X0.8+10X0.5 = 21 （万元）.答：有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司

15、将这些轿车全部售出后获利 分别为20.4万元、20.7万元、21万元.例6. 2009年4月7日，国务院公布了医药卫生体制改革近期重点实施方案（20092011 年），某市政府决左2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了 1250 万元.投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009 年投入“需方”的资金将比2008年提髙30%,投入“供方”的资金将比2008年提高20%.（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预II- 2011年将

16、有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009-2011年每 年的资金投入按相同的增长率递增，求2009-2011年的年增长率.分析：本题为列方程（组）解应用题，解题关键是审题，弄淸已知量与未知量之间的数 量关系，列出方程，并求解.解：（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是：6000-1250=4750（万元）.（2）设市政府2008年投入“需方J万元，投入“供方” y万元，由题意得x+y=4750.(1+30%) x+ (1+20%) y=6000解得x=3000$=1750A 2009年投入“需方”资金为（1 +30%） x= 1.3X3000=3900 （万元），2009

17、年投入“供方”资金为（1+20%） y=1.2X1750=2100 （万元）.答：该市政府2009年投入“需方” 3900万元，投入“供方”2100万元.（3）设年增长率为由题意得6000 （1+x） 2=7260,解得Xi =0.1, X2=-2A （不合实际，舍去）. 答：从2009-2011年的年增长率是10%.【方法总结】1. 本讲主要的数学思想方法有两个：一个是解方程和方程组时要注意消元和降次的思想; 另一个是解决方程和不等式实际问题时的建模思想.2. 本讲有几个问题要格外注意：方程变形时，两边尽量不要同除以一个含有未知数的 式子；不等式两边都乘以或除以一个负数时，注意不等号的方向要

18、改变；分式方程的验 根.【预习导学案】（复习四：函数）一、预习前知1. 什么叫平面直角坐标系？2什么叫常量、变量、函数？3. 若两个变量八y之间的关系为 4、b为常数，"0）,我们称y是x的一次函数.当b=0时，我们称y是尤的函数.4. 若两个变量x、y之间的关系可以表示成 （R为常数，RH0）的形式，我们称y是兀的反比例函数.5. 形如y=“T+bx+c （“、b、c为常数）的函数中，若",则其为二次函数.二、预习导学1. 分四种情况讨论一次函数的图像所经过的象限与R、b的符号的关系？2. 反比例函数图像的两个分支在平而直角坐标系中的分布情况与k的符号有何关系？3. 写出

19、二次函数尸“W+bx+c （“HO）的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值. 反思：（1）平而直角坐标系中各象限内以及坐标轴上点的坐标有何特征？体会坐标平而内的点和有序实数对的一一对应关系.（2）如何用函数的观点看方程（组）和不等式（组）？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1.如果5x-7与4x+9互为相反数，则x（）9-2A9-2-2-9cD.2. 已知,=1是方程2 （|amy） =2y的解，那么关于x的方程（x3） 2=m （2x 一5）的解是（）4A.x=10B.x=OCx=mD.以上答案都不对3. 方程x （x+3） =x+3的解是（）A. x=lBxi=O, X2=3

20、B. X =0» X2=3DX = 1, X2= 34. 当x=2时，式子用+以+1的值为6,那么当a=-2时，局+加+ 1的值为（）A.6B. 5C. -4D. 15. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范囤在 数轴上表示正确的是（）乙40kg甲4050405040504050ABCD6. 关于x的方程匕+2=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定*7.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加 盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者汁划

21、完成此项工 作的天数是（）A. 8B.7C.6D.5& 一副三角板按如图所示方式摆放，且Z1的度数比Z2的度数大50。,若设Zl=x° ,x=y50x+y=90x=y+50,v+y=90Z2=y° ,则可得到的方程组为（） x=y50|x=y+50aB h+y=180 lr+y=180*9如图所示，两个天平平衡，则3个球体的重量等于（）个正方体的重量.A. “WO*10.已知B. “VO,则"的取值范囤是（C. 0GW1D. a>0TO/IA.2B. 3 4D.5二、填空题1. 将方程*一扌=1.5乳变形为5x-l=6.r的依据是，把方程两边都.2.

22、 已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是（写出二次项系数不同的两个方程）.cib3. 如果x=是方程ax-b+l = -c的根，则（db+c） 2刚的值为, 吊的值为*4阅读材料：设一元二次方程a+bx+c=O （占0）的两根为小畑则两根与方程系 bc数之间有如下关系：Xl+X2=- ", XI - A-2 = ".根据该材料填空：已知XI、X2是方程W + &+3=0的两实数根，贝iJy+7的值为儿I 人25.若妙2一"一3=0是一元二次方程，不等式加+4>0的解集是.*6.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露岀水

23、而的长度是它的扌，另一根露出水而的长度是它的£两根铁棒长度之和为55°”，此时木桶中水的深度是*7.已知关升的方程習3的解是正数，则加的取值范帀为.*8.如果 2r+3y+z=130, 3x+5y+z=18O,v-4-2v迅速求出7卡;的值是三、解答题1. 解下列各题.2+5W3 （卄2）（1）解不等式组:（2）解分式方程:（3）解方程：3x2-5x+l=0.2. 已知方程/x2+/?x-!-c=O的一个根是1,且2+2“一3,求方程护一c=0的根.3.若二元一次方程组）x+ay7=0也+m和二元-次方程组“I"二门;°的解相同，求"、 k-2

24、y+5=0b的值.4. 在课程改革实验中，重视学生能力的培养，初一阶段就有48人次在髙级以上各项活动 中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在髙级以上得奖，求这两年中得奖的平 均增长率.5. 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进 价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件 的数量相同.（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购 进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种 零件的销

25、售价格为15元.则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件 的总利润（利润=售价一进价）超过371元，通过讣算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂 购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来.【试题答案】一、选择题l. D 2.C 3.D4. C当 x=2 时，式子 ax3+bx+ 的值为 6, ,用+加=5.当 x=2 时，ax3+bx=-515. C 6. A?2 37. A 设计划用x天完成，贝F+2X-=1,解得x=8】&D (Zx=5y9. D【设球体.柱体、正方体的重量分别为八八z,则仁,整理得3x=5z,即3I3y=2z个球体的重量等于5个正方体的重量10. C 由寸护知 aW1 且 “H0,又寸匚-*->0- A0<t/<l二.填空题1.等式的性质2,乘以42/+1¥3=0： 22-2=0,答案不唯一3. -1-1,“八口叶曲盘 !/c . a-2 , Al ,：.VI-.V2'' 22.V1A2(-6) 22X34. 10【根#占题意 m+x>=6, xxi=3. .-r=-X X2