吉林省长春市希望高中2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题202108040374

1、word某某省某某市希望高中2020-2021学年高一数学下学期期末考试试本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120 分钟。注意事项：1 .答题前，考生必须将自己的某某、某某号填写清楚，并将某某号准确的填涂在答题卡上。2 .选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题 5分，共60

2、分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知复数1,则其共轲复数zA. 1 iB.C.D. 2 i2.已知向量(1,2)b (2,2)，则 | ab|A. 4B.C.D. 73. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，ABO足“勾3股4弦5”，且 AB=3, E为 AD上一点，BE! AC若 BA=入 BE + W AC，)A.25B.725164.南宋著名数学家秦九韶在其著作25数书九章中创用了 “三斜求积术”，

3、其求法是：“以小斜哥并大斜哥减中斜哥，余半之,自乘于上.以小斜哥乘大斜哥减上，余四约之，为实16 / 12为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积2.若力ABC中，内角A , B , C所对的边分别为c,且2c sin Asin C , cosBc,则用“三斜求积术”求得 在ABC的面积A.B. 1c. 35D. 1105.三棱柱ABCAB1C1 中，点 M在AB上,且AMAB若BQ/平面A1MCA.B.1C.一42 D.36.已知iABC是边长为4的等边三角形，且BD2DC,E为AD中点，则BE ACA.B.2C.一3如图，空间四边形 ABCD勺对角线A

4、O 8, BD= 6,D. 8M N分别为AB CD的中点，并且异面7.已知直线l ,两个不同的平面O，则 MN=()8.,下列命题正确的是（A.若l /B.若 l /l/,则 /C.D.若l / / ，则l9.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为J7:8 ,则正六棱锥与正六棱柱的高348848.86 （单位：m）,10. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是

5、三角高程测量法的一个示意图，现有A,B, C三点，且A, B, C在同一水平面上的投影 A,B,C满足 AC B 45 ,ABC 60 .由C点测得B点的仰角为15 , BB与CC的差为100;由B点测得A点CC 约为（73 1.732）（的仰角为45 ,则A, C两点到水平面 ABC的高度差AAA. 346 B . 373 C . 446D. 47311（多选）.a ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,下列结论一定成立的有（）A. cos（A B） cosCb.若 A B ,则 sin A sin BC.若 acosB bcosA a ,则 a ABC 是等腰三角形D .若 sin

6、2A sin 2B ,则ABC是等腰三角形12 （多选）.如图，在长方体 ABCD ABC1D1 中，AA1 AB 4, BC 2, M, N 分别为棱C1D1, CG的中点，则下列说法正确的是（）A. A、M、N、B四点共面B ,平面ADM 平面CDD1C1C.直线BN与BiM所成角的为60、D.BN / / 平面 ADM第口卷(共90分)二、填空题(每小题 5分，共4小题，共20分)13 .已知复数z a bi,a,b R (i为虚数单位)且 -z- 3 2i ,则| z | .1 i14 .已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .15 .在四面体ABCDK BCD

7、是边长为2的等边三角形，4ABD是以BD为斜边的等腰 直角三角形，平面 ABD 平面ABC则四面体 ABCD勺外接球的表面积为 .16 .在aABC中，BC 3, AC 4, ACB 90 , D在边AB上(不与端点重合).延 长CM P,使得CP 9 .当D为AB中点时，PD的长度为 ;若33PC mPA - m PB (m为常数m 0且m 5),则BD的长度是.三、解答题17 .已知向量 a (2,1),b (3, 1).(1)求向量2与b的夹角；(2)若c (3,m)(m R),且6 2b)石，求m的值.18 .如图，在直三棱柱 ABCABG 中，/ BAC= 90 , AB= AC=

8、AA.(1)求证：AB，平面ABC;(2)若D为BC的中点，求 AD与平面ABC所成角的正弦值19 .如图，在四棱锥 E ABCD中，底面ABCD为矩形，平面 ABCD 平面ABE,AEB 90，BE BC , F为CE的中点，求证:(1) AE 平面 BDF ;(2)平面BDF 平面BCE .20 .已知 ABC的外接圆的半径为 J2，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,又向2 一 ，量 m sinA sinC,b a , n sin A sin C, sin B ，且 ，工 4(1)求角C;21.如图，在直角梯形 AEFB中，AEEF,AE /BF ,且 BF EF2AE ,直角

9、梯形D1EFC1可以通过直角梯形 AEFB以直线EF为轴旋转得到.(2)求三角形ABC的面积S的最大值并求此时 ABC的周长.(2)若二面角C1 EF(1)求证：平面CiDiEF 平面BCiF ；B的大小为一，求直线DF与平面ABG所成角的正弦值. 322.某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以 AB为一边作等腰直角 a ABC ,其中BC为斜边.2(1)右 AOB ，求四边形OACB的面积； 3(2)现决定对四边形 OACB区域地块进行开发， 将丛ABC区域开发成垂钓中心， 预计每平方米获利10元，将&OAB

10、区域开发成亲子采摘中心， 预计每平方米获利 20元，则当 AOB为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？1. B2. B3. B4. D5. A6. B7. C8. A9. D10. B11. BC12. BC13. 2614.15. 61316.218y【详解】解：由勾股定理可知,ABAC2 BC2,3242当D为AB中点时,-1CD AB 252，所以PDPCCD5 13P三点共线，可设PCPD0),. PCmPAm PBPDmPAm PB,即PD3m 2PA mPB3 mD三点共线，m 2. CP9,PD 6, CD则BDX,BDC，根据余弦定理可得cosAD2CD2 AC22AD

11、CDx2 76x ，cos222CD2 BD2 BC22CD BD25 x, cos cos6 5 x0,2x6xx 工或x 5 （舍去），BD5的长度为18故答案为132185517. (1)4(2)解：（1）由a2,1由题得av22 15而，2 3 115,设向量a与b的夹角为，则cosa b 52a b .5 J02由 0,，所以z.即向量a与b的夹角为.(2)由 a 2,1 , b 3, 1 ,所以 a 2b 4,3 ,又 £ 2b c,所以 a 2b c 0,又 c 3,m ,所以 4 3 3m 0,解得m 4.18. (1)证明见解析;【详解】(1)证明：由题意知四边形

12、AABB是正方形, .AEUBA.由AAL平面ABC得AA，AC.又. ACAB, AAnAB = A,AG，平面 AABB.又AB?平面 AABB, . ACXAB.又 BAA AG = A,.AB,平面 ABG(2)连接 AD.设 AB-AO AA=1.BG1AAL平面 ABC,AQA A时平面 ABCABC 中，D为斜边 BG 的中点，AD- -2、. 2 .2在 RtAiDA中，AA 队D2 A1A 券.sin / ADA ALA 逅，即A四平面ABC所成角的正弦值为 X6 . AD 3319. (1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】(1)设AC与BD交于点O ,连接FO ,如图所

13、示：因为O , F分别为AC , EC的中点，所以 AE/OF .又因为OF平面BDF , AE平面BDF ,所以 AE/平面BDF(2)因为平面ABCD平面ABE AB ,CB AB,所以CB 平面ABE.又因为AE 平面ABE,所以CB AE .又因为 AEB 90 ,所以AE EB .AE EB所以 AE CB AE 平面BCE . EB CB B又因为AE/OF ,所以FO 平面BCE ,又因为FO 平面BDF ,所以平面BDF 平面BCE .20.(1) C -. (2)Smax 3J3,周长为 3>/6.32【详解】 1-t1-i-(1) mnmn0，一 sin A sin

14、C sin A sin C b a sin B 0 ,4且2R 2 J2，由正弦定理;化简彳导:c2 a2 b2 ab.由余弦定理：c2 a2 b2- 0 C ，.二 C 一3 .(2) a2 b2 ab c26 a2 b2 ab 2ab_ i _3S absinC ab2422a c2R2R2ab cosC , 2cos C22RsinC 6,ab ab (当且仅当a3技21 cosC 一 ,2所以，Smax 2J3,此时， ABC为正三角形，此时三角形的周长为376 .21. （1）证明见解析；（2） W285 . 95【详解】AEFB解：（1）证明：在直角梯形AEFB中，AE EF，且直

15、角梯形D1EFC1是通过直角梯形 以直线EF为轴旋转而得，所以 D1E EF,又 AE /BF ,所以 BF EF,C1F EF ,因为BF GF F ,所以EF 平面BGF ,因为EF 平面C1D1EF,所以平面CQiEF 平面BCF .（2）由（1）可知 BF EF,C1F EF ,因为二面角& EF B为3，所以 GFB ,过点F作平面AEFB的垂线， 如图，建立空间直角坐标系F xyz .设 BF EF 2AE 4 ,则 E(4,0,0), G(0,2,2 73),5(4,1,73), B(0,4,0), A(4,2,0).所以 AB，(4,2,0), CiB (0,2, 2V

16、3), FDi (4,1,73).设平面ABG的法向量为n (x,y,z),n ABn CB0,即04x 2y 0,2y 2、.3z 0.令z 1,则y百，x 于是n2所以直线DiF与平面ABG所成角的正弦值为n FDi“|FDi|4、285953422. (1) 11250石 78750(平方米)；(2)(1)当AOB1501125073（平方米）21S aob -OA OB21AOB 3002在aOAB中，由余弦定理得,AB2 OA2 OB2 2OA OB cos AOB 157500;12、S土ABC 2AB2 78750（平方米），四边形OABC勺面积为SI边形OACBS.AOBS.ABC1125073 78750（平方米）;（2）设 AOB ，则 0, _1八 八八1所以 S AOB