整理习题解答习题9-2常数项级数收敛性的判定

1、精品文档(3) '7习题9-21.判断以下级数的敛散性.Q0(1) 'n丄12n 1(2)(5)Zn丄1n210n1ln(n 1)0zn=4n 1n21p"精品文档°° 1解：1;n2n 1方法一：利用正项级数的比拟判别法由于1博1己二丄,而调和级数二1发散,从而-1也2n1212 n 2n心 n2 心 n 心 2nn _ _一 一2临 1发散；由正项级数的比拟判别法,得级数发散.n二 2n -1方法二：利用正项级数的比拟判别法的极限形式1n 1 °° 1由于lim 2n 一1 = lim -,而调和级数二-发散,F 1F2n-

2、1 2nnn00 1那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数发散1n21心 2n 1cd(2)、nT方法一：利用正项级数的比拟判别法1 1°° 1由于丁1,而级数a 2收敛P-级数的结论；n 1 nnm n由正项级数的比拟判别法,得级数00 1 川收敛方法二：利用正项级数的比拟判别法的极限形式12 2由于limp-级数的结论n rlim1,而级数v 2收敛1n '：n21心 n22n精品文档那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数Q0(3)-n丄1ln(n 1)精品文档方法一：利用正项级数的比拟判别法由于1 1> ln( n 1) n旳1n1 ,且调和

3、级数送-发散;nA nco 1那么由正项级数的比拟判别法,得级数-发散n丄 lnn +1方法二：利用正项级数的比拟判别法的极限形式lim迴导n 1n=limn ln(n 1)limx ln(x 1)洛必达法那么limx r：1lmX-1所以lim -,即lim辺电:,又调和级数-发散,nY|nn+11nnn00 1那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数1发散.心 lnn +100 14-；心 n、n 1方法一：利用正项级数的比拟判别法 由于 V -,而级数二A收敛P -级数的结论,nn 1 nn n27由正项级数的比拟判别法,得级数Q0Z n d n收敛方法二：利用正项级数的比拟判别法的

4、极限形式由于limn_D1n , n 1Tn23I?=limnn、n 1n厂 n. n 1= lim n " n =1,而级数丄收敛P 级数的结论,那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数oOzn=1(5)加;n 1由于lim 必= lim吧 1 =1,而调和级数匸1发散, nY 1 F n+1n"nCO ,那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数 、斗丄发散.心n +1注：此题中,级数的一般项要进行适当的缩小不易,所以采用正项级数的比拟 判别法做起来相比照拟困难一些,而采用正项级数的比拟判别法的极限形式相 对容易一些00 1(P 0 )当 0 p : 1 时,1n

5、im：F"厂 1-十0,那么由级数收敛的必要条件,得级数1 -nn1 P(0 P 1 )发散;lim= limn ； ： 1pnn ； ： 1 11-2 -,那么由级数收敛的必要条件,得级数P =1)发散;当P 1时,1nlim 巴=1,且级数v 是公比为一n厂丄nd PnPnP1的等比级数,是收敛的,那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数收敛.心1 Pnod q综上,当.心1时'级数发散；当od qp 1时级数:rv收敛2.判断以下级数的敛散性.(1)oOznd (n 1)(n4)°°Tn ；oO(3)-n -2n2n匚2 g r；(4)'

6、 (1 _cos_)；n=2n(5)(6)2丄-n ? n3(7):啤；n -1 n(8)QOntann -1JI2n 1 ；(9)0nj l.ln(n 1)2n J10二 3n_1n其中anlim a n 二 a,a n , b, a 均为正数). n iqQ解：(1)、,心(n +1)(n +4)方法一：利用正项级数的比拟判别法由于n 1n 4卞,且收敛,qQ由正项级数的比拟判别法,得级数nd (n 1)(n4)收敛.方法二：利用正项级数的比拟判别法的极限形式(n 1)(n 4)12n=lim1,n ' ： (n 1)( n 4)且级数&弓收敛,由正项级数的比拟判别法的极限

7、形式,得级数COzn ¥(n 1)(n 4)收敛.方法一：利用正项级数的比拟判别法的极限形式由于血呃等价无穷n兀 小代换2n"mJ,且等比级数浪收敛,2n精品文档2精品文档由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数严收敛JI等价无穷2n 1lim n_ ；:二方法二：(利用正项级数的比值判别法)ItS'n+r由于lim2nY sin兀 小代换2nSin2n由正项级数的比值判别法,得级数O0(3)-n詔(a R)；oOzn =2n 2 - ； n - 2、( n 2)2 -(、n - 2)2= 2-n=2 na( Jn + 2 +oO、n - 2)n221 -1 IV

8、nVn丿1(a R),12oOzn =21 a+ n 2是收敛的;00 r利用p-级数7斗收敛性的结论,得pn =1 n 100111当:<1即：r1时级数v斗是发散的；当:-1即1时级数 2na+_22n由正项级数的比拟判别法的极限形式,得当:< 1时级数二 n 2 ； n 2发2nm n收敛散；当n=2°°n(4) 、(1 一 cos)； 心n精品文档精品文档1 由于lim - n_acji- cosn等价无穷.1 小代换nim 122nn1且级数V -2收敛,n丄n由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数OQ二(1 - col)收敛. nn注：此题不能用正

9、项级数的比值判别法.3n+1由于lim (n苦1n33n=lim= 31,n 2( n 1)2那么由正项级数的比值判别法,得级数发散.0 2v nn=1 32(n 1)n 1由于lim n并n2“im心丄1n 3n 3那么由正项级数的比值判别法,得级数3n爲收敛工啤；nT n(n 1)!® 1n(n 1)n1"由于lim 7丄二lim如地n Yn 吃n-?Cnn-lim F f 1 ?1 +丄I n丿n1,e那么由正项级数的比值判别法,得级数£兀(8) ' ntan-7 ；n=12(n +1)tan 71 由于lim2n_.ntan2nr心等价无穷,.nJ

10、%" 小代换l'mlim 口J 2n那么由正项级数的比值判别法,得级数od' ntann丄兀2n 1收敛.(9) £心 Dn(n +1)由于吧喃1叮问喻1-一=01那么由正项级数的根值判别法,得级数11 收敛.O0心 l.ln(n 1) Tio£ J心3 n 1丿由于imn 312n J悭5_1丿1r 1 2 11,13丿9那么由正项级数的根值判别法,得级数n T 3n-12nd收敛.I b(11)-n由于lim -Wn丿=limn a由正项级数的根值判别法,00 b1即b：a时级数a ann收敛；当->1即a发散；当级数z I可能收敛也可能

11、n =1a n发散.3.判断以下级数的敛散性.(2)丄n±i n!2n"4nd 刃丈丈71.2n -1；精品文档7(5)+ ；n4 n!(6)2nsin n ； n -13aO"b1 (a,b>0) ； (8),'-enn2QO(9)-n -1ej!解：(1)21 .n 'n=422n 1n 12n 1由于lim 二 Jim丄n2n -1 nTc2(2n1)22n那么由正项级数的比值判别法,得级数odzn -1精品文档1 lim n ； ： n 1=01,那么由正项级数的比值判别法,得级数:1收敛.n =1 n!1由于|im 01n_,1n!

12、00 (n !)2(3)' 血；心(2n)!(n 1)2(n 1)!2nim(2 n+2)(2 n+1)4由于lim叫皿f (n!)2丽那么由正项级数的比值判别法,得级数od (!)2、直收敛.nm(2n)!2n4QO"4)n/357L(2n-1)；精品文档02n由于limn_acl357J.(2n1)(2n 1)2nJlimn 2n 1241,4M571.(2n-1精品文档2nJ那么由正项级数的比值判别法,得级数oO收敛心1琬九.(2"-1)收敛4(n 1)3由于 lim (n ：1)! =lim (n =0 c1 n nn!那么由正项级数的比值判别法,得级数74

13、、收敛.心n!°°Jt/s忖；n 1由于lim 2-等价无穷 nac注H八lim2n 小代换n厂2 sin n3n2古23 1,2n33JIn那么由正项级数的比值判别法,得级数Hnsin歹收敛.00 1 k(a,b °)；1由于iim =lim n na b那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数cdz nd na b1 (a,b 0)发散.(8)T-enl 5-2 ；17精品文档7精品文档由于limX :1丄2e_x=lim 1ex2=1 - lim-2x_.：.：: exx洛必达1 - lim 二 1, 法那么x-"2xex_n所以lim n一n

14、并100 1=1,而调和级数v -发散,那么由正项级数的比拟判别法的极限形式,得级数丄-e*发散.(9)州!en 皿 1)!由于limn_sc(n 1)n 1eH跖!=limn = lim n ；：(n 1) n :n=1,oo e4|n !此时由正项级数的比值判别法不能得到级数的敛散性.nA n但是由于数列' (-1)n -；vn 一是单调递增的,且阿1V从而en 1D(n 1)!n 1(n 1)eTh!e彳11 -< n即厂皿1)!(n 1)n1啤,从而nim輿»0,nnr nnDn!此时,利用收敛级数的必要条件,可知级数 昭是发散的.n4.判断以下级数是否收敛？假

15、设收敛,是条件收敛还是绝对收敛?COACOA8.、(1)(-1)n;(2)(-1)n丄；(3)S!njnx) 寸nn=2In n nm(5)、(1(6) ' (-1严111-n j2n(7)(-1)n12n2n =1n!解：(1)n =1精品文档精品文档由于E (-1)n 4收敛；1发散(p-级数的结论),所以级数V (_1)n n 丄'、n不绝对对交错级数1 1 1 10、,n,由于、,nT n,且问"那么由莱布尼兹定理,得交错级数00 1、(-1)n 1n 4. n001收敛；从而级数V (-1)n条件收敛.n二Vn(2) ' (一1)ndn 1；In n

16、od由于无(-1)nln nJ丄,n/ln n11处1而丄)(n_2),且调和级数-发散,那么由正Inn n心 n项级数的比拟判别法,得级数瓦(-1)n 1In n°°1004发散,即级数a (-1广-不 心In n心 In n绝对收敛;001对交错级数v (-1)n,nz2In n1 1 1由于,且lim=0,那么由莱布尼兹定In(n+1) In nInnqQ理,得交错级数 J(-1)n2 In n1 : 11收敛；从而级数v (-1)n 条件收敛.心 In n(3)sin(nx).n dqQ对级数、n 二sin(nx)2n由于sin(nx)12 n d n收敛(p-级数

17、的结论),那么由正项级数的比拟判别法,得级数n dsin(nx)收敛,0 即级数匸nT吧刃绝对收n敛.(4)n)n1n d1 11 _ n2 nod为(T)n=1丄1厂2nn八二11n =1 2精品文档7精品文档那么由正项级数的根值判别法,得级数QOZ (-1)n丄n -12n收敛,001 (即级数(_1)n= 1 n42-绝对收敛 n(5)二(_1)nn=1ln( n 1)n 1qQ由于瓦(-1)nn 二ln(n 1)n 1级数的结论,CO=zn 4ln( n 1)n 1ln(n 1)n 100 1且7 发散nJ n 1(p-那么由正项级数的比拟判别法,得级数Z (-1)nln(n +1)n

18、 =1=ZnTln(n 1)n 1发散,所以级数二-1n lnn 1不绝对收敛; n£n +1对交错级数(-1)nn dln(n 1)人ln x令 f(x) (x_2),那么x丄应-In x) f (x)亠 厂xf (x) h1单调递减;x1 -In xx2从而当x e时f x ： 0 ,即当x e时Xln( x 1)洛必达那么由莱布尼兹定理,ln(n 2)n 2ln(n 1)n 1(n_2),又 limln(n 1)n 1二0 由于lim x 1X ：1=0,所以Hmln(n 1)n 1=0)得交错级数31n收敛,0从而7 (-1)nnTln(n 1)n 1收敛.故级数、-1nn d晋条件收敛.(6)(-1)nJn -1由于瓦(-1)值判别法,n _1n3nJ=nJn 4 3n+1nn 亠 11而lim-=lim =-：1,那么由正项级数的比n ；： n n3 n3cQ得级数'、n =1(-1)23nJ0='n =1收敛,即级数7 ("严韦绝对收敛n3 -(7) &(1)n1n A2n2n!QOzn d2n2("JoO=11n d2n2n!2(n “2而 lim(n 1)!2?n 1二 limn 匚:2nn ；： n 1n!22x 1lim x x 亠 1lm.n211X222(n 1)22