2020年高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

1、2020年高考数学(理)总复习：解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意三统一”即统一角、统一函数、统一结构”这是使问题获得解决的突破口.【例1】 ABC的内角A、B、C所对的边分另IJ为a, b, c,已知sin(A+ C) = 8sin求cos B；(2)若a+ c= 6, ABC的面积为2,求b.B【解析】(1)由题设及 A+ B+ C= n, sin B = 8siM3 4?，故 sin B= 4(1 cos B).上式两边平方，整理得17cos2B

2、32cos B+ 15= 0,COS D 一哥解得cos B= 1(舍去)，b-君158由 cosB= 17 得 Sin B ,山14依 Saabc = ?acsi n B =：A5 67又 AABC 二贝 U ac二 T . 2由余弦定理及 a+ c= 6 得：b17=(a + c)2 2ac(1 + cos B)= 36 2AA' 1=4.所以 b= 2.题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若sinA=2A2, a= 2, S8c= a2+ c2 2accos B=2,则b的值为()3.2B. 2C. 2 .2【解析

3、】-在锐角/ABC中，si nA二乎，Saabc， 3cosA= p 1 sin 2a= 3, AbcsinA =,bc= 3，由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bccosA,22(1 1(b + c)2= a2+ 2bc(1 + cosA) = 4+ 6X 1 + = 1213 J b+ c=23.由得b二c二，3,故选A.【答案】A2. 在A ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin As inB + sin Bsi n C+ cos 2B =1 .若 C=今，贝 Ua =. 3b【解析】T sin As in B+ sin Bsi n C+ cos 2B= 1

4、, sin Asi n B+ sin Bs in C = 2si n2B.由正弦定理可得ab+ be=2b2,即pi a+ c=2b ,-c= 2b- a, TC = 2n,由余弦定理可得(2b a)?二 a?+ b? 2abeos2n,可得 5a = 3b , 33b=3=5.【答案】33. 已知 ABC是斜三角形，内角A , B , C所对的边的长分别为a , b , c.若csin A二.3acos C.(1)求角C；若 c= .21，且 sinC+ sin(B- A)= 5sin 2A，求A ABC 的面积.【解析】 根据一八二一，可得csin A二asin C, sin A sin

5、C又；csin A = 3acos C,. asin C= 3acos C, sin C = 3cos C, tan C二 亚6cos Cn-C (0,n, C = 3.(2) / sin C+ sin(B A) = 5sin 2A, sin C= sin (A+ B), si n (A+ B) + si n (B A) = 5sin 2A, 2sin Bcos A= 2X5s in AcosA. ABC为斜三角形， cos AMO sin B= 5sin A.由正弦定理可知b= 5a， 222 / c = a + b 2abcos C, 21 = a + b 2abA1 = a + b ab

6、,(2)由解得a=1, b= 5,.©11 亚衣3 6八 abc= ?absin C = ?X1 X5= 4 .题型二正、余弦定理的实际应用【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰 角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有 关知识正 确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.例2某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中

7、三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB, BC, CD , DE , EA, BE,为学校的主要道路(不考虑宽度)./ BCD二2 nn9/ CDE 二一» / BAE =,DE = 3BC= 3CD= km3310(1)求道路BE的长度；(2)求生活区a ABE面积的最大值.【解析】如图，连接BD，在 BCD中,22227BD2= BC2+ CD2 - 2BC CD cos/ BCD =100.BD = io km. / BC = CD,n6,CBD =2 nnCDEBDE又/ =§，/ =n 在 RtA BDE 中，BE= BD2+ DE2二严).故

8、道路BE的长度为 km.5n2 n(2)设/ ABE = a, V/ BAE =八，八Z AEB 二亏一a.在A ABE中，易得AB = BE=显3二6勿得 sin/AEB = sin / BAE= n= 5，59»?uisS=aviuisgSaBE= 2AB AEsin-a isin a11鹫知2七喈W/ 0< a<23n n 7 n6V2a 6V 石.- 当2 a 6=2，即a=时，abe取得最大值，最大值为了。：加2，故生活区，ABE面积的最大值为题组训练二正、余弦定理的实际应用1 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西

9、偏北20的方向上，仰角为60,在点B处测得塔顶C在东偏北40御方 向上，仰角为30。.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD【解析】设 CD二 h,贝 U AD= §, BD= .3h，ADB 中，/ ADB = 180° 20° 40=120°,由余弦定理 AB2= BD2+ AD2- 2BD AD cos 120 °可得 1302=3h2+-J,解得h= 10 39,故塔的高度为10 39 m.【答案】10 392.如图，在第一条海防警戒线上的点A, B, C处各有一个水声监测点，B, C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，

10、B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A, C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度 是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B, C到P的距离，并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.【解析】依题意，有FA二FC二X,PB= x 1.5 8= x12.在 A PAB 中，AB = 20,cos/ FABFA2 + AB2- FB22FA ABX2+ 202(X 12 2 = 3x+32 2x 205x=2同理，FAC 中，AC= 50,2 . A 22,LC2 2-FA + AC FC x + 50 x 2 5 cos/ FAC =2PA AC = 2x 5

11、0 =二 / cos/ FAB= cos/ FAC,A土生二生，解得x=31.5x x(2 M、FD_LAC 于点 D，在 ADF 中，由cos/ FAD = 25得 sin/ FAD= 1- cos2 / FAD = 4A , 3 1 FD = FAsin/ FAD =彳仆" 4 21.故静止目标F到海防警戒线AC的距离为4 21千米.题型三三角函数与解三角形问题【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，角之 优先考虑角与 间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.si nA si nC sinA sinBa+ c例3在A ABC中

12、，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且满足(I)求 C；1(H)若 cosA= 7,求 cos(2A - C)的值.【解析】(I)由si"：, si汕A一新目及正弦定理得a2 c2= ab- b2,O I c2 22整理得a2+ b2- c2= ab,由余弦定理得cosC二-1，又OvCv n,所以C二立-2ab(n)由 cosA=7 知 A 为锐角，又 sin2A+ cos2A= 1,所以 sinA =12，故 cos2Acco A cos(2A-C)_cost2A(二2cos2A l，49 ' sin2A二2sinAcosA=2 呼孕嚅，所以2398CA n .

13、 CA c 47 1 斗叙 3 显 3cos2Acos + si n2As in£= 八,49A2 + 49 *2”题组训练三三角函数与解三角形问题已知函数 f(x)= sin 2x 十二 i'+ cos 2x.I6 J(1)求函数f(x)的单调递增区间；在 ABC中，内角A, B, C的对边为a, b, c,已知咻)二于产二2, B二才，求A ABC 的面积.【解析】(1)f(x)= sin 2x+二+ cos 2x<6 J nn_sin 2xcosg_|.cos 2xsin6 + COS 2X二寺 " 2x + os 2x= . 3兀、=.3sin i2x

14、 + 令一杆 2k n<x!+2k-芳+ kn<，兀+公卜© Z.f(x)的单调递增区间为:5k, kz.由 f（A）= 3,2 1 乂 0<A<3 ,3<2A+ 3vT，1因为如3二帑解得：A二na bsin A sin B又由A=：，BJ可得：sin C二逅乎.43413+ ,3abc =?absin C 2题型四转化与化归思想在解三角形中的应用【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下:梳理已知条件，找出三角形申巳知的边、角关系及持求问题,然后依据三角区等变换的进程嘱定转化的方向如步骤 币豁己知条件和丽求厨题合理透择转7E的定理*进行边

15、角间的转化边瀚互化时，应注意转化的方向，一殷有两种思路*-是全部蔽化为角之间的关系*如步骤岸二是全部转化为边之间的羌系,如 出骤与步麋 将已知条件中的数据代人所选用的定理并求出相应的结论，如 选定理步骤定结果【例4】 在AABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若acos?C+ ccos2a = |b.求证：a, b, c成等差数列；(2)若/ B= 60 0 b= 4,求A ABC 的面积.【解析】 证明：acoSbCC+ ccos2A1 + cos Ca+ c21 + cos A 3即 a(1 + cos C) + c(1 + cos A)= 3b.由正弦定理得：sin A+

16、 sin Acos C + sin C+ cos As in C= 3si n B, :艮sin A+ sin C+ sin(A+ C)= 3sin B, / sin A + sin C= 2si nB.由正弦定理得，a+ c= 2b,故a, b, c成等差数列.由/ B= 60 ° , b=4及余弦定理得：4?= a? + c? 2accos 60(a+ c)2 3ac= 16,又由知a+ c=2b，代入上式得4b2- 3ac=16.又b=4,所以ac=16 ,1 1 ABC 的面积 S= ?acsin B = Aacsin 60 =4 3.题组训练四转化与化归思想在解三角形中的应

17、用如图，在平面四边形ABCD中，AD= 1 , CD=2 , AC二，7.求cos / CAD的值；(2)若 cos / BAD 二一荷,sin / CBA =求 BC 的长【解析】 在A ADC中，由余弦定理.得 cos/ CAD =AC2+ AD2. CD22AC AD217设/ BAC= a,贝 Ua=/BAD./ CAD.因为 cos / CAD 二一，cos / BAD =- F,所以 sin / CAD =yj 1 - cos2/ CAD 二弓，sin/ BAD 二寸 Leos?/ BAD = 3Al.于是 sin/ BAC= sin (/ BAD-/ CAD)7号216在A AB

18、C中，由正弦定理得,bc二 AC sin / BAC二sin / CBA【专题训练】、选择题 22nr, t1 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且b=a + be, A=$,则内角C等于()AhpA . nB,43nCG【解析】 在A ABC中，由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bccosA，即a?. b2= c2- 2bccos A,由已知，得 a? b?= be,则 c? 2bccos6二一 be,即 c二(J3 1)b > 由正弦定理，得 sin C 二(.3- 1)sin B = ( 3- 1)sin 5 C ,16 )化简，得sin C -

19、cos C=0,解得C= 4，故选B.【答案】B2 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,已知b=2, c=2 2,且C二亍，则AABC的面积为（）A. .3+1B. 3- 1 C. 4 D, 2【解析】 法一由余弦定理可得（2羽十二22+ a?-2X2X38八，即a2.2Q2a 4=0,4AA解得 a=J2+ 典或 a二述一6（舍去）, ABC 的面积 S= gabsin C = X2 XW2 + 6）s=2XXX6+ 2） = ,3+1,选 A.法二 由正弦定理 出=一八；，得sin B二bsm.j £又c>b，且B （0, n）所以B=sin B s

20、in C c 2 n 所以 A= g 所以 ABC 的面积 S= 2bcsin A= |x2 X2 .2 sin£=£X2X2 2X6+a2= .3 + 1.【答案】A3.在 ABC中，内角A , B , C的对边分别为a , b , c，若A ABC的面积为S,且2S 二（a+ b ） 2 ,贝 UtanC 等于（）44A.4B.3 c,- 3【解析】 因为2s=（a+ bR c2=a2+ b2- c2+ 2ab，则结合面积公式与余弦定理，得2absin C= 2abcos C+ 2ab，即 sin C 2cos C= 2，所以（sin C- 2cos C）二 4 ,si

21、n C. 4sin Ceos C+ 4cos Cta n2c 4ta n C + 二生解得 tan R二一一或 tan C 二4所以433 20 （舍去），故选c.【答案】C4 .如图，在/ ABC 中，C 二 3 , BC = 4,点 D 在边 AC 上，AD 二 DB ,DE±AB , E 为垂足.若 DE = 2 2 ,贝 Ucos A等于（）/;62sin C + cos CA技2A-38 2B. 4c.46 D.亍【解 析】依题意得. BD 二 AD = sin A= sin A，/ BDC= ZABD+ ZA= 2/人.在A BCD 中,BC =_BP_= &2

22、乂 2 = 4 返sin/ BDC sin Cf sin 2A sin A 习习 J3sin A即4二42，由此解得COS人=八，选C.2s in A cos A 3si n A4,【答案】C5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取B a, B两点，从A, 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30 ° 45 °且A，60 m，B两点间的距离为 则该建筑物的高度为（）A . (30+ 30 3) mC. (15+ 30 .3) mB. (30+1573) mD. (15+ 15.3) m【解析】设建筑物高度为h,则君弋聚二6°，即同心二6。，所以建筑物的高度为 h=

23、(30+ 30.3)m.【答案】A6.在三角形ABC中，角A, B,C的对边分别是a, b, c,若 20aBC+ 15bCA+ 12cAB 二0,则三角形ABC中最小角的正弦值等于（【解析】/20aBC+ 15bCA + 12cAB = 0, 20a(AC - AB)+ 15bCA+ 12cAB= 0,(20a 15b)AC + (12c 20a)AB= 0.AC与AB不共线,20a 15b = 0,12c 20a = 04b=3a，5C= 2a，三角形ABC中最小角为角A,16 225 22b2+ c2- a2 -c0S A= 2bc =Va + 9a-a43= sinA二，故选 C.55

24、【答案】C二、填空题7.在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A, B, C 的对边，若(a + b c)(a+ b+ c)= ab, c= .3,当 ab 取得最大值时，Sa abc= .【解析】 因为(a+ b c)(a+ b + c)= ab, a2+ b2 c2= ab,所以 cos C = 2,所以 sin。二三3,由余弦定理得(.3)2=a2+ b2+ ab) 3b,即abwi,当且仅当a二b= 1时等号成立,所以sS以 aabc 4 .【答案】严4& 已知/ ABC 中 , AB= 1, sin A+ sin B = V2sin C, Saabc=in C,贝 U cos

25、 C=【解析】T sin A+ sin B= , 2sin C,由正弦定理可得a+ b=2c. / Saabc= n C, absin C二佥碧g窕机n C工0化为ab = 3.由余弦定理可得c2= a2+ b2 2abcos C (a+ b)22abcos C,. 1 二(，2)2 2X3(1 + cos C)，解得 cos C =8323【答案】I9.已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，a=2,且(2+ b)(sin A - sin B)=(c- b) sin C,则/ABC面积的最大值为.【解析】由正弦定理得(2+ b)(a b)二(c b)c,即(a+ b)

26、 (a b)= (c b)c，即 b2 + c2 a2= be,所以 cos A=，又 A 。 n )所以 A二 2bc3乂 b2+ c2 a2= be) 2c 4, 即 bc<4 故 Sabc = -besin AM胄=小当且仅当b=c= 2时，等号成立，则/ ABC面积的最大值为3.【答案】，310.如图，/ ABC 中，AB= 4, BC= 2，/ ABC = Z D = 60 ° 若 A ADC ° ' 是锐角三角形，则DA + DC的取值范围是.,【解析】在/ ABC中，由余弦定理得ACJ AB2+ BC2- 2AB BCcosZ ABC = 12,即即 AC = 2.3.设/ ACD=0(30 ° 9<90°)，则在 ADC中，由正弦定理得是%二DAsin 60 sin 0 sin(120。 0则 DA + DC = 4s