高中数学第二章数列章末复习提升学案新人教B版必修5

1、第二章数列1数列的概念及表示方法(1) 定义：按照一定顺序排列着的一列数(2) 表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法(3) 分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列2求数列的通项(1) 数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系：S1， n 1，anSn Sn 1，n2.(2) 当已知数列 an 中，满足an1 anf ( n) ，且 f (1) f (2) f ( n) 可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1 ( a2 a1) ( a3 a2) ( an an 1) 1 / 7an 1(3

2、) 当已知数列 an 中，满足an f ( n) ，且f (1) · f (2) ·· f ( n) 可求，则可用累积法求数列的通项a ，常利用恒等式a2a3ana a1· a1·a2·· an 1.nn(4) 构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5) 归纳、猜想、证明法3等差数列、等比数列的判断方法(1) 定义法： a a d( 常数 ) ? a 是等差数列；an 1an q( q 为常数， q0) ? a 是等n 1nnn比数列(2) 中项公式法： 2an 1an an 2?

3、 an 是等差数列； an2 1 an·an 2( an0) ? an 是等比数列(3)通项公式法： a anb( a， b是常数 ) ? a 是等差数列； an c· q( c， q 为非零常数 )nnn? an 是等比数列(4)前n项和公式法：n2( ，为常数， N ) ? an 是等差数列；n n Sanbn a bnSaqa( a， q 为常数，且 a0， q0， q1， n N ) ? an 是等比数列4求数列的前n 项和的基本方法(1) 公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和 S 公式；n(2) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3) 裂项相消法

4、：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(5) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导题型一方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式an 和前 n 项和公式Sn 共涉及五个量：a1， an， n， d( 或q) ， Sn，其中首项a1 和公差 d( 或公比 q) 为基本量， “ 知三求二 ” 是指将已知条件转换成关于 a1， an， n， d( 或 q) ， Sn 的方程组，通过方程的思想解出需要的量例 1设 an 为等差数列，Sn 为数列 an 的前n 项和，已

5、知S7 21，S15 75， Tn 为数列Sn n 的前 n 项和，求Tn 的最大值解设等差数列 an 的公差为d，则2 / 71Snna1 2n( n1) d.721， 15 75，SS7a1 21d 21，a13d3，即a17d 5，15a1105d 75，解得 a1 9， d 2. Sn na1n n 1 d 9n ( n2 n) 10n n2. 2SnSn 1Sn则 n 10 n. n 1 n 1，Sn 数列 n 是以 9 为首项，公差为 1 的等差数列n·9 10 n 1 219则 Tn2 2n 2 n1( n 19)2361.228n N ， 当 n 9，或 n 10时，

6、 Tn 有最大值 45.跟踪演练 1记等差数列 a 的前 n 项和为 S ，设 S 12，且 2a ，a ， a 1 成等比数列，nn3123求 Sn.2a1a3 1 a2，解设数列 an 的公差为 d，依题设有a1a2 a3 12，a21 2a1d d2 2a1 0，a1 1，a1 8，即a1 d 4.解得d 3或d 4.1因此 S 2n(3 n 1) 或 S 2n(5 n) nn题型二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出例 2 在数列 a

7、n 中， a1 5 且 an 2an 1 2n 1 ( n2且 n N ) (1) 求 a2， a3 的值；(2) 是否存在实数 ，使得数列an为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，2n请说明理由(3) 求通项公式 a .n解 (1)a1 5，22 1 22113， 3 22 23 133.aaa a3 / 7(2) 假设存在实数 ，使得数列an为等差数列2nan 为等差数列，设 b ，由 bn2nn则有 2b2b1 b3.a2a1a3，135332×222.22238解得 1.an1 1 an 1此时， bn 1 bn2n 12n1 2n 1( an 1 2an ) 11(2n

8、1 1) 1 1.2n 11a1又 b 2 2.综上可知，存在实数 1，使得数列 an 为首项是2、公差是1 的等差数列2n(3 ) 由 (2) 知，数列an 1 为首项是2，公差为1 的等差数列2nan 1 2n 2 ( n1) ×1n 1， an ( n 1)2 n 1.跟踪演练 2 设数列 n 的前n项和为n ，已知a12 233n (n 1) n aSaanaS2n( n N ) (1)求 a ， a的值；23(2) 求证：数列 n2 是等比数列S(1) 解 a12a2 3a3 nan ( n 1) Sn 2n( n N) ， 当 n 1 时， a1 2×12；当

9、n 2 时， a1 2a2 ( a1a2) 4， a2 4；当 n 3 时， a1 2a23a3 2( a1 a2 a3) 6， a3 8.(2) 证明 a12a2 3a3 nan ( n1) Sn 2n( n N ) ， 当 n2时， a1 2a2 3a3 ( n 1) an1 ( n 2) Sn 1 2( n1) 得 nan ( n 1) Sn ( n 2) Sn1 2 n( Sn Sn 1) Sn 2Sn1 2 nan Sn 2Sn 1 2. Sn 2Sn 1 2 0，即 Sn2Sn 12， Sn 2 2( Sn 12) 4 / 7Sn 2 S1 240， Sn 1 20， Sn 1 2

10、 2，故 Sn2 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列题型三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响例 3 已知等差数列 an 的首项 a1 1，公差 d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn n1( n N ) ， Sn b1 b2 bn ，是否存在t ，使得对任意的 n 均有an3nt总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明

11、理由S>36t解 (1) 由题意得 ( a1 d)( a1 13d) ( a1 4d) 2，整理得 2a1dd 2. d>0，a1 1， d 2. an 2n 1( n N ) (2)bn11111) ， (n an 32n n 12 n n111111111n. S b b b 2(1 2) (2 3) ( n n 1) 2(1 n 1) 2n 1n12ntn 1n假 设 存 在 整 数 t满 足 Sn> 36 总 成 立 ， 又 Sn 1 Sn 2 n 2 2 n11>0，2n 2n1数列 1t1t<9.n 是单调递增的 1 为n 的最小值，故< ，即S

12、S4S364又 t Z，适合条件的t 的最大值为 8.2x 31跟踪演练 3已知函数 f ( x) 3x，数列 an 满足 a11， an 1 f( an) ，n N ，(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令 Tna1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n1 ，求 Tn.2解n1an 32 3ann2(1) a 1 f ( an) 33a 3，ann2a 是以 3为公差的等差数列5 / 721又 a11， an3n 3.(2) Tn a1a2a2a3 a3a4 a4a5 a2n a2n 1 a2( a1 a3) a4( a3 a5) a2n( a2n 1 a2n 1)n54n1

13、44333 3( a2 a4 a2n) 3·24(2 23 )9nn题型四数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点例 4已知单调递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28，且 a3 2 是 a2， a4 的等差中项(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 若 bn anlog 1 an， Sn b1 b2 bn，对任意正整数n， Sn ( nm) an 1<0 恒成立，试求2m的取值范围解 (1) 设等比数列 an 的首项为 a1，公

14、比为 q.依题意，有 2(32) a24，代入2 3 4 28，得a3 8.aaa aaa1q a1q3 20， a2 a4 20， a3 a1q28，解得 q 2，1或 q 2，a1 2a1 32.又 an 单调递增， q 2，an 2n.a1 2.(2)nnnbn2 ·log 12 n·2，2 S23n 1×22×23×2 ×2，nnn234nn1， 2S 1×2 2×23×2 ( n1) ×2 n×2232nn1 ，得 Sn2 2 2 n×22 12nn1n 1n 1

15、n×2 2n×2 2.12由 Sn ( nm) an 1<0，得n 1nnn恒成立，2×212×21 ×21<0 对任意正整数nnnm6 / 7n 1n 11 m·2 <2 2，即 m<2n 1对任意正整数n 恒成立1 2n 1> 1， m 1，即 m的取值范围是 ( ， 1 跟踪演练 4 在数列 an 中， a1 2， an 1 4an 3n 1， n N.(1) 证明：数列 ann 是等比数列；(2) 求数列 an 的前 n 项和 Sn；(3) 证明：不等式 Sn14Sn 对任意 n N皆成立(1) 证明由题设 an1 4an 3n1 得an 1 ( n 1) 4( an n) ， n N.又a11 1， n 是首项为1，公比为4 的等比数列an(2)解nn 1n的通项公式为nn1n，由 (1) 可知 a n 4，于是数列 a a 4 数列 an 的前 n 项和 Sn4n 1 n n132.(3) 证明对任意的 n N.4n1 1n