高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)学案新人教A版必修5

1、11.1正弦定理 ( 一) 学习目标 1. 通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 .2. 能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理1正弦定理的表示文字 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形语言 外接圆的直径ab符号在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a， b，c，则 sin A sin B 语言csin C 2R2. 正弦定理的常见变形(1)a2RsinA， b 2RsinB， c 2RsinC，其中 R为 ABC外接圆的半径(2)sina ，sinb， sinc (R为外接圆的半径 ) A

2、2RB2RC2RABC(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a b c sin A sin B sin C.ab cabc(4) sin A sin B sin C sin A sin B sin C .(5) asin B bsin A， asin C csin A， bsin C csin B. 3正弦定理的证明(1) 在 Rt ABC中，设 C为直角，如图，由三角函数的定义：absinA c， sinB c，abcc csin A sin B sin 90 °sin C ，abc sin A sin B sin C (2) 在锐角三角形 ABC中，设 AB边上的高为 CD

3、，如图，CD asin_ B bsin_ A，a b sin A sin B ，a c同理，作 AC边上的高 BE，可得 sin A sin C ，1 / 8b c sin A sin B sin C .a(3) 在钝角三角形 ABC中， C为钝角，如图，过 B作 BD AC于 D，则BD asin( C) asin_ C，BD csin_ A，故有 asinC csin_ A，a c sin A sin C ，ababc同理， sin Asin B， sin A sin B sin C .思考下列有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中

4、，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在ABC中， sinA sinB sinC BCAC AB. 其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4答案B解析正弦定理适用于任意三角形，故均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以正确；由正弦定理可知正确故选B.知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A， B， C和它们的对边a， b， c 叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形思考正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的

5、对角，从而求出其他的边和角题型一对正弦定理的理解例 1在 ABC中，若角A， B， C 对应的三边分别是a， b， c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()A ab c sinA sinB sinCB ab? sin 2 A sin 2 B2 / 8abcC. sin A sin B sin CD正弦值较大的角所对的边也较大答案B解析在ABC中，由正弦定理得abc (k>0) ，则sin， sinsin Asin Bsin Cka kA b kB， cksinC，故 a b c sinA sinB sinC，故 A 正确当 A30°， B 60°时， sin

6、2 A sin 2 B，此时 a b，故 B 错误根据比例式的性质易得 C正确大边对大角，故D 正确abc反思与感悟(1) 定理的内容：sin A sin B sin C 2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形a c(2) 如果 b d，那么abcdb d ( b，d 0)( 合比定理 ) ；ab cdb d( b，d 0)(分比定理 ) ；abcdab cd( a>b， c>d)( 合分比定理 ) ；a1a2ana1 a2an a1a2 an可以推广为：如果b1b2 bn，那么 b1b2 bn b1b2 bn.跟踪训练1 在中，下列关系一定成立的是()ABCA

7、> sinAB sinAa babC a<bsinA D a bsinA答案D解析在 ABC中， B (0 ， ) ， sinB(0 ，1，1 sin B 1，abbsin A由正弦定理 sin A sin B 得 a sin B bsinA.题型二用正弦定理解三角形例 2(1)在 ABC中，已知 c 10，A 45°， C 30°，解这个三角形(2) 在 ABC中，已知 c 6， A45°， a2，解这个三角形解 (1) A 45°， C 30°， B 180° ( A C) 105°，3 / 8由ac得 cs

8、in A 10×sin 45 ° 10 .sin Asin Casin Csin 30 °2 sin 75° sin(30° 45° ) sin 30°cos 45° cos 30 ° sin 45 °2 64，csin Bcsin （AC）10×sin 75 °2 6 bsin C20×sin Csin 30°4 5 25 6. B 105°， a 102， b 52 56.a c(2) sin A sin C ， sin csin A6

9、15;sin 45 °3，Ca22 C (0 °， 180° ) ， C 60°或 C 120°.csin B6sin 75 °当 C60°时， B 75°， b sin Csin 60 ° 31；csin B6sin 15 °当 C120°时， B 15°， b sin C sin 120 ° 3 1. b 3 1，B 75°， C 60°或 b 3 1，B 15°，C 120° .反思与感悟(1) 已知两角与任意一边解三角

10、形的方法首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边(2) 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边跟踪训练2(1) 在 ABC中，已知a 8， B60°， C 75°，则 b 等于 ()A42B43C46D4(2) 在 ABC中，若 a 2， b2， A 30°，则 C

11、_答案(1)C(2)105 °或 15°a b解析 (1) 易知 A 45°，由 sin A sin B 得4 / 88·3asin B2b sin A24 6.2a b(2) 由正弦定理 sin A sin B ，BbsinA2sin 30 °2得 sina2 2 . B (0 °， 180° ) ， B 45°或 135°， C 180° 45° 30° 105°或 C 180° 135° 30° 15° .题型三判断三角

12、形的形状例 3在 ABC中，已知 a2tanBb2tanA，试判断三角形的形状a2sin Bb2sin A解 由已知得 cos B cos A，由正弦定理得 sin2Asin B sin2Bsin A .cos Bcos A sinA、 sin B 0， sin Acos A sinBcos B.即 sin 2 A sin 2 B. 2A2B或 2A 2B.AB 2 或 AB. ABC为等腰三角形或直角三角形反思与感悟 (1) 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系(2)asin A注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如b sin

13、 B 等跟踪训练 3在 ABC中， bsin B csinC且 sin2Asin2B sin2C，试判断三角形的形状解由 bsinB csin C，得 b2 c2， b c， ABC为等腰三角形，由 sin 2A sin 2B sin 2C得 a2b2 c2， ABC为直角三角形， ABC为等腰直角三角形5 / 81在 ABC中， AB c，AC b，BC a，下列等式中总能成立的是()A sinsinBB sinsinAaA bbC cCsinsinBD sinsinAabCbcaC c答案Dabc解析由正弦定理 sin A sin Bsin C ，得 asin C csin A.2在 AB

14、C 中，三个内角A， B， C 的对边分别为a， b， c ，已知a2， b3， B60°，那么A 等于 ()A 135° B 90° C 45° D 30°答案C2×3abAasin B22解析由 sin A sin B 得 sinb3 2 ， A 45°或 135° .又 a<b， A<B， A 45° .3在锐角三角形ABC中，角A，B 所对的边分别为a， b，若 2asinB3b，则 A 等于()A. 12B. 6 C.4 D. 3答案D解析在 ABC中，利用正弦定理得2sinAsin

15、B3sinB，3又 sinB 0， sinA 2 .又 A为锐角， A 3 .4在 ABC中，内角A，B， C所对的边分别为是 ()a， b， c，若 sin A cos B cos C，则 ABCabcA等边三角形B直角三角形，且有一个角是30°C等腰直角三角形6 / 8D等腰三角形，且有一个角是30°答案C解析由题 acos B bsinA，又由正弦定理asinB bsinA， sin B cos B，又 B(0 °， 180° ) ， B 45° .同理 C 45° . 故 ABC为等腰直角三角形2b5在 ABC中， A 3 ， a 3c，则 c _答案1acCcsin A131解析由 sin A sin C 得 sina3× 22，sinb sin B6又 0C 3 ，所以 C 6 ， B ( A C) 6 . 所以 c sin C sin1.66在 ABC中，若 b 5， B 4 ， tanA 2，则 sinA _， a _答案252 105解析由 tanA 2，得 sinA 2cosA，2225由 sin A cos A 1，得 sinA5 ，ab