高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式课堂探究新人教B版必修2

1、2.1平面直角坐标系中的基本公式课堂探究探究一数轴上的坐标运算(1) 向量的数量 ( 或坐标 ) 与向量的长度是不同的量，向量的数量( 或坐标 ) 是在向量的长度前面加上向量的方向符号，它可能为正也可能为负，还可以为零向量的数量(或坐标 )的绝对值等于向量的长度(2) 向量的坐标用AB表示，BA表示向量的坐标，向量的长度ABBA记为 | ，线段的长度记为 | | ，且 | | |x21| ，21ABABABxAB xx数轴上任意三点A， B，C，都有关系式AC AB BC，但却不一定有 | | | ，它与 A， B， C三个点的相对位置有关【典型例题1】 (1) 已知， ， 是数轴上任意三点A

2、 BC若 AB 5， CB 3，求 AC 证明： AC CBAB 解： 因为 AC AB BC，所以 AC AB CB 5 32 证明： 设数轴上 A， B，C三点的坐标分别为xA， xB， xC，则 AC CB ( xC xA) ( xB xC) xB xA AB，所以 AC CB AB(2) 已知数轴上两点( ) ， (5) ，分别求出满足下列条件时a的取值A a B两点间距离为5两点间距离大于5两点间距离小于3解： 数轴上两点A， B 之间的距离为 | AB| |5 a| 根据题意得|5 a| 5，解得 a 0 或 a 10根据题意得|5 a|>5 ，即 5a>5 或 5 a

3、< 5，故 a<0 或 a>10根据题意得 |5 a|<3 ，即 3<5 a<3，故 2<a<8探究二平面内两点间距离公式的应用(1) 距离公式还可以变形为 | AB| 2 ( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2(2) 在涉及求平方和的最小值的问题时，可通过两点间距离公式的形式进行构造变形，利用动点到定点的最小距离求解1 / 5【典型例题 2】 已知点 A( a, 3) ，B(3,3a3) 的距离为5，求 a 的值思路分析： 由两点的距离公式可以表示出| |，而| 5，可得关于a的方程，解方ABAB程即可求出a 的值解： 因为 x1 a， y

4、1 3， x2 3， y2 3a 3，所以|AB| 5，即 ( a3) 2 (3 a) 2 25，展开得 a2 6a 99a2 25，所以 10a2 6a 16 0，即 5a2 3a 80，解之得 a 1 或 a，因此 a 的值为 1 或探究三平面内中点坐标公式的应用对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识：从公式上看，根据方程思想，可以知二求一，即只要知道公式两边的任意两个量，就可以求出第三个量从图象上看，只要知道任意两个点，就可以求出第三个点【典型例题 3】 已知 ABC的两个顶点 A(3,7) ，B( 2,5) ，若 AC， BC 的中点都在坐标轴上，求点 C的坐标思路分析： 由于

5、AC， BC 的中点的连线为ABC中位线，应与底边AB 平行又因为边AB 与 x 轴、 y 轴均不平行，所以两中点不会在同一条坐标轴上再根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解1解： 设点 C的坐标为 ( x， y) ，边 AC的中点为 D， BC的中点为E，则 DE 2AB因为与坐标轴不平行，所以，两点不可能都在x轴或y轴上ABD E线段的中点D的坐标为，AC线段的中点E的坐标为BC若点 D在 y 轴上，则 0，即 x 3，此时点E 的横坐标不为零，点E 要在坐标轴上只能在x 轴上，所以 0，即 y 5，所以 C( 3， 5) 2 / 5若点 D在 x 轴上，则 0，即 y 7，此时点E 只能在

6、y 轴上，所以 0，即 x 2，此时 C(2 ， 7) 综上可知，适合题意的点C的坐标为 ( 3， 5) 或(2 ， 7) 点评对本题而言，讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键探究四易错辨析易错点 1：因扩大取值范围而致误【典型例题4】 求函数 y的最小值错解： 因为 x211，所以1又因为 x2 4x 8( x 2) 244，所以2所以 y3所以函数 y的最小值为3错因分析： 没有验证等号是否成立，而导致扩大了y 的取值范围，实际上x 是同步的，不能轻易分开若分别讨论，必须验证等号成立的条件是否满足题意正解： 因为 y，令 A(0,1) ， B(2,2) ， P( x, 0) ，则 y

7、 | PA| | PB| 这样求函数的最小值问题，就转化为在x 轴上求一点P，使得 | PA| | PB| 取得最小值问题借助于光学的知识和对称的知识，如图所示，作出点A 关于 x 轴的对称点A(0 ，1) ，连接 BA交 x 轴于点 P，可知 | BA| 即为 | PA| | PB| 的最小值即|BA|所以函数的最小值ymin易错点 2：因考虑问题不全面而致误3 / 5【典型例题5 】已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为( 1 ， 2) ， (3,1)，(0,2) ，求这个平行四边形第四个顶点的坐标错解： 设 A( 1， 2) ， B(3,1) ， C(0,2) ，第四个顶点D 的坐标为 ( x， y) ，由于四边形 ABCD为平行四边形，则由中点坐标公式得解得所以点 D的坐标为 ( 4， 1) ，即平行四边形的第四个顶点的坐标为( 4， 1) 错因分析： 误认为平行四边形为四边形ABCD，其实还有四边形ABDC，四边形ACBD，由于考虑不全面而导致丢解正解： 设 A( 1， 2) ， B(3,1) ， C(0,2) ，第四个顶点D的坐标为 ( x， y) ，(1) 若四边形 ABCD是平行四边形，则由中点坐标公式得解得所以点 D的坐标为 ( 4， 1) (2) 若四边形 ABDC是平行四边形，则由中点坐标公式得解得