高等数学(下)知识点总结

1、高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）x 2y 2z 2椭圆锥面：a 2b 22）x 2y 2z 21x 2y 2z21椭球面：a 2b 2c 2旋转椭球面： a 2a 2c 23）x 2y 2z21x 2y 2z 21单叶双曲面：a 2b 2c 2双叶双曲面：b 2c 2a 24）x 2y 2zx 2y 2z椭圆抛物面：a 2b 2双曲抛物面（马鞍面） ： a 2b 25）x 2y 21x 2y 21椭圆柱面：a 2b 2双曲柱面： a 2b 26）抛物柱面：x2ay（二）平面及其方程1、点法式方程：A ( x x0 )B ( yy0 ) C ( z z

2、0 )0法向量： n(A,B,C) ，过点 (x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCzD0截距式方程：xyzabc13、两平面的夹角： n1( A1, B1, C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C22121 21 2120；1/A1B1C1A AB BC C2B2C2A24、点 P0 ( x0 , y0 , z0) 到平面 AxByCzD 0 的距离：dAx0 By0 Cz0DA2B 2C 2（三）空间直线及其方程1A1 xB1 yC1 zD101、一般式方程：A2 x B 2 y C 2 z D 2 02、

3、xx0yy0z z0对称式（点向式）方程：mnp方向向量： s(m, n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )3、两直线的夹角：s1(m1 ,n1, p1) ， s2(m2 ,n2 , p2 ) ，cosm1m2n1 n2p1 p2222222m1n1p1m2n2p2L1L2m1m2n1n2p1 p2 0 ； L1 / L2m1n1p1m2n2p24、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n2p 2L /AmBnCp0； LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用1、连续：limf (x, y)f ( x0 , y0 )(x, y

4、) ( x0 , y0 )2、偏导数：f x (x0, y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0, y0 )； f y (x0, y0)limf (x0, y0y) f ( x0 , y0 )limxyx 0y03、方向导数：ffcosfcos其中,为 l的方向角。lxy4、梯度： zf ( x, y) ，则 gradf (x0 , y0 )f x (x0 , y0 )if y (x0 , y0 ) j 。5、全微分：设 zf ( x, y ) ，则 dzz dxz dyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：212偏导数连续函数可微偏导数存在必要条件充

5、分条件定义243函数连续2、微分法1）复合函数求导：链式法则若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y) ，则zzuzvzzuzvxuxvx，uyvyy（二）应用求函数 zf (x, y) 的极值f x0( x0 , y0 ) ，令1）解方程组f y求出所有驻点，对于每一个驻点0Afxx ( x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 ) ，若AC B20 ， A0，函数有极小值，若AC B20 ， A0 ，函数有极大值；若若ACB20 ，函数没有极值；ACB20 ，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面xx ( t )

6、曲线:yy( t ) ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) （对应参数为t0 ）处的zz ( t )x x0y y0z z0切线方程为：y (t0 )z (t0 )x (t0 )法平面方程为：x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t0 )( zz0 )02）曲面的切平面与法线3曲面: F ( x , y, z)0 ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx (x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )(z z0 ) 0法线方程为：xx

7、0yy0zz0Fx (x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积n1、定义：f (x, y) dlimf (k , k )kD0k 12、计算：1）直角坐标D(x, y)1( x)y2 (x)f (x, y)dxdyb2 (x )，dx1 (x)f ( x,y)d yaxbDa1( y)x2 ( y)d2 ( y )D(x, y)，f ( x, y)d xdydyf ( x,y)d xcydDc1 ( y )2）极坐标D( , )1( )2( )f ( x, y)dxdyd2 ()c

8、os , sin ) d，1 (f (D)（二）三重积分n1、定义：f (x, y, z) d vlimf ( k ,k , k )vk01k2、计算：1）直角坐标f ( x, y, z) d vd xd yz2 (x, y )f ( x, y, z) dz-Dz1 (x, y)“先一后二 ”f ( x, y, z) d vbd zf (x, y, z)dxd y-“ 先二后一 ”aD Z2）柱面坐标xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos,sin, z)d ddzzz3）球面坐标4xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sin

9、 cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin dr d d（三）应用曲面 S : zf (x, y) , ( x, y)D 的面积：A1 ( z) 2( z)2 d x d yDxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f ( x, y)ds limf ( i , i ) siL0i 12、计算：设 f ( x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为x(t),(t) ，其中(t),(t ) 在 , y(t ),上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0 ，则f ( x, y)d sf (t ),( t )2 ( t )2 (t )

10、d t ,()L（二）对坐标的曲线积分1、定义 ：设 L 为 xoy 面 内从 A 到 B 的一条 有向光 滑弧，函 数 P ( x, y)， Q ( x, y ) 在L 上有界，定义nnP ( x, y )d xlimP ( k ,k ) xk， Q ( x, y )d ylimQ (k ,k )yk .L01L01kk向量形式： Fd rP( x, y)d xQ( x, y)d yLL2、计算：设 P( x, y), Q(x, y) 在有向光滑弧L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为x(t ),(t ),(t) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t ) 0 ，则y(t :)

11、，其中(t),P (x, y)d xQ( x, y)d y P(t), (t )(t)Q (t ),(t )(t)dtL3、两类曲线积分之间的关系：5x(t)设平面有向曲线弧为L：y， L 上点 ( x, y) 处的切向量的方向角为： ,，(t )cos(t )， cos(t )，2 (t)2 (t )2 (t )2 (t)则PdxQdyL( P cosQ cos )d s .L（三）格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P( x, y) ,Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数 ,则有QP dxd yPd x Qd yDxyL2、 G 为一个单连通区域，

12、函数P( x, y), Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QP曲线积分Pdx Qdy 在 G 内与路径无关xyL（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f (x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f ( x, y, z) dSlimf ( i , i , i) Si01i2、计算：“ 一单二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)D xy ，则f ( x, y, z) dSD x yf x, y, z( x, y)1 zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) dxd y（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数P( x, y

13、, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)是定义在上的有界函数，定义nR( x, y, z)d xdylimR(i ,i ,i )(Si )xy同理，0i 1nnP(x, y, z)d ydzlimP(i ,i ,i )(Si ) yz； Q( x, y, z)d zdxlimR( i ,i , i )( Si )zx0 i101i2、性质：1）12，则6Pdydz Qdzdx R dxdyPdydz QdzdxRd xdyPdydzQdzdxRd xdy12计算：“ 一投二代三定号 ”: z z( x, y) ， (x, y) Dxy， zz(x, y) 在 D xy上 具 有

14、一 阶 连 续 偏 导 数 ， R(x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)d xdy,为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ”.D x y3、两类曲面积分之间的关系：Pd yd zQ dzd xRd xd yPcosQcosRcosd S其中,为有向曲面在点 (x, y, z) 处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧,函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数,则有PQRd x d yd zP d yd zQ d zd x Rdx d yxyz或PQRd x d y d zPco

15、sQcosRcosd Sxyz2、通量与散度通量：向量场A ( P, Q,R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd yd z Qdzd xRd xd y散度： div APQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的 边 界是分段光滑曲线,的 侧 与的正向符合右手法则,P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有R Q d y d zPR d zd xQP d xd yPd x Q d y Rd zyzzxxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作:d y d z d z d x d xd yxyzP d xQ d

16、yR d zPQR2、环流量与旋度环流量：向量场A( P,Q, R) 沿着有向闭曲线的环流量为P d xQ d yRd z7旋度： rot ARQ ,PR ,QPyzzxxy第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正项级数：un， un0n1交错级数：(1) n un ， un0n12）级数收敛：若lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 13）条件收敛：un 收敛，而un 发散；n 1n 1绝对收敛：un 收敛。n12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，

17、bn 收敛，则( an bn ) 收敛；n 1n 1n 13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 14）必要条件：级数un 收敛lim un 0 . （注意：不是充分条件！ ）n 1n3、审敛法正项级数：un ， un0n11）定义： lim SnS 存在；n2）un 收敛Sn 有界；n 183）比较审敛法：un ，vn 为正项级数，且 un vn (n 1,2,3, )n 1n 1若vn收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn发散 .n 1n 1n 1n 14）比较法的推论：un ，vn为正项级数， 若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 收敛，则un 收n 1n1n

18、1n 1敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 发散，则un 发散 .n1n 15）比较法的极限形式：un ，vn为正项级数，若lim unl(0 l) ，而vn 收敛，则un收敛；若n 1n 1nvnn1n 1limunun，而vn发散，则un 发散 .0或 limnvnnvnn1n 16）比值法：un 为正项级数， 设 limun 1l ，则当 l1时，级数un 收敛；则当 l1时，级数un 发散；当 l1n 1nunn 1n 1时，级数u n 可能收敛也可能发散 .n 17）根值法：un 为正项级数，设 lim nunl ，则当 l1时，级数un 收敛；则当 l1时，

19、级数un发散；当 l1n 1nn1n 1时，级数u n 可能收敛也可能发散 .n 18）极限审敛法：un为正项级数，若lim nun0 或 lim n un，则级数un 发散；若存在p1，使得n 1nnn1lim npun l(0l) ，则级数u n 收敛 .nn 1交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：(n， un0 满足： un 1un(n1,2,3,) ，且 lim un0 ，则级数n收敛。( 1)1) unnu nn 1n 1任意项级数：un绝对收敛，则un收敛。n 1n1常见典型级数：几何级数：aqn收敛，q1；p - 级数：1收敛， p1n 1 npn 0发散，q1发散， p1（二）

20、函数项级数1、定义：函数项级数un (x) ，收敛域，收敛半径，和函数；n12、幂级数：an x nn 091 , 03、收敛半径的求法： liman 1，则收敛半径R0,n an,04、泰勒级数f (x)f ( n) (x0 ) (xx0 )nlim Rn (x)limf ( n1) ( ) (x x0 ) n 10n 0n!nn(n1)!展开步骤：（直接展开法）1）求出 f ( n) (x),n 1,2,3,；2）求出 f ( n ) ( x0 ),n0,1,2,；3）写出f ( n ) ( x0 ) ( xx0 ) n ；n0n!4）验证 lim Rn ( x)limf ( n1) () ( xx0 ) n 10 是否成立。nn(n1)!间接展开法：（利用已知函数的展开式）1） ex1 x n , x(,) ；n 0 n !2） sin x(1) n 11x2 n1 , x(,) ；n0( 2n1) !3）4）cosx(1)n