福建省福州市连江二中高三(上)期中数学试卷

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一一 _ . "1 .1 .已知集合 P=x|x >0 , Q=x, _ 广 0,则 PAQ=()A.(一巴 2)B.(一巴1)c. 0, +oo) d. (2, +8)2 .命题“？ x0 C (0, +8), inx 0=x0-1”的否定是()A.?x°e(0, +8), inx 0x0-1 B.?x0?(0, +°°) , Inx 0=x0-1C.

2、?x C( 0, +00) , Inx w x T D.?x?(0, +°°) , lnx=x - 1c一，57I、1.、3 . 已知 Sin (-+a ) =z-, COS a =()25A. Tb|c.feD.14 .在 ABC中，ABV5, AC=1, B=-,则4 ABC的面积是()A堂巳亨仁等或6 D乎或手5 .设！= (1, 2), E= (1, 1), c=a+kb,若Ej_W,则实数 k 的值等于()6 .设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ba1+ba2+ba3+ba4=（）A. 15B. 60C. 63D

3、. 727 .设变量x, y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为（）xf2y -0A. 7B. 8C. 9D. 148 .已知mrj n表布两条不同直线，a表不平面，下列说法正确的是（）A.若 mH e , n " a ,贝U mH n B.若 m± a , ml n,则 n " aC.若 mil a , m± n,贝U n，aD.若 m± a , n? a ,则 m± n9 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）信达10 .设 f (x) =lnx , 0vavb,若 p=f (fab|), q=f ()

4、, r= (f (a) +f (b),则下列关系式中正确的是()A. q=r v p B. p=r < qC. q=r > p D. p=r > q11 .已知正数a, b满足'+=1,若不等式a+bn - x2+4x+18 - m对任意实数x恒成立，则 a b实数m的取值范围是()A. 3 , +8)B.(-巴 3C.(-巴 6D. 6, +8)r 3(-，012 .已知函数 f (x) =，+ 1,且 g (x) =f (x) mx- m在(tx,x 6 3 11, 1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A L * - 2 U ( 0,百A (-用,

5、-2 U( 0, C., - 2 U ( 0,D.(一昔，-2 U (0,5二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.）13 .将函数f (x) =sin (cox+4)(3>0, -1丁w(j)Vu)图象上每一点的横坐标缩短 一，一兀 L ，一一 iX为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移;二个单位长度得到y=sinx的图象，则f (-)=14 .等比数列an的前n项和为Sn,若Si, S3, &成等差数列，则a n的公比q=.15 .在 ABC中，/ BAC=120 , AB=AC=2 而二耐，正=荻，则工5板的值为.16 .设函数f (x)是定义在(-8,0)上的可

6、导函数，其导函数为f' (x),且2f (x)+xf' (x) >x2,则不等式(x+2014) 2f (x+2014) - 4f (-2) > 0 的解集为 .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一一.，、 ，兀17 .已知函数 f (x) =cosxcos (x+).(I)求f (x)的最小正周期;(n)在 ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,若f (c) =-, a=2,且ABC的面积为273，求边长c的值.18 .已知数列an中，a1二1前n项和&=|2-/n.(I )求数列a n的通项公式.

7、(n)设 bn=2 %,求证：b1+b2+ - +bn>-.19 .在直角坐标系 xOy中，直线Q: x=- 2,圆C2: (x- 1) 2+ (y-2) 2=1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求G, C2的极坐标方程； 71. ，、 一一(n)若直线 G的极坐标万程为。=(p e R),设G与G的交点为m, N,求gm弼面积.20 .已知几何体 E- ABCW口图所示，其中四边形 ABC的矩形，AB=2 AD=/1, ABE为等 边三角形，平面 ABCDL平面ABE点F为棱BE的中点，(1)求证：BEX平面AFD;(2)求四面体 D- AFC的体积.21 .

8、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为：尸声了 200+20000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？22.设函数 f (x) =ax- lnx , g (x) =ex- ax,其中 a 为正实数.

9、(l )若x=0是函数g (x)的极值点，讨论函数 f (x)的单调性；(2)若f (x)在(1, +8)上无最小值，且 g (x)在(1, +8)上是单调增函数，求 a 的取值范围；并由此判断曲线g (x)与曲线yJrax2- ax在(1, +°0)交点个数.(上)期中数2015-2016学年福建省福州市连江二中高三学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. _ _ _ .1.已知集合 P=x|x >0 , Q=x|>0),则 PAQ=()x - 2A. (-8, 2)B. (-8,

10、 1)C. 0, +8)D. (2, +8)【考点】交集及其运算.【分析】 求出Q中不等式的解集确定出Q找出P与Q的交集即可.【解答】 解：由Q中的不等式变形得：(x+1) (x-2) >0,且x-2W0,解得：xw 1 或 x>2,即 Q=( 8, 1 u (2, +8), . P=0 , +8), ，pnq=(2, +8), 故选：D.2 .命题“？ x0 C (0, +8), inx 0=x0-1”的否定是()A. ?x0C(0, +8), inx 0wx0TB.?x0?(0,+°°) , Inx 0=x0-1C. ?x C( 0, +oo) , Inx

11、w x TD.?x?(0,+°°) , lnx=x - 1【考点】命题的否定.【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】 解：命题的否定是：？xC (0, +8), Inxwx-1, 故选：C3 .已知 sin ( _ + a ) =, cos a =()25A一 fB- 9.曲 D.5【考点】诱导公式的作用.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出 cos a的值.J&7T 、.“n、.兀I 、1【解答】 解：Sin (+ a ) =sin (2 71 +-+ a ) =sin (+a) =cos a =.故选C.冗4 .在 ABC

12、中，AB=t, AC=1, B丁，则A ABC的面积是()6【考点】正弦定理.【分析】先由正弦定理求得 sinC的值，进而求得 角形面积公式求得答案.AR AC【解答】解：由正弦定理知=-, sinC sinB. sinC=AinB 正 ac ITT兀兀 clr/3.C=-, A=, S=AB?ACsinA=3Z 22或 C=, A=-, S=AB?ACsinA=l.3&24故选DC,根据三角形内角和求得A,最后利用三5.设普（1,A. B .则实数k的值等于（）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.k的方程，解方程可得.【分析】由题意可得工的坐标，进而由垂直关系可得【解答】解：.

13、=（1，2）,g=（1, 1）,|c=a+kb=（1+k，2+k）-fS?Q=0,-3 .1+k+2+k=0,解得 k=- -故选：A6.设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数 列，则 ba1+ba2+ba3+ba4=（）A. 15B. 60C. 63D. 72【考点】等差数列与等比数列的综合.【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出 an, bn,再由通项公式即可得到所 求.【解答】 解：数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，贝U an=3+ （n 1） x 1=n+2,bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 bn=2n 1,贝U ba

14、1 + ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60.故选B.7.设变量x, y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（A. 7B. 8C. 9D. 14【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=3x+y 得 y= - 3x+z,平移直线y= - 3x+z ,由图象可知当直线 y=-3x+z经过点A时，直线y= - 3x+z的截距最大， 此时z最大.由，解得 ，即A （2, 3）,醒+2Y-玄0y=3代入目标函数 z=3x+y得z=3X 2+

15、3=9.即目标函数z=3x+y的最大值为9.故选：C.8.已知m n表小两条不同直线，a表不平面，下列说法正确的是（）A.若m"a, n " a ,贝U mH nB.若 m± a ,ml n,则 n " aC.若mila, m± n,贝U n，aD.若 m± a ,n? a ,则 m± n【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对.【解答】解：在正方体 ABCD- A' B' C D'中：令底面 A B&

16、#39; C D' =aA错误;A 令 m=AB n=BC,满足 mil a , n / a ,但 m/ n 不成立,B> 令 m=AA , n=A' B' ,，足 m± a , m± n,但 n / a 不成立，B 错误;C 令 m=AB n=AD,满足 m/ a , m± n, 1 n, a 不成立，C错误; 故选：D.9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由已知的三视图可得： 该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案.【解答】 解：由已

17、知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的棱长为 2,故体积为：2X 2X2=8,三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为 1,故体积为：=x=xixix3 2呼1 47故几何体的体积 V=8-=, 6 I 6 I故选：A10.设 f (x) =lnx , 0vavb,若 p=f , q=f2r= (f (a) +f (b),则下列关系式中正确的是（A. q=r v pB. p=rvqC. q=r > p D. p=r > q【考点】不等关系与不等式.【分析】由题意可得p=y (lna+lnb ), q=ln (亘兽)> ln (V

18、ab)二p,(lna+lnb ),可得大小关系.【解答】解：由题意可得若 p=f （-/ab） =ln （、WS|）加ab4(lna+lnb ),q=f ()=ln (闩) ln 川辿)=p,(f (a) +f (b) =77 (lna+lnb ), p=r < q, 故选：B11.已知正数a, b满足L+=1,若不等式a+bn - x2+4x+18 - m对任意实数x恒成立，则 a b实数m的取值范围是()A. 3, +8)B. (-8, 3 c (一巴 6D. 6, +8)【考点】函数恒成立问题.【分析】利用基本不等式求得 a+b的最小值，把问题转化为m> - x2+4x+2对

19、任意实数x恒成立，再利用配方法求出-x2+4x+2的最大值得答案.【解答】 解：. a>0, b>0,且L+二=1, . a+b= a a+b)(且 吟卷区。喑”.当且仅当 3a=b,即 a=4, b=12 时，(a+b) min=16.若不等式a+b> - x2+4x+18 - m对任意实数 x恒成立，则-x2+4x+18 - m< 16,即- x2+4x+2对任意实数 x恒成立，- x2+4x+2= - (x-2) 2+6W6,m> 6.实数m的取值范围是6 , +8).故选：D.12.已知函数 f(x)=篁+1,且 g(x)=f(x)mx- m在(4x E

20、(0, 11, 1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.(一小2 U ( 0, -i B. ( - 2 U ( 0, yC. (一：，- 2 U ( 0, D.(-/-2 U (0,5【考点】分段函数的应用.【分析】由g (x) =f (x) - mx- m=O,即f (x) =m (x+1),作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.【解答】 解：由 g (x) =f (x) mx- m=O,即 f (x) =m (x+1),分别作出函数f (x)和y=h (x) =m (x+1)的图象如图：由图象可知f (1) =1, h (x)表示过定点 A (- 1, 0)的直线，

21、当h (x)过1<m<当h (x)过当h (x)与(1,(1) m告此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0 (0, -2)时，h (0) =- 2,解得m=- 2,此时两个函数有两个交点, f (x)相切时，两个函数只有一个交点，此时 L (芯+1),即 m (x+1) 2+3 (x+1) -1=0,当m=0时，x=,只有1解，,9 一一当m 0,由4 =9+4m=0得m=-,此时直线和 f (x)相切，q，要使函数有两个零点，则 2 或 0 v故选：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 冗兀、a , 一，一一一13 .将函数f (x) =sin

22、(cox+(j) (co>0,()<图象上每一点的横坐标缩短JI |冗为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 彳一个单位长度得到y=sinx的图象，则f (-)=.【考点】函数y=Asin (x+()的图象变换.7T【分析】哟条件根据函数y=Asin (x+()的图象变换规律，可得 sin (2 wx+()w)=sinx ,可得 2 3 =1,且 4 -w =2k ti , kCz,由此求得、()的值，可得 f (x)的解析式，从而求得f ()的值.TTTV【解答】 解：函数f （x） =sin （cox+（j）（30,- （） ）图象上每一点的横坐22 |标缩短为原来的一半，纵坐标

23、不变，可得函数y=sin （2cox+（j）的图象.再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin2 w=sin (2 3 x+ 4 JUTco) =sinx的图象,f (JUTCO =2kTt , kCZ,式 1+2kjt ,f (x) =sin (x+ eH2)=sin (X 7T+一12 6JIT故答案为:14 .等比数列an的前n项和为Sn,若Si, S3, S2成等差数列，则a n的公比q=.【考点】等差数列与等比数列的综合.【分析】依题意有 力+（a 1 + &二2 （为+ a q+&i q"）,从而2q2+q=0,由此能求出a n的公比q.【解答】解

24、：.等比数列an的前n项和为G, S3, S2成等差数列，依题意有为+ （a+声4）=2（3 + 0,由于 aw0,故 2q2+q=0,又 qw 0,解得 q=-1-.故答案为：-.15 .在 ABC中，/ BAC=120 , AB=AC=2 前=菽，薮=诟，则诟穆的值为【考点】平面向量数量积的运算.【分析】将所求的向量分别利用 标，标表示，结合已知求而同，计算即可.一 _ . 1, “ - 二一. 1 一8 I： _1二 一一*【解答】解：因为M）斛（处十起）（正 AB）=r（AB-AC），（vRC 一研）-1-AC'AE1 1 一 I1-2二二上 J8一二X 2X 2X COS12

25、0二X 2X 2cos1206=二-一-43'故答案为:16 .设函数f (x)是定义在(-巴0)上的可导函数，其导函数为f' (x),且2f (x)+xf' (x) >x2,则不等式(x+2014) 2f (x+2014) - 4f (-2) > 0 的解集为 .【考点】导数的运算.【分析】先确定函数y=x2f (x)在(一0)上是减函数，再根据(x+2014) 2f (x+2014)-4f (-2) >0,可得(x+2014) 2f (x+2014) > ( - 2) 2f ( - 2),即可得出结论.【解答】 解：:函数f (x)是定义在(

26、-8,0)上的可导函数，2f (x) +xf ' (x) >x2,2xf (x) +x2f ' ( x) v 0,.x 2f (x) ' < 0,，函数y=x2f (x)在(-巴 0)上是减函数， (x+2014) 2f (x+2014) - 4f (-2) > 0(x+2014) 2f (x+2014) > (- 2) 2f (-2),. x+2014 V 2,.x< - 2016,，不等式的解集为(-8,2016).故答案为：(-8, 2016).三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，、 ，n

27、L17.已知函数 f (x) =cosxcos (x+i).J(I)求f (x)的最小正周期；(n)在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若f (c) = y, a=2,且 ABC 的面积为2、区求边长c的值.【考点】 余弦定理；三角函数的周期性及其求法.【分析】(1)由三角函数公式化简可得 f (x)*cos (2xr)+j,由周期公式可得；，人一，广，一一，一，一，人、一一，广(2)结合(1)可得C-,由题意和面积公式可得 ab的值，进而由余弦定理可得 c值.7T【解答】 解：(1)化简可得f (x) =cosxcos (xv'J=cosx +osx -1+

28、8 号 2Hcos2x -sinxcosx2lsin2x= "-cos (2x+,2兀.f (x)的最小正周期Thy=兀；，、一， L ，一兀、(2)由题意可得 f (C) cos (2Cb)占4一 TT . cos (2C+3又.ABC的面积 S=z7absinC=-ab=2/3, 24ab=8,b= 3 =4, a 2由余弦定理可得 c2=a2+b2- 2abcosC=12, c=2 ' 18.已知数列an中，ai=1前n项和S=|n2-春n.(I)求数列a n的通项公式.2(n)设 bn=2求证：bi+b2+-+bn>.【考点】数列的求和.【分析】(I)利用递推式

29、即可得出；(II )利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出.当 n>2时,an=Sn - Sn=3n- 2当=1时，也成立.an=3n 2.一3 3n2(n)证明： bn=2 1k=2.%+i。ETFk=8，.数列bn是以2为首项，以8为公比的等比数列,.bi+b2+ - +bn=-=77S - I rf19.在直角坐标系 xOy中，直线G： x=-2,圆C2: (x- 1) 2+ (y-2) 2=1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求G, G的极坐标方程；71(n)若直线 G的极坐标方程为。 丁(p e R),设G与a的交点为m, N,求gm弼面 积.【考

30、点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)由条件根据 x= p cos 0 , y= p sin 0求得G, G的极坐标方程.(n)把直线 C3的极坐标方程代入p 2- 3亚p +4=0,求彳导p i和p 2的值，结合圆的半径可 得G血C2NI,从而求得 GMN的面积L?GM?C2N的值.【解答】 解：(I)由于 x= p cos 0 , y= p sin 0 , . G： x= 2 的极坐标方程为p cos 0 = - 2,故G： (xT) 2+ (y-2) 2=1的极坐标方程为：(c cos 0-1) 2+ ( p sin 0-2) 2=1,化简可得 p 2 - ( 2 p cos 0+4

31、p sin 0) +4=0.(n )把直线C3的极坐标方程0 三(p C R)代入4圆 G： (x 1) 2+ (y 2) 2=1,可得 p 2 ( 2 p cos 0+4 p sin 9) +4=0,求得 p i=2p 2=J， .|MN|=| pp 2|=J1由于圆 C2 的半径为 1, .GML GN, C2MN的面积为 二？GM?C2N？1?1二.222x=-220.已知几何体 E- ABCW口图所示，其中四边形 ABC的矩形，AB=2 AD/j, ABE为等 边三角形，平面 ABCDL平面ABE点F为棱BE的中点，(1)求证：BEX平面AFD;(2)求四面体 D- AFC的体积.【考

32、点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.【分析】(1)由面面垂直的性质证明DAL BE,由正三角形的性质证明 AF± BE,再由线面垂直的判断得答案；(2)利用等积法把四面体 D- AFC的体积转化为三棱锥 F-ADC的体积求解.【解答】（1）证明：如图，平面 ABCDL平面 ABE 平面 ABC平面 ABE=AB且 DAL AB, DA!平面 ABE 贝U DA! BE又4ABE为等边三角形，且 F为BE的中点，AF± BE,又 DAP AF=ABE!平面 AFD（2）解：二四边形 ABCM矩形，AB=2, AD=f3，1ADAC 2 X Vs=Vs，又等边三角

33、形ABE的边AB上的高 一产二病,.F到平面ABCD勺距离为21 .为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=yx2- 200z+8000G,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.iui（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】（1）由题意月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似的表示 1 n为：寅一 2Q0/200Q。，两边同时除以x,然后