九年级数学上册 证明题辅助线典型做法训练一 北师大版

1、八年级数学培优训练题补形法的应用班级_ 姓名_ 分数_一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的

2、延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知A90°，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。略证：3.补成直角三角形图3例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。略解：4.补成等边三角形例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长

3、BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。略证： 2.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD中，A60°，BD90°，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。图6分析：矩形具有许多特殊

4、的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：3.补成菱形图7例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120°，EAABBC2，CDDE4，求其面积分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。略解：4.补成正方形图8例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45°，BD3，DC2。求ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45°，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。 略解：5.补成梯形图9例9如图

5、9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1 (2AA1BB1CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证： 三、练习1、在ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分ABC。ABQCP2、如图，已知：在ABC内，BAC=60°，ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证