高等数学D7_5可降阶高阶微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第五节)()(xfyn),(yyfy 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC3

2、2CxCxcos21CxC目录 上页 下页 返回 结束 tFO,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT目录 上页 下页 返回 结束 120)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是

3、)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln1

4、2Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HAy

5、xO目录 上页 下页 返回 结束 211yya , aOA 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1C

6、yy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd目录 上页 下页 返回 结束 M : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向地面, (不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得

7、,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面时的速度和所需时间目录 上页 下页 返回 结束 122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有lylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号目录 上页 下页 返回 结束 由于 y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为lRlRRlglRtRyarccos212l

8、RlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为RylO目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 解初值问题解解: 令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yppyded2积分得1221221eCpy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据ypxyedd积分得,e2

9、Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解为xye1得目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为( 1999 考研 )ttySxd)(02Pxy1S1yxO目录

10、上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C, yy 再解得,e2xCy , 12C故所求曲线方程为xye2ddpyppy12SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppy

11、dd 则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.目录 上页 下页 返回 结束 P323 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作业作业 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 yxO) 1 , 0(A速度大小为 2v, 方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv提示提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后两边对 x 求导, 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用