材料力学--轴向拉伸与压缩

1、1第第 二二 章章轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2第二章第二章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-1 2-1 轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念2-4 2-4 材料在压缩时的力学性质材料在压缩时的力学性质2-2 2-2 轴向拉伸或压缩时的应力轴向拉伸或压缩时的应力2-3 2-3 材料在拉伸时的力学性质材料在拉伸时的力学性质2-6 2-6 轴向拉伸或压缩时变形轴向拉伸或压缩时变形2-5 2-5 轴向拉伸或压缩的强度计算轴向拉伸或压缩的强度计算2-7 2-7 直杆在轴向拉伸或压缩的应变能直杆在轴向拉伸或压缩的应变能2-8 2-8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题2-9 2-9 应力集中的概念应力

2、集中的概念2-10 2-10 联接件的实用计算联接件的实用计算32-1 2-1 轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念一、实例一、实例456变形特点变形特点: : 杆件沿轴向伸长或缩短（伴随横向缩扩）。杆件沿轴向伸长或缩短（伴随横向缩扩）。轴向拉伸轴向拉伸(axial tension) ：轴向伸长，横向缩短。轴向伸长，横向缩短。受力特点受力特点: : 外力的合力作用线与杆的轴线重合。外力的合力作用线与杆的轴线重合。FF拉伸拉伸FF压缩压缩二、轴向拉伸与压缩杆的受力及变形特点：二、轴向拉伸与压缩杆的受力及变形特点：轴向压缩轴向压缩(axial compress)：轴向缩短，横向变粗。轴向缩短，

3、横向变粗。7一、一、 横截面上的内力横截面上的内力可见，构件的强度与内力是密切可见，构件的强度与内力是密切相关的。相关的。 如图两相同杆件，受力不如图两相同杆件，受力不同，问随着同，问随着 F 的逐渐增大，哪的逐渐增大，哪一杆先破坏？一杆先破坏？2-2 轴向拉伸或压缩时的应力轴向拉伸或压缩时的应力FF2F2F下面用下面用截面法截面法求轴向拉压杆的内力求轴向拉压杆的内力问问：8可见，拉、压杆的内力为沿杆件轴线的力，故称为轴可见，拉、压杆的内力为沿杆件轴线的力，故称为轴力力( (axial force) )，记为记为FN 。联系变形规定联系变形规定内力符号内力符号：拉为正，压为负。拉为正，压为负。

4、 FFmmFmmFmmFNx 0 xF0N FFFF N2.2.轴力图：轴力图：表示杆件轴力与杆件截面位置关系的图线。表示杆件轴力与杆件截面位置关系的图线。1.1.用用截面法截面法求杆的内力求杆的内力取左侧为研究对象取左侧为研究对象同样可取右侧为研究对象同样可取右侧为研究对象可一目了然看清内力随着杆截面位置变化而变化的情况可一目了然看清内力随着杆截面位置变化而变化的情况 NF9已知已知F1=10kN，F2=20kN， F3=35kN，F4=25kN。试画。试画 出图示杆件的轴力图。出图示杆件的轴力图。1101N1 FF 例例2-1-12-1-1FN1F1解：解：1.1.计算各段的轴力计算各段的

5、轴力F1F3F2F4ABCDAB段段kN1021N2FFFBC段段2233FN3F4FN2F1F2012N2FFFkN254N3 FFCD段段2.2.绘制轴力图。绘制轴力图。kN101N1 FF04N3FFx+FN10kN10kN25kN101 1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；2 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，可确定危险截面位置，为强度计算位置，可确定危险截面位置，为强度计算提供依据。提供依据。意义意义: :轴力图的特点：轴力图的特点：突变值突变值 = = 集中载荷值集中载荷值 轴力图要求：轴力

6、图要求：1.1.位置（对应关系）位置（对应关系） 2.2.分段明确分段明确3.3.正负号标注清楚正负号标注清楚4.4.数值大小和单位数值大小和单位5.5.封闭的实线图封闭的实线图F1F3F2F4ABCDx+FN10kN10kN25kN11 例例2-1-2 2-1-2 杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。 已知已知F1 =20kN，F2 =30kN， F3 =30kN。CD段：段：DE 段：段：20kNN1F FAB段：段：40kNAN4 RF轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。解：解：40kN20kN10kN+FN

7、BC段：段：10kN2030N3FARADEBCF3 F1F2 10kN2030N2FRA=40kN求约束反力求约束反力11223344F1FN1FN2F1F212 例例2-1-3 2-1-3 直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。2FF2F5FABCED2F3FF+FN132FF2F5FABCED2F3FF+FN参考正向参考正向用简捷画法用简捷画法+14二、横截面上的应力二、横截面上的应力 可见，构件的强度不仅与内力有关，可见，构件的强度不仅与内力有关，而且与横截面面积有关，即与横截面上而且与横截面面积有关，即与横截面上的应力有关。的应力有关。 如图两杆件，

8、除横截面尺寸如图两杆件，除横截面尺寸不同外，其它均相同，问随着不同外，其它均相同，问随着 F 的逐渐增大，哪一杆先破坏？的逐渐增大，哪一杆先破坏？问问：FFFF下面求轴向拉压杆横截面上的应力下面求轴向拉压杆横截面上的应力15变形前变形前1.1.实验观察变形：实验观察变形：2.2.平面假设平面假设(plane assumption)(plane assumption)：变形前变形前原为平面的原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。abcd变形后变形后FF d ac b163.3.横截面上的应力分布：横截面上的应力分布： 如设想杆由无数根纵向纤

9、维组成，则由上平面假设如设想杆由无数根纵向纤维组成，则由上平面假设可知，每根纤维所受力相等，即可知，每根纤维所受力相等，即横截面上的应力是均横截面上的应力是均匀分布的。匀分布的。FNF4.4.横截面上应力公式横截面上应力公式AAFdNAFNAAFdNxFNdA17正应力符号规定正应力符号规定: :单位单位: :FN 牛顿牛顿(N)A 平方米平方米(m2) 帕斯卡帕斯卡(pa)当当FN为拉力时，为拉力时， 为拉应力，规定为正，为拉应力，规定为正，当当FN为压力时，为压力时， 为压应力，规定为负。为压应力，规定为负。 AFN 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa 184.4.公式的应

10、用条件公式的应用条件圣文南原理：圣文南原理：离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。不受外载荷作用方式的影响。19例题例题2-2-1 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已的应力。已知知 F=20kN；斜杆；斜杆AB为直径为直径20mm的圆截的圆截面杆，水平杆面杆，水平杆CB为为15151515的方截面杆。的方截面杆。:0yFkN3 .28N1F解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设斜杆为（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）杆） 取节点取节点B B为研究对象：为研究对象：kN20N

11、2F:0 xFFABC45450cos45N2N1 FF0sin45N1 FF1 12 2BF FN1FN2Fxy45解得解得202 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。90MPaPa1090 102041028.366231N11AF89MPaPa1089 1015102066232N22AFkN3 .28N1FkN20N2FFABC45451 12 2BF FN1FN2Fxy4521三、斜截面上的内力和应力三、斜截面上的内力和应力FFNcoscosAFAFAFpNN cosAA (a)FF同样可说明杆斜截面上的应力也是均匀分布的。同样可说明杆斜截面上的应力也是均匀分布的。(b)FFN

12、p可将可将 分解为分解为 和和 两个分量两个分量。p22正应力正应力：拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力：绕脱离体内任意点：绕脱离体内任意点顺时针顺时针转向时为正。转向时为正。的符号：由的符号：由 x 轴轴逆时针逆时针转到外法线转到外法线 n 时为正。时为正。符号规定：符号规定：:0 245 2max45 :45 max000 2coscos p 2sin2sin p090 090 :90 (c)F23 可见，构件的强度不仅与横截面上可见，构件的强度不仅与横截面上的应力有关，而且与构件的材料力学的应力有关，而且与构件的材料力学性质有关。性质有关。 如图两杆件，除材料不同外，如图两杆件

13、，除材料不同外，其它均相同，问随着其它均相同，问随着 F 的逐渐的逐渐增大，哪一杆先破坏？增大，哪一杆先破坏？问问：2-3 2-3 材料在拉伸时的力学性质材料在拉伸时的力学性质力学性质：力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的特性。表现出的特性。FFFF木木钢钢24一、拉伸试验试件和条件一、拉伸试验试件和条件试验条件：试验条件：常温、静载常温、静载标准试件：标准试件： 横截面直径横截面直径d标距标距l下面材料在轴向拉、压时力学性质的测试方法下面材料在轴向拉、压时力学性质的测试方法2526二、二、 低碳钢拉伸时的力学性低碳钢拉伸时的力学性能能拉伸图拉

14、伸图应力应变曲线图应力应变曲线图27拉拉伸伸图图281 1、弹性阶段弹性阶段ob 斜直线斜直线oa: :oabcefPesb E E 弹性模量弹性模量 tg E2 2、屈服阶段屈服阶段bc3 3、强化阶段强化阶段ce：4 4、局部颈缩阶段局部颈缩阶段ef 出现出现45450 0条纹：滑移线条纹：滑移线 主要为塑性变形。主要为塑性变形。 应力不增加，应变不应力不增加，应变不断增加。断增加。 弹性极限弹性极限e屈服极限屈服极限s强度极限强度极限b比例极限比例极限p 弹性变形：弹性变形：ddg冷作硬化现象冷作硬化现象胡克定律胡克定律29两个塑性指标两个塑性指标: :%100001lll伸长率伸长率:

15、 :截面收缩率截面收缩率: :%100010AAA%5为塑性材料为塑性材料, ,%5为脆性材料为脆性材料030o1.1.没有明显的直线阶段，应力应变曲线为微弯的曲线。没有明显的直线阶段，应力应变曲线为微弯的曲线。三、铸铁拉伸时的力学性能三、铸铁拉伸时的力学性能2.2.没有明显的塑性变形，变形很小，为典型的脆性材没有明显的塑性变形，变形很小，为典型的脆性材料。料。 3.3.没有屈服和颈缩现象，试件突然拉断。没有屈服和颈缩现象，试件突然拉断。 b 强度极限强度极限 : : 拉断时的最大应力。拉断时的最大应力。b312-52-5一、压缩试验试件和条件一、压缩试验试件和条件试验条件：试验条件：常温、静

16、载常温、静载标准试件：标准试件：横截面直径横截面直径d柱高柱高h2-4 2-4 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能32二、低碳钢压缩时的力学性能二、低碳钢压缩时的力学性能33 s O比例极限比例极限 、屈服极限、屈服极限 、弹性模量、弹性模量E E 与拉伸时相同与拉伸时相同强度极限强度极限 测不出。测不出。sbp34三、铸铁压缩时的力学性能三、铸铁压缩时的力学性能铸铁的抗压强度比它的抗拉强度高铸铁的抗压强度比它的抗拉强度高4-54-5倍。倍。45450 0斜截面破坏。斜截面破坏。1281024670060050040030020010003536讨论题讨论题强度高的曲线为强度高的曲线

17、为刚度大的曲线为刚度大的曲线为塑性好的曲线为塑性好的曲线为1 12 23 31 12 23 3 37极限应力极限应力: :构件失效时的应力。构件失效时的应力。一、许用应力一、许用应力失效失效：构件在外力作用下不能正常、安全地工作。：构件在外力作用下不能正常、安全地工作。塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：s b 许用应力许用应力 ssn bbn 极限应力极限应力:bsnn 、安全因数。安全因数。2-5 2-5 轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉伸或压缩时的强度计算 如如屈服屈服和和断裂断裂都是破坏现象都是破坏现象382 2 设计截面：设计截面：1 1 强度校核：强度校核：3 3 确定许可载荷

18、：确定许可载荷： 解决三类问题：解决三类问题：二、强度条件二、强度条件 max等直杆：等直杆： AFNmaxmax NmaxFA AF Nmax安全经济的原则：安全经济的原则：maxmax不超过不超过的的5%5%。 AFNmaxmax39 例例2-5-12-5-1 刚性梁刚性梁ABC由圆杆由圆杆CD悬挂在悬挂在C点，点，B端作用端作用集中载荷集中载荷F=30kN，已知，已知CD杆的直径杆的直径d为为30mm，许用应，许用应力力=160MPa。试校核。试校核CD杆的强度。杆的强度。 FABCXA YA FNCD 2aaFABCDd解：解：取刚性梁为研究对象，取刚性梁为研究对象，受力如图示。受力如

19、图示。032:0aFaFMNCDAkN45302323NCDFFMPa69.63030143104544232NCDNCDmax.d FAFMPa160MPa69.63max杆的强度符合条件。CD40 例例2-5-2 2-5-2 在在例例2-5-12-5-1的基础上，其他条件不变，试根的基础上，其他条件不变，试根据强度条件重新设计据强度条件重新设计CD杆的截面尺寸（直径杆的截面尺寸（直径d）。）。 2aaFABCDdFABCXA YA FNCD 解：解：由由例例2-5-52-5-5知：知：kN45NCDF根据强度条件：根据强度条件：NCDmaxAF42NCDd F即即18.93mmm1093.

20、181016014. 3104544363NCDFd取取 d=19mm41 例例2-5-32-5-3 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F =25kN，直径，直径 d =14mm，许用应力，许用应力=160MPa，试校核此杆，试校核此杆是否满足强度要求。是否满足强度要求。解：解：1 1 轴力：轴力：FN = F =25KNMPa1620140143102544232Nmax.d FAF2 2 应力：应力：3 3 强度校核：强度校核：4 4 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。 max %5%5 . 1160160162 max但42 例例2-5-42-5-

21、4 如图为简易吊车，如图为简易吊车，AB和和BC均为圆形均为圆形钢杆，已知钢杆，已知d1=36mm,d2=25mm, , 钢的许用应力钢的许用应力=100MPa。试确定吊车的最大许可起重量。试确定吊车的最大许可起重量。 解：解：1 1 计算杆计算杆AB、BC的轴力的轴力 :0 xF 030cos0N1N2FF :0yF 060cos0N1QFQF2N1QFF323N1N2 2 2 求许可载荷求许可载荷 NmaxAF1NF2NF43 当当AB杆达到许用应力时杆达到许用应力时 4211NmaxdAFkN9 .5082121NmaxmaxdFQ当当BC杆达到许用应力时杆达到许用应力时 4222Nma

22、xdAFkN3 .283410100102534366222N2maxmaxdFQ因此该吊车的最大许可载荷只能为因此该吊车的最大许可载荷只能为Q=28.3kN。 44 例例2-5-52-5-5D=350mm，p=1MPa。螺栓。螺栓 =40MPa，求直径求直径d。pDF24 每个螺栓承受的轴力为总压力的每个螺栓承受的轴力为总压力的1/61/6解：解： 油缸盖受到的力油缸盖受到的力根据强度条件根据强度条件 AFNmax 22.6mm104061035. 066622 pDd即螺栓的轴力为即螺栓的轴力为pDFFN2246 NFA得得 24422pDd即即螺栓的直径螺栓的直径Dp45lll1ll E

23、 ，AFN又又EAlFlN纵向绝对变形量纵向绝对变形量: :纵向线应变纵向线应变: : 虎克定律虎克定律: : FN , l 一定时，一定时，EA值值愈大，变形愈小，因此，愈大，变形愈小，因此，EA值反映了杆件抵抗值反映了杆件抵抗拉伸拉伸( (或压缩或压缩) )变形的能变形的能力，称之为杆件的力，称之为杆件的抗拉抗拉刚度刚度。2 26 6 拉伸或压缩时的变形拉伸或压缩时的变形一、纵向变形和线应变一、纵向变形和线应变故故注意其注意其适用条件：适用条件： 46横向绝对变形为：横向绝对变形为： aaa1bbb1由试验可知：由试验可知：bbaa 即即为材料的横向变形系数或为材料的横向变形系数或泊松比泊

24、松比 应力不超过比例极限时：应力不超过比例极限时：二、横向变形和线应变二、横向变形和线应变 二横向线应变相等，二横向线应变相等，47 例例2-6-12-6-1 一阶梯轴钢杆如图，一阶梯轴钢杆如图，AB段段A1200mm2，BC和和CD段截面积相同段截面积相同A2A3500mm2；l1= l2= l3=100mm。荷载荷载F120kN，F240kN，弹性模量，弹性模量E200GPa。试求。试求：( (1)1)各段的轴向变形；各段的轴向变形；(2)(2)全杆全杆AD的总变形；的总变形；(3)(3)A和和B截面的位移。截面的位移。解解：( (1)1)求各段轴力，作轴力图求各段轴力，作轴力图(2)(2

25、)求各段变形求各段变形mm05. 01020010200100102069311N11EAlFlmm02. 0 1050010200100102069322N22EAlFlBC段段AB段段+ +- -20kN20kNF1F2ADCB33221148(3)求全杆总变形求全杆总变形mm05. 002. 002. 005. 0321llll（缩短）（缩短）(4) 求求A和和B截面的位移截面的位移002. 002. 032llB05. 0lAmm02. 0 mm05. 021llmm02. 01050010200100102069333N33EAlFlCD段段F1F2ADCB3322114950 例例

26、2-6-22-6-2如图所示柱形杆，如图所示柱形杆，长度为长度为 l ,横横截面积为截面积为A，材，材料的比重为料的比重为，弹性模量为，弹性模量为E。试求杆的总伸长。试求杆的总伸长。xdxl(a)AxFN(x)(b)解解: (1)计算杆的内力计算杆的内力 在距下端面在距下端面x处截取处截取下部分为研究对象，如下部分为研究对象，如图（图（b)所示。所示。 得任意截得任意截面内力为：面内力为：FN(x)Ax(2)计算杆的变形计算杆的变形EAxAxEAxxFxdd)(dNElxxEEAxAxlll2dd200因轴力非常量，需取一因轴力非常量，需取一微段计算，如图（微段计算，如图（c c）。）。并略去

27、高阶微量并略去高阶微量AdxFN(x)FN(x)+d FN(x)(c)xd51 例例2-6-32-6-3 一薄壁圆环，一薄壁圆环，平均直径为平均直径为D，截面面积为，截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，在内侧，在内侧承受均布载荷承受均布载荷q作用，求圆作用，求圆环周长的增量。环周长的增量。qD52解：解：2NqDF AESFSNAEDqD20d sin220NDqF:0yFNFNFqd53L2ABL1CPC2 2 变形图严格画法，图中弧线；变形图严格画法，图中弧线；1 1 求各杆的变形量求各杆的变形量li ; ;3 3 近似画法，切线代圆弧近似画法，切线代圆弧切线代圆弧法切线代圆弧法l1l

28、2 C54L1L 2BuBvB 例例2-6-42-6-4 写出图中写出图中B点位移与两杆变形间的关系。点位移与两杆变形间的关系。L2BL1CA图图21LuB解：解：设设AB杆为拉杆，杆为拉杆，BC杆杆为压杆，则为压杆，则B点位移至点位移至B 点：点：sinctg21LLvB 22BBvuBB 则则22121)sinctg()(LLL55解：解：(1)(1)以铰以铰B为研究对象，为研究对象，计算杆的内力计算杆的内力 例例2-6-52-6-5 如图所示一简易托架，如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，其直径杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm=18.5mm，BD杆为杆为8 8号槽钢。若两杆的号

29、槽钢。若两杆的=160MPa=160MPa，E=200GPa=200GPa，设，设P=60kN=60kN。试校核该托架的。试校核该托架的强度，并求强度，并求B B点的位移。点的位移。)( kN45436043N1拉拉力力 PF）压压力力( kN75456045N2PFFN1FN23m4mPDBC56强度符合要求。强度符合要求。 (2) (2) 校核两杆的强度校核两杆的强度MPa4 .167105 11AF然而然而: : %5%6 . 41601604 .1671BC杆杆 BD杆，由型钢表查得其横截面面积：杆，由型钢表查得其横截面面积： 22cm24.10AMPa2 .

30、731010241075632N22AF故，托架的强度是足够的。故，托架的强度是足够的。 FN1FN23m4mPDBC573m4mPDBC(3)(3)计算计算B点的位移点的位移 由由“切线代圆弧切线代圆弧”法，法，B点的最终位置在点的最终位置在B3, ,如图所示如图所示B2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 11N111EAlFBBl22N222EAlFBBlm1051. 2105 .181020043104536293其中其中m1083. 11010241020051075369258m1051. 231lm1083. 132l则，则，B点的垂直位移为点的垂直位移为 4345

31、1245531llBBBBBBB点的水平位移点的水平位移m1051. 2311lBBB点的总位移点的总位移 m1087. 41051. 217. 4 3322212313BBBBBBm1017. 4431051. 2451083. 13333m4mPDBCB2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 592-7 2-7 直杆在轴向拉伸或压缩时的应变能直杆在轴向拉伸或压缩时的应变能一、弹性应变能一、弹性应变能: :弹性体受力后发生弹性变形，外力在相应位移上的弹性体受力后发生弹性变形，外力在相应位移上的功转变为能量贮存于弹性体内，这种能量称为应变功转变为能量贮存于弹性体内，这种能量称为应

32、变能能（Strain Energy）或变形能，或变形能，用用“U”表示。表示。二、拉压杆的应变能计算二、拉压杆的应变能计算: :不计能量损耗时，外力功等于应变能不计能量损耗时，外力功等于应变能 , , 即即WU 60niiiiiAElFU12N2内力为分段常内力为分段常量量时时)(d11lFdWllFW011)(dlFWU21EAlFl FFNN 且EAlFlFU22 2NN单位体积的应变能单位体积的应变能（应变能密度）（应变能密度） 212NAllFAlUuEu2 2或或FF1FFdF161 例例 2-7-12-7-1 图示三根圆截面杆，其材料、支撑情况、图示三根圆截面杆，其材料、支撑情况、

33、荷载荷载 F 及长度及长度 l 均相同，但直径及其变化不同，试比较均相同，但直径及其变化不同，试比较这三根杆内的应变能。这三根杆内的应变能。(b)d2d4lF(a)dF(c)d2d8lF解：解：)41(222dAEAlFUaaiibUEAlFAElFEAlFEAlFU16732742432422222同理同理aiicUEAlFEAlFU32116411222此例说明了什么问题？此例说明了什么问题？说明：说明：若若l、F相同，则相同，则EA愈大，愈大，l 愈小，即应变能愈愈小，即应变能愈小，故小，故EA可反映杆件抵抗拉、压变形的能力。可反映杆件抵抗拉、压变形的能力。62 例例2-7-22-7-2

34、 如图所示一简易托架，如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，杆为圆截面钢杆，其直径其直径d=18.5=18.5mm，BD杆为杆为8 8号槽钢。设号槽钢。设P=60=60kN ，若，若两杆的两杆的=160=160MPa，E=200GPa=200GPa。试求。试求B点的位移。点的位移。m,1083. 1m,1051. 23231llm1017. 4345531BBBBBBm,1051. 2311lBB解：解：由由例例2-6-52-6-5已知：已知：且由且由“切线代圆弧切线代圆弧”法得：法得：现用能量法算现用能量法算B点竖直位移点竖直位移EAlFEAlFBBPNN222122212131kN,75

35、, kN45N2N1FFm1017. 4)(4)(13222121222212131lFlFPdElFlFEAPBBNNNN3m4mPDBCB2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 63kN55.113PT 例例 2-7-32-7-3 设横梁设横梁ABCD为刚性梁，横截面面积为为刚性梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的滑轮。设的钢索绕过无摩擦的滑轮。设 P=20kN，试求，试求刚索的应力和刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的点的垂直位移。设刚索的 E=177GPa。解：解：能量法：能量法： （外力功等于应变能）（外力功等于应变能） （1 1）求钢索内力：以）求钢

36、索内力：以ABD为为研究对象：研究对象：ABCDPTT60ABCD60P400400800刚索 , 0Am060sin6 . 12 . 18 . 060sinTPT64EAlTPC222mm79. 036.7617720)4 . 04 . 0(255.1122PEAlTCMPa1511036.7655.119ATABCDPTT（2) 2) 钢索的应力为钢索的应力为: :60ABCD60P400400800刚索（3) C3) C点位移为点位移为: :652-8 2-8 拉压超静定问题拉压超静定问题2 2 超静定问题：超静定问题：单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡方程不能不能确定出全确定出全部未

37、知力（支反力、内力）的问题。部未知力（支反力、内力）的问题。一、超静定问题及其解法一、超静定问题及其解法1 1 静定问题：静定问题：单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡方程能够能够确定全部未知确定全部未知力（支反力、内力）的问题。力（支反力、内力）的问题。 3 3 超静定次数超静定次数 n ：n = = 未知力数独立的平衡方程数未知力数独立的平衡方程数F123F12366 例例2-8-12-8-1 如图三杆用铰链连接，已如图三杆用铰链连接，已知：知：l1=l2=l、 l3；横截面积；横截面积A1=A2=A、 A3 ；弹性模量为：；弹性模量为：E1=E2=E、E3。外。外力沿铅垂方向，求各杆的内

38、力。力沿铅垂方向，求各杆的内力。4 4 超静定问题的解题方法步骤：超静定问题的解题方法步骤： ( (1) 1) 静力学关系列静力静力学关系列静力平衡方程平衡方程 ( (2) 2) 几何关系（变形协调条件）列几何方程几何关系（变形协调条件）列几何方程 (3) (3) 物理关系（胡克定律）列物理方程物理关系（胡克定律）列物理方程 (4) (4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到补充方程：由几何方程和物理方程得到 (5) (5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。ABDC132F67A11l3l2l1111N1AElFl 3333N3AElFl(2)(2)几何

39、方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：(3)(3)物理方程物理方程胡克胡克定律：定律：(4)(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：补充方程：由几何方程和物理方程得：解解: : (1)(1)以铰以铰A为研究对象，列为研究对象，列平衡方程平衡方程: :(5)(5)联联解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，得）式，得: :0 xF:0yFcos321lll)3(cos3333N1111NAElFAElF33311333N333112112N1Ncos2 ; cos2cosAEAEFAEFAEAEFAEFFABDC132FAFN1FFN2FN3) 1 (0sinsin2N1NFF

40、)2(0coscos3N2N1NFFFF68 例例2-8-22-8-2 两端固定直杆受轴向外力两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面作用，截面尺寸如图所示，求两端反力。尺寸如图所示，求两端反力。解解: :BARR 、端端，加加支支反反力力放放松松 B0:总l变变形形协协调调条条件件) 2(022EAaREAaRFllBBCBAC 54,5FRFRAB) 1 (0FRRBA，则则由（由（1 1）、（）、（2 2）式得）式得EA2EAABCaa2FBRARABCF69 例例2-8-32-8-3 刚性梁刚性梁AB如图。杆如图。杆1、2的截面积和弹性的截面积和弹性模量分别为模量分别为A1、A2；E1、

41、E2。求各杆内力。求各杆内力。解解：1)1)以刚性梁为研究对象，以刚性梁为研究对象，列静力列静力 平衡方程：平衡方程：2)变形几何协调条件变形几何协调条件: : 032 , 021aFaFaFMAFABaaal121l2lFAyF1F2FABFAx122 ll3)力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系：22221111 ,AElFlAElFl联解上各式得：联解上各式得：1122222112222146 ,4123AEAEAFEFAEAEAFEFF70即增加即增加杆杆1 1后，杆后，杆2 2内力减小，变形内力减小，变形l2减小，减小，梁转过的梁转过的角度也减小，角度也减小， 故：静不定结构可减

42、小构件内力，减故：静不定结构可减小构件内力，减小结构变形小结构变形。（4）若去掉杆若去掉杆1 1，成为静定结构，则：，成为静定结构，则：讨论讨论: :（1 1）若二杆抗拉刚度相同，即）若二杆抗拉刚度相同，即 E1A1=E2A2=E A，则，则1122222112222146 ,4123AEAEAFEFAEAEAFEFFFFFF56 ,5321（2 2）若）若E1A1E2A2，则，则0 ,321FFF（3 3）若）若E1A1E2A2，则，则FFF23 , 021FF232FABaaal12FAyF1F2FAx1l2l71 例例2-8-42-8-4 刚性梁刚性梁AD由由1 1、2 2、3 3杆悬挂

43、，已知三杆材杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为料相同，许用应力为 ，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E，杆长均为杆长均为l，横截面面积均为，横截面面积均为A，试求结构的许可载，试求结构的许可载荷荷 F 。Aa123FDaa72解：解：取刚性梁为研究对象，列取刚性梁为研究对象，列静力平衡方程：静力平衡方程：变形协调条件：变形协调条件：) 1 ( 0332N3N2N1aFaFaFaF13123 ,2llll即：即：AElFAElFAElFAElFN1N3N1N23 ,2)2( 3 ,2N1N3N1N2FFFF:0AMAaFDaaFN1FN3FN21l2l3lAD受力图受力图位移图位移图73联

44、立求解联立求解(1)(1)和和(2), (2), 得：得：FFFFFF149 ,146 ,143N3N2N11493N33AFAF3 3杆轴力为最大杆轴力为最大, ,其强度条件为其强度条件为: :AF914AF91474解：解：(1)(1)取铰取铰A分析，列分析，列平衡方程平衡方程: : 例例2-8-52-8-5如图所示如图所示3 3号杆的尺寸误号杆的尺寸误差为差为 ，求各杆的装配内力。，求各杆的装配内力。二、装配应力二、装配应力: : 杆件尺寸误差引起的应力。杆件尺寸误差引起的应力。1 1 静定问题无装配应力。静定问题无装配应力。2 2 静不定问题存在装配应力。静不定问题存在装配应力。FN1

45、、 FN2 为压力，为压力， FN3为拉力。为拉力。AN1FN2FN3F:0 xF0sinsin2N1NFF:0yF0coscos3N2N1NFFFABDC132A0 0 75cos)(333N3111N1AElFAElF(3) (3) 物理方程及物理方程及补充方程补充方程：(4) (4) 解平衡方程和补充方程解平衡方程和补充方程，得，得: : / cos21cos331132113N2N1AEAEAElFF / cos21cos2331133113N3AEAEAElF(2) (2) 几何方程几何方程cos)(31ll1l2l3lAA0A1ABDC132A0 0 A1761 1、静定问题无温度

46、应力、静定问题无温度应力三、温度应力三、温度应力 例例2-8-62-8-6 如图，如图，1 1、2 2号杆的尺寸及号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由材料都相同，当结构温度由T1变到变到T2时时, ,求各杆的温度内力。（各杆的线求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为膨胀系数分别为i； T= T2 -T1) )(2) (2) 几何方程几何方程2 2、静不定问题存在温度应力、静不定问题存在温度应力A11l3l2lABDC132 AFN1 FN2FN3解解: : (1)(1)以铰以铰A为研究对象，列为研究对象，列平衡方程平衡方程: :0 xF:0yF) 1 (0sinsin2N1NFF)2(0c

47、oscos3N2N1NFFFcos321lll77iiiiiiilTAElFlN(3) (3) 物理方程：物理方程：(4) (4) 补充方程：补充方程：)3(cos)(33333N311111N1lTAElFlTAElF / cos21)cos(3311323111N2N1AEAETAEFF / cos21cos)cos(23311323111N3AEAETAEF杆件变形包括杆件变形包括温度引起的变形温度引起的变形和和外外力引起的变形力引起的变形两部分。两部分。(5)(5)联联解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，得）式，得: :78(2)(2)几何方程几何方程解：解：(1)

48、(1)解除约束，代之以约束力。解除约束，代之以约束力。列列静力平衡方程静力平衡方程: :) 1 (0:021RRyFFF0FTlll 例例2-8-7 2-8-7 如图，阶梯钢杆的上下两端在如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定时被固定, ,杆的上下两段的面积分别杆的上下两段的面积分别为为 = cm2、 = =c cm2，当温度升至，当温度升至T T2 2 =25=25时时, ,求各杆的温度应力。求各杆的温度应力。( (线膨胀系线膨胀系数数 ；弹性模量；弹性模量E=200GPa) )C1105 .126ABCaaABCaaFR1FR279(3) (3) 物理方程物理方程(5)(5)联解（联解

49、（1 1）、（）、（2 2）式）式，得，得: : kN3 .3321RRFF(4) (4) 补充方程补充方程2211 ; 2EAaFEAaFlTalRRFT)2(22211EAFEAFTRR(6) (6) 温度应力温度应力 MPa7 .66111AFR MPa3 .33222AFRABCaaFR1FR280 例例2-8-8 2-8-8 如图刚性梁悬挂于如图刚性梁悬挂于3 3根平行杆上，根平行杆上，l2m, F40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， 0.2mm。1杆由黄铜制成，杆由黄铜制成， A1=2cm2， E1=100GPa， 。2杆和杆和3杆由碳钢制成，杆由碳钢

50、制成， A2=1cm2， A3=3cm2， E2=E3=200GPa， 。设温。设温度升高度升高20，试求各杆应力。，试求各杆应力。C1105 .1661C1105 .12632F123balcAB解：解：分析，分析，各杆中即有由外载各杆中即有由外载荷荷F引起的应力，也有装配应力，引起的应力，也有装配应力，还有温度应力。还有温度应力。设三杆最终变形分别为设三杆最终变形分别为l1、 l2、 l3 。 取刚性梁为研究对取刚性梁为研究对象，受力如图所示象，受力如图所示。81(1)(1) 列静力平衡方程列静力平衡方程: :F123balcABFABFN1FN3FN2l1l2l3(1) 0)()( ,

51、032caFbaFaFMNNA(2) 0 , 0321FFFFFNNNy(2)(2) 几何方程几何方程: :(3)(3) 物理方程物理方程: :(4) 1111N11TlAElFl(5) 2222N22TlAElFl(6) 3333N33TlAElFl(3) )(2312lll82联解（联解（1 1）（）（6 6）式得）式得: :, kN8 1NF, kN10 2NF kN22 3NF（4 4）三杆应力分别为）三杆应力分别为: : MPa40 11AFN MPa100 22AFN MPa3 .73 33NAF83应力集中：由于截面尺寸突变而引起局部区域应力应力集中：由于截面尺寸突变而引起局部区

52、域应力剧增的现象。剧增的现象。2-9 2-9 应力集中的概念应力集中的概念84maxK称为理论应力集中系数称为理论应力集中系数1 1、形状尺寸的影响：、形状尺寸的影响：2 2、材料的影响：、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。脆性材料的影响严重，应特别注意。85一、概述一、概述 2-10 2-10 联接件的实用计算联接件的实用计算螺栓连接螺栓连接铆钉连接铆钉连接销钉连接销钉连接平键连接平键连接86878889受力特点：等值、反向、平行，受力特点：等值、反向、平行，作用线很近。作用线很近。变形特点：位于两力之间的截变形特点：位于两力之间的截面发生面发生相对错动相对错动。二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算剪应力计算公式：剪应力计算公式：ssAF剪应力强度条件：剪应力强度条件： ssAF假设：剪应力假设：剪应力均匀