随机变量的定义及条件数学期望学习教案

1、会计学1随机变量的定义及条件随机变量的定义及条件(tiojin)数学期望数学期望第一页，共35页。x)(X:第2页/共35页第二页，共35页。x)(XP)x(F)(X第3页/共35页第三页，共35页。nxxx,21)xX(PPnnnPPP,21第4页/共35页第四页，共35页。)(fxdxx)(fbadxxba)(fXP第5页/共35页第五页，共35页。)(X,),(X),(Xn2112( )X ( ),X ( ),X ( )nX第6页/共35页第六页，共35页。)X,X,X(n21X)X,X,X(n21X)X,X,X(n21X)xX,xX,xX(P)x ,x ,x(Fnn2211n21第7页

2、/共35页第七页，共35页。n21X,X,Xnxxx,21nn2211nn2211xXPxXPxXPxX,xX,xXP第8页/共35页第八页，共35页。n21X,X,X)(,),(),(21xFxFxFn),(21nxxxF)()()(),(2121xFxFxFxxxFnn第9页/共35页第九页，共35页。 dxxfXEXxXPXExXEXEdxxfxxXPxXEmXkin1ikikkXkn1iikiKk中心距连续型离散型原点距第10页/共35页第十页，共35页。kjYXE YEYXEXkjE第11页/共35页第十一页，共35页。 XEm122XEm 二阶中心矩二阶中心矩 描述描述(mio s

3、h)概率分布的离散程度。概率分布的离散程度。 21222mmXEXE第12页/共35页第十二页，共35页。DYDXY ,XCovdefxy0 xyXYERXYYXmYmXEY ,XCov第13页/共35页第十三页，共35页。2XE2YE 222YEXEXYE第14页/共35页第十四页，共35页。第15页/共35页第十五页，共35页。定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)的联合的联合(linh)(linh)分布函数为分布函数为F(x, y)F(x, y)，称，称()Y XFy xP Yy Xx为在为在X=x X=x 的条件的条件(tiojin)(tiojin)下下, ,随机变量随机变量Y Y的的条

4、件条件(tiojin)(tiojin)分布函数分布函数. .第16页/共35页第十六页，共35页。 离散型随机变量离散型随机变量(su j bin lin(su j bin lin)(X,Y), )(X,Y), 在在y=yky=yk条件下条件下X X的条件的条件分布函数为分布函数为kkX YFx yXx yyP 1,2,P,P iyYyYxXyYxXPkkiki称为称为(chn(chn wi) wi)条件分布律条件分布律. .iijxxkXx YyYyP,P第17页/共35页第十七页，共35页。连续型连续型(X, Y), ,有有 yY XXf x vFy xYy Xxvfx,Pd yfyxfx

5、yxyfXXYXY,F 称称为在条件为在条件X=x X=x 下下, , 随机变量随机变量(su j bin (su j bin linlin)Y )Y 的条件密度函数的条件密度函数. . 第18页/共35页第十八页，共35页。三、条件三、条件(tiojin)数学期望数学期望 1. 1.条件条件(tiojin)(tiojin)数学期望概念数学期望概念 xyFXY yxFYX 定义定义 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量, ,条件分布函数条件分布函数 或或 存在，若存在，若 xydFyXY yxdFxYX或或则则 xydFyxXYExYEXY)(称为称为(chn wi)在在X=x的条件下

6、的条件下,随机变量随机变量X的条件数的条件数学期望学期望.第19页/共35页第十九页，共35页。 若若(X, Y)(X, Y)是离散是离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量, ,则则kiikiE X Yyx P Xx Yy 若若(X, Y)(X, Y)是连续型随机变量是连续型随机变量(su j bin (su j bin linlin),),则则X YE X Yyxfx y dx第20页/共35页第二十页，共35页。例例1： 设随机变量设随机变量(su j bin lin)(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 .0,;,e21),(其它其它xxyyxfy试求试求E(YX=x).解

7、解;,e21)(Rxxfxx 第21页/共35页第二十一页，共35页。 ., 0;,e)(其它其它xyxyfxyXY在在“X=x”的条件的条件(tiojin)下下,有条件有条件(tiojin)概率密度概率密度 dyxyyfxXYEXY)()(xdyyxxy 1e一般一般(yb(ybn)n)有有 ).(, )(yyYXExxXYE 第22页/共35页第二十二页，共35页。 定理定理(dngl) (dngl) 设函数设函数g(x)g(x)在在R R上上连续连续, ,若若 yxdFxgYX)(则随机变量则随机变量g(X)g(X)在在 “Y=y” “Y=y”条件条件(tiojin)(tiojin)下的

8、条件下的条件(tiojin)(tiojin)数期望为数期望为 yYXgE)( yxdFxgYX)( 定义定义(dngy) (dngy) 称称 2yYXEXEyYXD 为为“Y=y”的条件下的条件下, ,随机变量随机变量X的的条件方差条件方差. . 为随机变量为随机变量X 相对于条件数学期望相对于条件数学期望 的偏离程度的衡量指标的偏离程度的衡量指标. . yYXE 第23页/共35页第二十三页，共35页。一般一般(yb(ybn) n) 是实值函数是实值函数(hnsh),而随机变量的函数而随机变量的函数(hnsh) ,XYEX YXEY 仍是随机变量仍是随机变量(su j bin lin(su

9、j bin lin).).有随机变量的有随机变量的概率性质概率性质. .2.条件数学期望性质条件数学期望性质 ).(, )(yyYXExxXYE 定理定理: :设设X,Y,Z是随机变量是随机变量, ,g g( () )和和h h( () )为为R上连续函上连续函数数, ,且各数学期望存在且各数学期望存在. .有有第24页/共35页第二十四页，共35页。 , cYcE 1) ) c是常数是常数; ;,cyxcdFyYcEYX证：证：1) ) 对对 , ,y . cYcE , ,E EZYbEZXaZbYaXE2) a, b是常数是常数(chngsh).自证自证. .3) 如果如果X与与Y相互独立

10、相互独立, ,则则 .XEYXE .)(RyxFyxFXYX, ,证证:X:X与与Y Y 独立独立(dl),(dl), yxxdFyXERyYX,对对第25页/共35页第二十五页，共35页。 .XEYXE ; )()()()()4XYhEXgXYhXgE .)()()()(YXgEYhYYhXgE 自证自证. . ,)( XExxdFX第26页/共35页第二十六页，共35页。5)( )E XE X YE Xg Y22.3.全期望全期望(qwng)公式公式 . )1YXEEXE .)()()2YXgEEXgE 例例2 2 ： 常用常用(chn(chn yn yn) )全数学期望公式全数学期望公式

11、 若若Y Y是离散型随机变量：是离散型随机变量： 1k1,1,2,( ,kkkpkpyYP),第27页/共35页第二十七页，共35页。 ,kkkkyYXEAXEyYA 记记 . )()(1 kkkAPAXEXE则则有有例例3 设随机变量序列设随机变量序列(xli) 独立同分布，独立同分布，随机变量随机变量N, N仅取自然数仅取自然数, E(N)存在存在(cnzi)，并且，并且N与与 相互独立相互独立.随机变量随机变量 且且E(Y)存在存在(cnzi)。试证明：。试证明：,kXk 1,2, 1()E YE N E X证明证明(zhngmng)： nNYEnNPYEn 1)(,kXk 1,2, N

12、kkXY1,第28页/共35页第二十八页，共35页。 nkknXnNP11E因为因为Xk Xk 具有具有(jyu)(jyu)相同分布相同分布, ,则则 1nE YE XnP Nn11nE XnP Nn11E XE N.第29页/共35页第二十九页，共35页。 例例4 设某段时间内到达商场设某段时间内到达商场(shngchng)的顾的顾客人数客人数N服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.每位顾客在该每位顾客在该商场商场(shngchng)的消费额的消费额X 服从服从a, b上的均匀上的均匀分布分布.各位顾客之间消费是相互独立的且与各位顾客之间消费是相互独立的且与N 独独立立.求顾客在该商场求

13、顾客在该商场(shngchng)总的消费额总的消费额. 解解 设第设第i 个顾客个顾客(gk)消费额为消费额为Xi , 全体顾客全体顾客(gk)在该商场总消费额为在该商场总消费额为 NiiXS1第30页/共35页第三十页，共35页。根据全数学根据全数学(shxu)期望公式得期望公式得 )( )()(1 NiiNXEENSEESE nkknXEnNP10 0nnNnPXE.2)()(baXENE 例例5 已知随机变量已知随机变量X服从服从(fcng)0, a上的均匀分布上的均匀分布,随随机变量机变量Y 服从服从(fcng)X, a 上的均匀分布上的均匀分布, 试求试求1) E(Y X=x), 0

14、 x 0, 有有 其它其它0,;,1)(ayxxaxyfXY对任意对任意(rny)的的0 x a 有有 axxadyxayxXYE,2)(.4322)2()()()2aaaXaEXYEEYE 第32页/共35页第三十二页，共35页。解解:设窃贼需走设窃贼需走X个小时到达地面个小时到达地面,并设并设Y为窃贼每为窃贼每次对三个门的选择次对三个门的选择,则则Y均以均以1/3的概率取值为的概率取值为1,2,3,可利用全期望可利用全期望(qwng)公式得公式得:31() ()() jE XE E X YjE X Yj P Yj而有而有(1)3E X Y 例例6 6（巴格达窃贼问题）（巴格达窃贼问题） 一

15、窃贼被关在一窃贼被关在3 3个门的地牢个门的地牢中，其中第中，其中第1 1个门通向自由，出这个门后个门通向自由，出这个门后3 3个小时便个小时便回到地面；第回到地面；第2 2个门通向一个个门通向一个(y (y )地道，在此地道，在此地道中走地道中走5 5个小时后将返回地牢；第个小时后将返回地牢；第3 3个门通向一个个门通向一个(y (y )更长的地道，沿着这个地道走更长的地道，沿着这个地道走7 7个小时也个小时也回到地牢，如果窃贼每次选择回到地牢，如果窃贼每次选择3 3个门的可能性总相等，个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔走的平均时间。试求他为获得自由而奔走的平均时间。第33页/共35页第三十三页，共35