随机变量的概率分布与数字特征学习教案

1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的概率分布与数的概率分布与数字特征字特征第一页，共77页。例例2-1 2-1 观察些列随机试验的结果与数值之间的关系。观察些列随机试验的结果与数值之间的关系。（1 1）掷一颗骰子出现的点数。）掷一颗骰子出现的点数。（2 2）一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则女儿）一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则女儿中为该疾病携带者的人数。中为该疾病携带者的人数。（3 3）采用某种新药对）采用某种新药对1010名患者进行治疗名患者进行治疗(zhlio)(zhlio)，治愈的患者人数。治愈的患者人数。第2页/共77页第二页，共77页。（4）一个肝硬化病

2、人的Hp感染(gnrn)情况，可能出现阳性Hp（+），也可能出现阴性Hp（-）。（5）对于某种新药疗效的试验结果，可能为“无效”、“好转”、“显效”、“治愈”。第3页/共77页第三页，共77页。定义定义2-1 2-1 定义在样本空间定义在样本空间上的实值函数上的实值函数X=XX=X（）称）称为随机变量为随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)，常用字母，常用字母X X，Y Y，Z Z等表示随机变量等表示随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)，其取值用小写，其取值用小写字母字母x,y,zx,y,z等表示。等表示。 假如一个随机变量仅取有限个或可列

3、个值，则称其为离散随机变量离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间 ，则称其为连续随机变量连续随机变量。（其中a可以是 ，b可以是 ）第4页/共77页第四页，共77页。例例2-2 2-2 某药检所对某种送检的药品进行检查，按合格与不某药检所对某种送检的药品进行检查，按合格与不合格进行分类，使用合格进行分类，使用(shyng)(shyng)随机变量表示检验结果。随机变量表示检验结果。解：该试验的样本空间为=合格，不合格，若用随机变量X表示(biosh)“随机取出某药品的检验结果”，用数值1，表示(biosh)合格；用数值0，表示(biosh)不合格，则X作为样本空间的实值函数

4、定义为：第5页/共77页第五页，共77页。随机变量(su j bin lin)离散(lsn)型随机变量非离散型随机变量(su j bin lin)其中最重要的一种连续型随机变量第6页/共77页第六页，共77页。二、离散二、离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量第7页/共77页第七页，共77页。（一）离散型随机变量（一）离散型随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)的定义的定义定义定义2-2 2-2 如果一个随机变量只能取有限如果一个随机变量只能取有限(yuxin)(yuxin)个或可列无限个值，那么称这个随机变个或可列无限个值，那么称这个随机变量为离散型随机变量。

5、量为离散型随机变量。第8页/共77页第八页，共77页。例例2-3 2-3 观察下列试验的结果，判断是否为离散型随观察下列试验的结果，判断是否为离散型随机变量。机变量。（1 1）5050件产品中有件产品中有8 8件次品，其余为正品，从中取出件次品，其余为正品，从中取出4 4件进行检验，则取到的次品数。件进行检验，则取到的次品数。（2 2）某实验一次观测）某实验一次观测(gunc)(gunc)数据为数据为5 5个，其中异常个，其中异常值的个数。值的个数。（3 3）某交通道口中午）某交通道口中午1 1小时内汽车流量。小时内汽车流量。第9页/共77页第九页，共77页。（二）离散（二）离散(lsn)(l

6、sn)随机变量的概率分布随机变量的概率分布 对于一个随机变量进行研究，首先要判断它的取值范围及可能取哪些值，其次还要知道它取这些值的概率，也就是(jish)要知道它取值的规律。随机变量X的取值规律称为X的概率分布，简称分布。第10页/共77页第十页，共77页。定义定义2-3 2-3 设离散随机变量设离散随机变量(su j bin (su j bin lin)Xlin)X的所有可能取值为的所有可能取值为 ，X X取各取各个值个值 相应概率为相应概率为 ，则称，则称式（2-1） 为离散(lsn)随机变量X的概率分布或分布律，也称概率函数。第11页/共77页第十一页，共77页。X的概率分布也常用(c

7、hn yn)表2-1的方式来表达。表2-1 X的概率分布X P第12页/共77页第十二页，共77页。概率分布的两个概率分布的两个(lin )性质性质1、非负性：2、正则(zhn z)性：第13页/共77页第十三页，共77页。X 0 1 P 1/2 1/2 表2-2 抛一枚硬币试验的概率分布第14页/共77页第十四页，共77页。X 0 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 表2-3 抛一枚骰子试验的概率分布第15页/共77页第十五页，共77页。例例2-2 2-2 一位隐性遗传疾病的携带者有两个女儿，则每个女一位隐性遗传疾病的携带者有两个女儿，则每个女

8、儿都有儿都有1/21/2的可能性从母亲那里得到的可能性从母亲那里得到(d do)(d do)一个致病的一个致病的X X染染色体而成为携带者（假设父亲正常），用色体而成为携带者（假设父亲正常），用A A、B B分别表示大女分别表示大女儿和小女儿是携带者，试求：儿和小女儿是携带者，试求：（1 1）女儿中携带者人数）女儿中携带者人数X X的概率分布；的概率分布；（2 2）至少有一个为携带者的概率。）至少有一个为携带者的概率。第16页/共77页第十六页，共77页。第17页/共77页第十七页，共77页。一、连续型随机变量一、连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的的定义定

9、义定义定义2-4 2-4 如果一个随机变量可以如果一个随机变量可以(ky)(ky)取得某一区取得某一区间内的任何数值或在整个数轴上的取值，那么称这间内的任何数值或在整个数轴上的取值，那么称这个随机变量为连续型随机变量。个随机变量为连续型随机变量。例如：（1）某小学四年级某班50名女生的身高。 （2）100名健康成年男子血清总胆固醇的测定结果。（3）一批灯泡的使用寿命。这些都可以用连续型随机变量(su j bin lin)来表示。第18页/共77页第十八页，共77页。 由于随机变量能够取某些区间中的所有值，不能像离散型随机变量那样(nyng)将其所有可能取值与对应概率一一列出，因而不能用离散型随

10、机变量的概率函数来描述，于是我们引入概率密度函数来描述连续随机变量的概率分布。二、连续型随机变量二、连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的概率的概率分布分布第19页/共77页第十九页，共77页。 新生婴儿的体重X是一个随机变量(su j bin lin)，假如记录很多个新生婴儿的体重，我们用频率直方图表示出来。x轴表示体重（单位：500g），y轴表示（频率/组距）。频率(pnl)/组距Xf(x)第20页/共77页第二十页，共77页。定义定义2-52-5 对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数 ，使对任意 ，都有式（2-2）则称 为连续型随机变量(su j b

11、in lin)X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。第21页/共77页第二十一页，共77页。概率密度函数的性质概率密度函数的性质(xngzh)1、非负性：2、归一性： 这两个性质刻画了密度函数的特征，也就是说，如果某个实值函数具有这两条性质，那么它必定(bdng)是某个连续随机变量的密度函数。第22页/共77页第二十二页，共77页。3、设X为连续随机变量，则对任意指定实数 ，有即连续随机变量在 处概率为零；4、设连续随机变量(su j bin lin)X，对任意 ，则第23页/共77页第二十三页，共77页。5、几何意义：随机变量X落在区间 内的概率等于由密度函数 所围成的曲边梯形的面积。图

12、2-1 随机变量X落在区间 内概率的几何意义第24页/共77页第二十四页，共77页。例2-5 已知随机变量(su j bin lin)X的概率密度为第25页/共77页第二十五页，共77页。例2-6 设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为试求：第26页/共77页第二十六页，共77页。第27页/共77页第二十七页，共77页。定义定义2-6 2-6 设设X X是一个随机变量，对任意是一个随机变量，对任意(rny)(rny)实数实数x x，称函数称函数为随机变量(su j bin lin)X的分布函数。式（2-3）说明(shumng)：对任意实数 ，有特别的：第28页/共77页第二十八页

13、，共77页。（一）离散随机变量（一）离散随机变量(su j (su j bin lin)bin lin)的分布函数的分布函数 对于离散随机变量，由于分布函数的定义域为R，所以任意的 ，只要将小于等于x的一切取值 的相应概率值 累加起来，就能够求得分布函数，即第29页/共77页第二十九页，共77页。例2-7 已知到某药检所送检的10件药品中有2件失效，若从送检的药品中先后抽检3件，试列出抽检出次品(cpn)数的分布函数。第30页/共77页第三十页，共77页。（二）连续随机变量的分布（二）连续随机变量的分布(fnb)(fnb)函数函数 由分布函数的定义及连续随机变量(su j bin lin)的特

14、点，连续随机变量(su j bin lin)X的分布函数为式（2-5）其中 为X的密度函数。第31页/共77页第三十一页，共77页。从几何上看， 表示密度函数 与 轴在 和点 之间的图像面积。图2-4 连续变量分布函数 几何意义第32页/共77页第三十二页，共77页。例2-8 设随机变量(su j bin lin)X的概率密度函数为，试求X的分布(fnb)函数第33页/共77页第三十三页，共77页。例2-9 设随机变量(su j bin lin)X的分布函数，试求：（1）（2）X的密度函数。第34页/共77页第三十四页，共77页。第35页/共77页第三十五页，共77页。一、正态分布的定义一、正

15、态分布的定义(dngy)定义定义(dngy)2-8 若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为（公式（公式2-62-6） 其中(qzhng) ，均为常数，则称X服从参数为 的正态分布，记作第36页/共77页第三十六页，共77页。（公式（公式2-72-7）正态分布(fnb)的分布(fnb)函数为第37页/共77页第三十七页，共77页。二、正态分布的图形二、正态分布的图形(txng)与性质与性质图图2-7 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)的图像的图像(t xin)图图2-8 正态分布正态分布(fnb)的分布的分布(fnb)函数的图像函数的图像正态分布曲线是一条关于正

16、态分布曲线是一条关于 对称对称的的钟形曲线。钟形曲线。特点是：两头低，中间高，左右对称特点是：两头低，中间高，左右对称。 第38页/共77页第三十八页，共77页。3沿沿X轴平行轴平行(pngxng)移动移动图像图像(t xin)越靠右越靠右21位置参数位置参数固定固定，改变改变 的值的值第39页/共77页第三十九页，共77页。23形状参数形状参数越大，图像越平坦越大，图像越平坦越小，图像越陡峭越小，图像越陡峭1固定固定，改变改变 的值的值第40页/共77页第四十页，共77页。1、正态分布曲线是以、正态分布曲线是以 为对称轴，当为对称轴，当 时，取得最大时，取得最大值值 ；2 2、图像在处、图像

17、在处 有拐点，且以有拐点，且以X X轴为渐近线；轴为渐近线；3 3、正态分布完全由两个参数、正态分布完全由两个参数 和和 决定：决定：第41页/共77页第四十一页，共77页。固定固定 ，改变改变 ，描述：正态分布的平均水平描述：正态分布的平均水平决定决定(judng)(judng)：正态曲线在：正态曲线在X X轴上的轴上的 位置位置位置位置(wi (wi zhi)zhi)参数参数曲线沿曲线沿X X轴水平移动轴水平移动(ydng)(ydng)，形状不变，只改变位置，形状不变，只改变位置第42页/共77页第四十二页，共77页。描述：正态分布的变异描述：正态分布的变异(biny)(biny)程度程度

18、决定：正态曲线的分布形状决定：正态曲线的分布形状固定固定 ，改变改变 ：越大，越大，曲线越曲线越矮胖矮胖，表示数据越分散，变异度越，表示数据越分散，变异度越大大越小，越小，曲线越曲线越高瘦高瘦，表示数据越集中，变异度越，表示数据越集中，变异度越小小形状形状(xngzhun)(xngzhun)参参数数第43页/共77页第四十三页，共77页。三、标准三、标准(biozhn)正正态分布态分布 对于正态分布 ，参数 时的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记作 。第44页/共77页第四十四页，共77页。其概率密度函数用 表示(biosh)为式（2-8）图图2-9 标准正态分布的密度函数图像标准正态分

19、布的密度函数图像第45页/共77页第四十五页，共77页。其概率分布函数(hnsh)用 表示为式（2-9）0.51图图2-10 标准正态分布的分布函数图像标准正态分布的分布函数图像第46页/共77页第四十六页，共77页。常用常用(chn yn)公式：公式：第47页/共77页第四十七页，共77页。案例(n l)2-11 设 ，查表求：第48页/共77页第四十八页，共77页。第49页/共77页第四十九页，共77页。四、正态分布的标准化四、正态分布的标准化步骤：1、找出2、利用公式：3、查表求值。第50页/共77页第五十页，共77页。案例2-12 设 ，查表求第51页/共77页第五十一页，共77页。案

20、例案例(n l)2-13 对使用过甘草的许多中药处方进行对使用过甘草的许多中药处方进行分析，若已知每次的甘草用量分析，若已知每次的甘草用量XN(8，4)，现任抽一，现任抽一张含甘草的处方，求甘草的用量在张含甘草的处方，求甘草的用量在5-10g范围内的概范围内的概率。率。第52页/共77页第五十二页，共77页。五、正态曲线下面积分布五、正态曲线下面积分布(fnb)规规律律曲线下的面积曲线下的面积(min j)(min j)即为概率，可通过公式求得。即为概率，可通过公式求得。曲线下的总面积为曲线下的总面积为1 1或或100%100%，以，以 为中心左右两侧为中心左右两侧(lin c)(lin c)

21、面面积各占积各占50%50%，越靠近，越靠近 处曲线下面积越大，两边逐渐减少。处曲线下面积越大，两边逐渐减少。（公式（公式2-72-7）第53页/共77页第五十三页，共77页。第54页/共77页第五十四页，共77页。第55页/共77页第五十五页，共77页。第56页/共77页第五十六页，共77页。图2-11 正态分布的3 原则示意图正态分布的正态分布的3 原则原则第57页/共77页第五十七页，共77页。六、正态分布的应用六、正态分布的应用(yngyng)举例举例1、制定(zhdng)医学参考值的范围2、质量控制(kngzh)（自学）3、可疑值取舍（自学）第58页/共77页第五十八页，共77页。西

22、京医院检验报告单西京医院检验报告单姓姓 名：名：XXX病病 员员 号：号：91176092 标本种类：标本种类：全血全血 样本编号：样本编号：20090809G0050049性性 别：女别：女科科 别：别： 采样日期：采样日期：2009-8-09临床诊断：临床诊断：年年 龄：龄：30岁岁 床床 号：号： 送检医生：送检医生：备备 注：注：NoNo 项项 目目结果结果参考值参考值单位单位NoNo 项项 目目结果结果参考值参考值单位单位1 1 白细胞计数白细胞计数(WBC) 7.207.203.5-103.5-10X10E9/LX10E9/L1010 血细胞比容血细胞比容(HCT)0.2960.2

23、960.35-0.550.35-0.552 2 中性粒细胞百分率中性粒细胞百分率(NEUT%)0.6670.6670.5-0.70.5-0.71111 平均红细胞体积平均红细胞体积(MCV)86.386.378.8-10078.8-100flfl3 3 中间细胞百分率中间细胞百分率(MXD%)0.0330.0331212 平均血红蛋白含量平均血红蛋白含量(MCH)32.432.427-3227-32pgpg4 4 淋巴细胞百分率淋巴细胞百分率(LYMPH%)0.3000.3000.2-0.450.2-0.451313 平均血红蛋白浓度平均血红蛋白浓度(MCHC)375375300-600300

24、-600g/Lg/L5 5 中性粒细胞绝对值中性粒细胞绝对值(NEUT#)4.804.802.0-4.02.0-4.0X10E9/LX10E9/L1414 红细胞分布宽度红细胞分布宽度CV(RDW%) 0.1370.1376 6 中间细胞绝对值中间细胞绝对值 (MXD# )0.200.20X10E9/LX10E9/L1515 血小板计数血小板计数(PLT)17017080-30080-300X10E9/LX10E9/L7 7 淋巴细胞绝对值淋巴细胞绝对值(LYMPH#)2.202.201.0-3.31.0-3.3X10E9/LX10E9/L1616 血小板分布宽度血小板分布宽度(PDW)14.

25、814.812-1812-18flfl8 8 红细胞计数红细胞计数(RBC)3.483.483.45-6.503.45-6.50 X10E9/LX10E9/L1717 平均血小板体积平均血小板体积(MPV)11.5011.504.0-12.04.0-12.0flfl9 9 血红蛋白血红蛋白(HCG)111111115-180115-180g/Lg/L1818 大血小板比率大血小板比率(P-LCR)0.3700.3700.15-0.450.15-0.45检验检验(jinyn)日期：日期：20090809报告日期：报告日期：2009-08-09 09:46:48检验检验(jinyn)者：者：XXX

26、 审核者：审核者：XXX注：此检验注：此检验(jinyn)报告仅对本次标本负责报告仅对本次标本负责.第59页/共77页第五十九页，共77页。 1 1、意义：医学参考值是指绝大多数正常人群的解、意义：医学参考值是指绝大多数正常人群的解剖、生理、生化、免疫等各种指标数据的波动范围。剖、生理、生化、免疫等各种指标数据的波动范围。 由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而是在由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而是在一定范围内波动，故采用医学参考值范围作为判定正常一定范围内波动，故采用医学参考值范围作为判定正常和异常的参考标准和异常的参考标准(biozhn)(biozhn)，但不是，但不是“金标准金

27、标准(biozhn)”(biozhn)”。（一）制定（一）制定(zhdng)医学参考值医学参考值的范围的范围第60页/共77页第六十页，共77页。异常异常正常正常双侧下限双侧下限双侧上限双侧上限异常异常第61页/共77页第六十一页，共77页。单侧下限单侧下限异常异常正常正常单侧上限单侧上限异常异常正常正常第62页/共77页第六十二页，共77页。3、医学参考值范围有、医学参考值范围有90%、95%、99% 等，等，最常用最常用(chn yn)的为的为95% 。计算医学参考值范围的常用计算医学参考值范围的常用(chn yn)方法方法： 第63页/共77页第六十三页，共77页。3 3、正态分布法、正态分布法第64页/共77页第六十四页，共77页。第65页/共77页第六十五页，共77页。一、数学期望一、数学期望(qwng)及其性质及其性质第66页/共77页第六十六页，共77页。问题：有甲、乙两个问题：有甲、乙两个(lin )射手，他们的射